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1、第 三 節(jié) 泰 勒 級 數(shù)二 、 泰 勒 定 理三 、 將 函 數(shù) 展 開 成 泰 勒 級 數(shù)一 、 問 題 的 引 入四 、 典 型 例 題五 、 小 結 與 思 考 2 一 、 問 題 的 引 入問 題 : 任 一 個 解 析 函 數(shù) 能 否 用 冪 級 數(shù) 來 表 達 ?D Kz.內任意點, )( 內解析在區(qū)域設函數(shù)Dzf , 0為中心的任一圓周內以為zD如圖: r0z . K rz 0圓周. 0 rz , , KD記為它與它的內部全包含于 3 由柯西積分公式 , 有 K zfizf ,d)(21)( 其中 K 取正方向. , , 的內部在點上取在圓周因為積分變量KzK.1 00 zzz
2、所以000 1 111 zzzzz 則 4 200000 )()(11 zzzzzzz nzzz )( 00 0 010 .)()( 1n nn zzz 10 010 )()( d)(21)( Nn nK n zzzfizf 于是 K Nn nn zzzfi .d)()( )(21 010 5 由高階導數(shù)公式, 上式又可寫成 10 00)( )()(! )()( Nn Nnn zRzzn zfzf其中 K Nn nnN zzzfizR d)()( )(21)( 010,0)(lim zRNN若可知在K內 0 00)( )(! )()( n nn zzn zfzf 6 , )( 內可以用冪級數(shù)來
3、表示在即Kzf令qrzzzzz 000 , )( )(內解析在DKDzf 則在K上連續(xù), ,10, qq且無關的量是與積分變量 , )( 上也連續(xù)在因此Kf , )(上有界在Kf 7 即存在一個正常數(shù)M, .)( MfK 上在szzzfzR K Nn nnN d)()( )(21)( 010 K Nn n szzzzf d)(21 000 Nn n rqrM 221 .1 qMqn 8 0lim nN q 0)(lim zRNN在內成立,從而在K內 圓周K的半徑可以任意增大,只要K內成立.D在 0 00)( )(! )()( n nn zzn zfzf的泰 勒 展 開 式 ,)(zf在0z 泰
4、 勒 級 數(shù) 9 如果0z到D的邊界上各點的最短距離為,d那末)(zf在的泰勒展開式在內成立dzz 0因為凡滿足dzz 0的z必能使.dR 即由上討論得重要定理泰勒展開定理)(zf在的泰勒級數(shù)的收斂半徑R至少等于,d但成立, 0 00)( )(! )()( n nn zzn zfzf 10 二 、 泰 勒 定 理 ,2,1,0),(!1 0)( nzfnc nn其中泰 勒 級 數(shù)泰 勒 展 開 式定 理 設 )(zf 在 區(qū) 域 D內 解 析 , 0z 為 D 內 的 一d為 0z 到 D 的 邊 界 上 各 點 的 最 短 距 離 , 那 末點 , dzz 0 時 , 0 0)()( n n
5、n zzczf 成 立 ,當 泰 勒 介 紹 11 說 明 :1.復變函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的條件要比實函數(shù)時弱得多; (想一想, 為什么?) ; , , )( .2 0 0zd zdDzf 即之間的距離一個奇點到最近等于則內有奇點在如果;,0.3 0級數(shù)稱為麥克勞林級數(shù)時當z4.任何解析函數(shù)在一點的泰勒級數(shù)是唯一的. (為什么?) 12 )( zf因為解析,可以保證無限次可各階導數(shù)的連續(xù)性; 所以復變函數(shù)展為泰勒級數(shù)的實用范圍就要比實變函數(shù)廣闊的多.注 意問 題 :利用泰勒級數(shù)可以將函數(shù)展開為冪級數(shù),展 開 式 是 否 唯 一 ? 13 : )( 0已被展開成冪級數(shù)在設zzf 202010 )(
6、)()( zzazzaazf ,)( 0 nn zza那末,)( 00 azf ,)( 10 azf 即,)(!1 0)( zfna nn 因此, 任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)的結果就是泰勒級數(shù), 因而是唯一的. 14 三 、 將 函 數(shù) 展 開 成 泰 勒 級 數(shù)常 用 方 法 : 直 接 法 和 間 接 法 .1.直接法: ,2,1,0,)(!1 0)( nzfnc nn . )( 0展開成冪級數(shù)在將函數(shù)zzf由泰勒展開定理計算系數(shù) 15 例如,. 0 的泰勒展開式在求zez ),2,1,0(,1)( 0)( ne znz故有 02 !21 n nnz nznzzze , 在復平面內處處解析因
7、為ze . R所以級數(shù)的收斂半徑,)( )( znz ee 因為 16 仿照上例 , ,)!12()1(!5!3sin 1253 nzzzzz nn )( R ,)!2()1(!4!21cos 242 nzzzz nn )( R . 0 cos sin 的泰勒展開式在與可得zzz 17 2. 間接展開法 : 借助于一些已知函數(shù)的展開式 , 結合解析函數(shù)的性質, 冪級數(shù)運算性質 (逐項求導, 積分等)和其它數(shù)學技巧 (代換等) , 求函數(shù)的泰勒展開式.間 接 法 的 優(yōu) 點 : 不需要求各階導數(shù)與收斂半徑 , 因而比直接展開更為簡潔 , 使用范圍也更為廣泛 . 18 例如, . 0 sin 的泰
8、勒展開式在利用間接展開法求zz)(21sin iziz eeiz 0 12 )!12()1(n nn nz 0 0 !)(!)(21 n n nn niznizi 19 附 : 常 見 函 數(shù) 的 泰 勒 展 開 式 ,!21)1 02 n nnz nznzzze ,11 1)2 02 n nn zzzzz ,)1()1(111)3 02 n nnnn zzzzz ,)!12()1(!5!3sin)4 1253 nzzzzz nn )1( z )1( z )( z )( z 20 ,)!2()1(!4!21cos)5 242 nzzzz nn )( z ,1)1(32)1ln()6 132 n
9、zzzzz nn 0 11)1(n nn nz )1( z 32 !3 )2)(1(!2 )1(1)1()7 zzzz ,! )1()1( nzn n )1( z 21 例 1 . )1( 1 2的冪級數(shù)展開成把函數(shù)zz解 nnzzzz )1(111 2 1z四 、 典 型 例 題 ,11)1( 1 2 zzz上有一奇點在由于,1內處處解析且在z ,的冪級數(shù)可展開成z 22 zz 11)1( 1 2 .1,)1(321 112 znzzz nn 上式兩邊逐項求導, 23 例 2 . 0 )1ln( 泰勒展開式處的在求對數(shù)函數(shù)的主值 zz分 析 , 1 , 1 )1ln( 是它的一個奇點平面內是
10、解析的向左沿負實軸剪開的在從 z . 1 的冪級數(shù)內可以展開成所以它在zz 如圖, 1Ro1 1 xy 24zzzzz zn nn d)1(d1 10 0 0 即 1)1(32)1ln( 132 nzzzzz nn 1z 將展開式兩端沿 C 逐項積分, 得 解 zz 11)1ln( 02 )1()1(1 n nnnn zzzz )1( z, 0 1 的曲線到內從為收斂圓設zzC 25 例 3 . 23 1)( 的冪級數(shù)展開成把函數(shù)zzzf 解 231 12123 1 zz )23()23(23121 2 nzzz 13222 23232321 n nnzzz ,230 1 n n nnz .3
11、2,123 zz即 26 例 4 .0arctan的冪級數(shù)展開式在求zz解 ,1darctan 0 2 z zzz因為1,)()1(1 1 0 22 zzz n nn且 z zzz 0 21darctan所以 z n nn zz0 0 2 d)()1( .1,12)1(0 12 znzn nn 27 例 5 .cos2的冪級數(shù)求z解 ),2cos1(21cos2 zz 因為 !6)2(!4)2(!2)2(12cos 642 zzzz zzzz !62!42!221 664422 )2cos1(21cos2 zz 所以 zzzz !62!42!221 65432 28 例 6 .1展為麥克勞林級
12、數(shù)將zez解 ,1)( zezf z令即微分方程0)()()1( zzfzfz對微分方程逐次求導得:,1所以收斂半徑為, 1 內進行展開可在z ,11 zzez的唯一奇點為因為求導得對)(zf ,1)( zzezf z 29,2)0(,1)0(,0)0(,1)0( ffff得由的麥克勞林級數(shù)為所以)(zf .1,312111 32 zzzzez 0)()()1()()1( zfzfzzfz 0)()2()()1( zfzzfz 30 五 、 小 結 與 思 考 通過本課的學習, 應理解泰勒展開定理,熟記五個基本函數(shù)的泰勒展開式,掌握將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法, 能比較熟練的把一些解析函數(shù)展開成泰勒級數(shù). 31奇、偶函數(shù)的泰勒級數(shù)有什么特點? 思 考 題 32 奇函數(shù)的泰勒級數(shù)只含 z 的奇次冪項, 偶函數(shù)的泰勒級數(shù)只含 z 的偶次冪項. 思 考 題 答 案 放 映 結 束 , 按 Esc退 出 . 33 泰 勒 資 料Born: 18 Aug 1685 in Edmonton, Middlesex, EnglandDied: 29 Dec 1731 in Somerset H ouse, London, EnglandBrook Taylor