2021四年級奧數(shù)題第35講 容斥原理

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1、四年級奧數(shù)題第35講 容斥原理 第35講容斥原理 一、專題簡析： 容斥問題涉及到一個重要原理——包含與排除原理,也叫容斥原理。即當兩個計數(shù)部分有重復包含時,為了不重復計數(shù),應(yīng)從它們的和中排除重復部分。 容斥原理：對n個事物,如果采用不同的分類標準,按性質(zhì)a分類與性質(zhì)b 分類（如圖）,那么具有性質(zhì)a或性質(zhì)b的事物的個數(shù)=N a＋N b－N ab。 Nab Nb Na 二、精講精練： 例1：一個班有48人,班主任在班會上問：“誰做完語文作業(yè)？請舉手！”有37人舉手。又問：“誰做完數(shù)學作業(yè)？請舉手！”有42人舉手。最后問：“誰語文、數(shù)學作業(yè)都沒有做完？”沒有人舉手。求這個班語文、數(shù)學

2、作業(yè)都完成的人數(shù)。 練習一 1、五年級有122名學生參加語文、數(shù)學考試,每人至少有一門功課取得優(yōu)秀成績。其中語文成績優(yōu)秀的有65人,數(shù)學優(yōu)秀的有87人。語文、數(shù)學都優(yōu)秀的有多少人？ 2、四年級一班有54人,訂閱《小學生優(yōu)秀作文》和《數(shù)學大世界》兩種讀物的有13人,訂《小學生優(yōu)秀作文》的有45人,每人至少訂一種讀物,訂《數(shù)學大世界》的有多少人？ 例2：某班有36個同學在一項測試中,答對第一題的有25人,答對第二題的有23人,兩題都答對的有15人。問多少個同學兩題都答得不對？ 練習二 1、五（1）班有40個學生,其中25人參加數(shù)學小組,23人參加科技小組,有19人兩個小組都參加了。那么

3、,有多少人兩個小組都沒有參加？ 2、一個班有55名學生,訂閱《小學生數(shù)學報》的有32人,訂閱《中國少年報》的有29人,兩種報紙都訂閱的有25人。兩種報紙都沒有訂閱的有多少人？ 例3：某班有56人,參加語文競賽的有28人,參加數(shù)學競賽的有27人,如果兩科都沒有參加的有25人,那么同時參加語文、數(shù)學兩科競賽的有多少人？ 練習三 1、一個旅行社有36人,其中會英語的有24人,會法語的有18人,兩樣都不會的有4人。兩樣都會的有多少人？ 2、一個俱樂部有103人,其中會下中國象棋的有69人,會下國際象棋的有52人,這兩種棋都不會下的有12人。問這兩種棋都會下的有多少人？ 例4：在1到100的

4、自然數(shù)中,既不是5的倍數(shù)也不是6的倍數(shù)的數(shù)有多少個？ 練習四 1、在1到200的全部自然數(shù)中,既不是5的倍數(shù)又不是8的倍數(shù)的數(shù)有多少個？ 2、在1到130的全部自然數(shù)中,既不是6的倍數(shù)又不是5的倍數(shù)的數(shù)有多少個？ 例5：光明小學舉辦學生書法展覽。學校的櫥窗里展出了每個年級學生的書法作品,其中有24幅不是五年級的,有22幅不是六年級的,五、六年級參展的書法作品共有10幅,其他年級參展的書法作品共有多少幅？ 練習五 1、科技節(jié)那天,學校的科技室里展出了每個年級學生的科技作品,其中有110件不是一年級的,有100件不是二年級的,一、二年級參展的作品共有32件。其他年級參展的作品共有多少件

5、？ 2、六（1）兒童節(jié)那天,學校的畫廊里展出了每個年級學生的圖畫作品,其中有25幅畫不是三年級的,有19幅畫不是四年級的,三、四兩個年級參展的畫共有8幅。其他年級參展的畫共有多少幅？ 三、課后作業(yè) 1、學校文藝組每人至少會演奏一種樂器,已知會拉手風琴的有24人,會彈電子琴的有17人,其中兩種樂器都會演奏的有8人。這個文藝組一共有多少人？ 2、某校選出50名學生參加區(qū)作文比賽和數(shù)學比賽,結(jié)果3人兩項比賽都獲獎了,有27人兩項比賽都沒有獲獎。已知作文比賽獲獎的有14人,問數(shù)學比賽獲獎的有多少人？ 3、三年級一班參加合唱隊的有40人,參加舞蹈隊的有20人,既參加合唱隊又參加舞蹈隊的有14人

6、。這兩隊都沒有參加的有10人。請算一算,這個班共有多少人？ 4、五（1）班做廣播操,全班排成4行,每行的人數(shù)相等。小華排的位置是：從前面數(shù)第5個,從后面數(shù)第8個。這個班共有多少個學生？ 5、實驗小學舉辦學生書法展,學校的櫥窗里展出每個年級學生的書法作品,其中有28幅不是五年級的,有24幅不是六年級的,五、六年級參展的書法作品共有20幅。一、二年級參展的作品總數(shù)比三、四年級參展作品的總數(shù)少4幅。一、二年級參展的書法作品共有多少幅？ 專題簡析： 容斥問題涉及到一個重要原理——包含與排除原理,也叫容斥原理。即當兩個計數(shù)部分有重復包含時,為了不重復計數(shù),應(yīng)從它們的和中排除重復部分。 容斥原理

7、：對n個事物,如果采用不同的分類標準,按性質(zhì)a分類與性質(zhì)b分類（如圖）, 那么具有性質(zhì)a或性質(zhì)b的事物的個數(shù)=N a ＋N b －N ab 。 Nab Nb Na 例1：一個班有48人,班主任在班會上問：“誰做完語文作業(yè)？請舉手！”有37人舉手。又問：“誰做完數(shù)學作業(yè)？請舉手！”有42人舉手。最后問：“誰語文、數(shù)學作業(yè)都沒有做完？”沒有人舉手。求這個班語文、數(shù)學作業(yè)都完成的人數(shù)。 分析完成語文作業(yè)的有37人,完成數(shù)學作業(yè)的有42人,一共有37＋42=79人,多于全班人數(shù)。這是因為語文、數(shù)學作業(yè)都完成的人數(shù)在統(tǒng)計做完語文作業(yè)的人數(shù)時算過一次,在統(tǒng)計做完數(shù)學作業(yè)的人數(shù)時又算了一

8、次,這樣就多算了一次。所以,這個班語文、數(shù)作業(yè)都完成的有：79－48=31人。 練習一 1,五年級有122名學生參加語文、數(shù)學考試,每人至少有一門功課取得優(yōu)秀成績。其中語文成績優(yōu)秀的有65人,數(shù)學優(yōu)秀的有87人。語文、數(shù)學都優(yōu)秀的有多少人？ 2,四年級一班有54人,訂閱《小學生優(yōu)秀作文》和《數(shù)學大世界》兩種讀物的有13人,訂《小學生優(yōu)秀作文》的有45人,每人至少訂一種讀物,訂《數(shù)學大世界》的有多少人？ 3,學校文藝組每人至少會演奏一種樂器,已知會拉手風琴的有24人,會彈電子琴的有17人,其中兩種樂器都會演奏的有8人。這個文藝組一共有多少人？ 【答案】1.65+87-122=30（人）

9、 2.54-45+13=22（人） 3.24-8+17=33（人） 例2：某班有36個同學在一項測試中,答對第一題的有25人,答對第二題的有23人,兩題都答對的有15人。問多少個同學兩題都答得不對？ 分析與解答：已知答對第一題的有25人,兩題都答對的有15人,可以求出只答對第一題 的有25－15=10人。又已知答對第二題的有23人,用只答對第一題的人數(shù),加上答對第二題的人數(shù)就得到至少有一題答對的人數(shù)：10＋23=33人。所以,兩題都答得不對的有36－33=3人。 練習二 1,五（1）班有40個學生,其中25人參加數(shù)學小組,23人參加科技小組,有19人兩個小組都參加了。那么,有多少

10、人兩個小組都沒有參加？ 2,一個班有55名學生,訂閱《小學生數(shù)學報》的有32人,訂閱《中國少年報》的有29人,兩種報紙都訂閱的有25人。兩種報紙都沒有訂閱的有多少人？ 3,某校選出50名學生參加區(qū)作文比賽和數(shù)學比賽,結(jié)果3人兩項比賽都獲獎了,有27人兩項比賽都沒有獲獎。已知作文比賽獲獎的有14人,問數(shù)學比賽獲獎的有多少人？ 【答案】1.40-（23+25-19）=11（人） 2.55-（32+29-25）=19（人） 3.（50-27）+3-14=12（人） 例3：某班有56人,參加語文競賽的有28人,參加數(shù)學競賽的有27人,如果兩科都沒有參加的有25人,那么同時參加語文、數(shù)學兩科

11、競賽的有多少人？ 分析與解答：要求兩科競賽同時參加的人數(shù),應(yīng)先求出至少參加一科競賽的人數(shù)：56－25=31人,再求兩科競賽同時參加的人數(shù)：28＋27－31=24人。 練習三 1,一個旅行社有36人,其中會英語的有24人,會法語的有18人,兩樣都不會的有4人。兩樣都會的有多少人？ 2,一個俱樂部有103人,其中會下中國象棋的有69人,會下國際象棋的有52人,這兩種棋都不會下的有12人。問這兩種棋都會下的有多少人？ 3,三年級一班參加合唱隊的有40人,參加舞蹈隊的有20人,既參加合唱隊又參加舞蹈隊的有14人。這兩隊都沒有參加的有10人。請算一算,這個班共有多少人？ 【答案】1.24+1

12、8-（36-4）=10（人） 2.69+52-（103-12）=30（人） 3.40+20-14+10=56（人） 例4：在1到100的自然數(shù)中,既不是5的倍數(shù)也不是6的倍數(shù)的數(shù)有多少個？ 分析與解答：從1到100的自然數(shù)中,減去5或6的倍數(shù)的個數(shù)。從1到100的自然數(shù)中,5的倍數(shù)有1005=20個,6的倍數(shù)有16個（1006=16……4）,其中既是5的倍數(shù)又是6的倍數(shù)（即5和6的公倍數(shù)）的數(shù)有3個（10030=3……10）。因此,是6或5的倍數(shù)的個數(shù)是16＋20－3=33個,既不是5的倍數(shù)又不是6的倍數(shù)的數(shù)的個數(shù)是：100－33=67個。 練習四 1,在1到200的全部自然數(shù)中,

13、既不是5的倍數(shù)又不是8的倍數(shù)的數(shù)有多少個？ 2,在1到130的全部自然數(shù)中,既不是6的倍數(shù)又不是5的倍數(shù)的數(shù)有多少個？ 3,五（1）班做廣播操,全班排成4行,每行的人數(shù)相等。小華排的位置是：從前面數(shù)第5個,從后面數(shù)第8個。這個班共有多少個學生？ 【答案】1.140個 2.87個 3.（5+8-1）4=48（人） 例5：光明小學舉辦學生書法展覽。學校的櫥窗里展出了每個年級學生的書法作品,其中有24幅 不是五年級的,有22幅不是六年級的,五、六年級參展的書法作品共有10幅,其他年級參展的書法作品共有多少幅？ 分析與解答：由題意知,24幅作品是一、二、三、四、六年級參展作品的總數(shù),22

14、幅是一、二、三、四、五年級參展作品的總數(shù)。24＋22=46幅,這是一個五、六年級和兩個一、二、三、四年級參展的作品數(shù),從其中去掉五、六兩個年級共參展的10幅作品,即得到兩個一、二、三、四年級參展作品的總數(shù),再除以2,即可求出其他年級參展作品的總數(shù)。（24＋22－10）2=18幅。 練習五 1,科技節(jié)那天,學校的科技室里展出了每個年級學生的科技作品,其中有110件不是一年級的,有100件不是二年級的,一、二年級參展的作品共有32件。其他年級參展的作品共有多少件？ 2,六（1）兒童節(jié)那天,學校的畫廊里展出了每個年級學生的圖畫作品,其中有25幅畫不是三年級的,有19幅畫不是四年級的,三、四兩個年級參展的畫共有8幅。其他年級參展的畫共有多少幅？ 3,實驗小學舉辦學生書法展,學校的櫥窗里展出每個年級學生的書法作品,其中有28幅不是五年級的,有24幅不是六年級的,五、六年級參展的書法作品共有20幅。一、二年級參展的作品總數(shù)比三、四年級參展作品的總數(shù)少4幅。一、二年級參展的書法作品共有多少幅？ 【答案】1.89件 2.18幅 3.[（28+24-20）2-4]2=6（幅）