2021四年級(jí)奧數(shù)題第35講 容斥原理

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1、四年級(jí)奧數(shù)題第35講 容斥原理 第35講容斥原理 一、專(zhuān)題簡(jiǎn)析： 容斥問(wèn)題涉及到一個(gè)重要原理——包含與排除原理,也叫容斥原理。即當(dāng)兩個(gè)計(jì)數(shù)部分有重復(fù)包含時(shí),為了不重復(fù)計(jì)數(shù),應(yīng)從它們的和中排除重復(fù)部分。 容斥原理：對(duì)n個(gè)事物,如果采用不同的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn),按性質(zhì)a分類(lèi)與性質(zhì)b 分類(lèi)（如圖）,那么具有性質(zhì)a或性質(zhì)b的事物的個(gè)數(shù)=N a＋N b－N ab。 Nab Nb Na 二、精講精練： 例1：一個(gè)班有48人,班主任在班會(huì)上問(wèn)：“誰(shuí)做完語(yǔ)文作業(yè)？請(qǐng)舉手！”有37人舉手。又問(wèn)：“誰(shuí)做完數(shù)學(xué)作業(yè)？請(qǐng)舉手！”有42人舉手。最后問(wèn)：“誰(shuí)語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都沒(méi)有做完？”沒(méi)有人舉手。求這個(gè)班語(yǔ)文、數(shù)學(xué)

2、作業(yè)都完成的人數(shù)。 練習(xí)一 1、五年級(jí)有122名學(xué)生參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)考試,每人至少有一門(mén)功課取得優(yōu)秀成績(jī)。其中語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的有65人,數(shù)學(xué)優(yōu)秀的有87人。語(yǔ)文、數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有多少人？ 2、四年級(jí)一班有54人,訂閱《小學(xué)生優(yōu)秀作文》和《數(shù)學(xué)大世界》兩種讀物的有13人,訂《小學(xué)生優(yōu)秀作文》的有45人,每人至少訂一種讀物,訂《數(shù)學(xué)大世界》的有多少人？ 例2：某班有36個(gè)同學(xué)在一項(xiàng)測(cè)試中,答對(duì)第一題的有25人,答對(duì)第二題的有23人,兩題都答對(duì)的有15人。問(wèn)多少個(gè)同學(xué)兩題都答得不對(duì)？ 練習(xí)二 1、五（1）班有40個(gè)學(xué)生,其中25人參加數(shù)學(xué)小組,23人參加科技小組,有19人兩個(gè)小組都參加了。那么

3、,有多少人兩個(gè)小組都沒(méi)有參加？ 2、一個(gè)班有55名學(xué)生,訂閱《小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)》的有32人,訂閱《中國(guó)少年報(bào)》的有29人,兩種報(bào)紙都訂閱的有25人。兩種報(bào)紙都沒(méi)有訂閱的有多少人？ 例3：某班有56人,參加語(yǔ)文競(jìng)賽的有28人,參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有27人,如果兩科都沒(méi)有參加的有25人,那么同時(shí)參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩科競(jìng)賽的有多少人？ 練習(xí)三 1、一個(gè)旅行社有36人,其中會(huì)英語(yǔ)的有24人,會(huì)法語(yǔ)的有18人,兩樣都不會(huì)的有4人。兩樣都會(huì)的有多少人？ 2、一個(gè)俱樂(lè)部有103人,其中會(huì)下中國(guó)象棋的有69人,會(huì)下國(guó)際象棋的有52人,這兩種棋都不會(huì)下的有12人。問(wèn)這兩種棋都會(huì)下的有多少人？ 例4：在1到100的

4、自然數(shù)中,既不是5的倍數(shù)也不是6的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？ 練習(xí)四 1、在1到200的全部自然數(shù)中,既不是5的倍數(shù)又不是8的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？ 2、在1到130的全部自然數(shù)中,既不是6的倍數(shù)又不是5的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？ 例5：光明小學(xué)舉辦學(xué)生書(shū)法展覽。學(xué)校的櫥窗里展出了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的書(shū)法作品,其中有24幅不是五年級(jí)的,有22幅不是六年級(jí)的,五、六年級(jí)參展的書(shū)法作品共有10幅,其他年級(jí)參展的書(shū)法作品共有多少幅？ 練習(xí)五 1、科技節(jié)那天,學(xué)校的科技室里展出了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的科技作品,其中有110件不是一年級(jí)的,有100件不是二年級(jí)的,一、二年級(jí)參展的作品共有32件。其他年級(jí)參展的作品共有多少件

5、？ 2、六（1）兒童節(jié)那天,學(xué)校的畫(huà)廊里展出了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的圖畫(huà)作品,其中有25幅畫(huà)不是三年級(jí)的,有19幅畫(huà)不是四年級(jí)的,三、四兩個(gè)年級(jí)參展的畫(huà)共有8幅。其他年級(jí)參展的畫(huà)共有多少幅？ 三、課后作業(yè) 1、學(xué)校文藝組每人至少會(huì)演奏一種樂(lè)器,已知會(huì)拉手風(fēng)琴的有24人,會(huì)彈電子琴的有17人,其中兩種樂(lè)器都會(huì)演奏的有8人。這個(gè)文藝組一共有多少人？ 2、某校選出50名學(xué)生參加區(qū)作文比賽和數(shù)學(xué)比賽,結(jié)果3人兩項(xiàng)比賽都獲獎(jiǎng)了,有27人兩項(xiàng)比賽都沒(méi)有獲獎(jiǎng)。已知作文比賽獲獎(jiǎng)的有14人,問(wèn)數(shù)學(xué)比賽獲獎(jiǎng)的有多少人？ 3、三年級(jí)一班參加合唱隊(duì)的有40人,參加舞蹈隊(duì)的有20人,既參加合唱隊(duì)又參加舞蹈隊(duì)的有14人

6、。這兩隊(duì)都沒(méi)有參加的有10人。請(qǐng)算一算,這個(gè)班共有多少人？ 4、五（1）班做廣播操,全班排成4行,每行的人數(shù)相等。小華排的位置是：從前面數(shù)第5個(gè),從后面數(shù)第8個(gè)。這個(gè)班共有多少個(gè)學(xué)生？ 5、實(shí)驗(yàn)小學(xué)舉辦學(xué)生書(shū)法展,學(xué)校的櫥窗里展出每個(gè)年級(jí)學(xué)生的書(shū)法作品,其中有28幅不是五年級(jí)的,有24幅不是六年級(jí)的,五、六年級(jí)參展的書(shū)法作品共有20幅。一、二年級(jí)參展的作品總數(shù)比三、四年級(jí)參展作品的總數(shù)少4幅。一、二年級(jí)參展的書(shū)法作品共有多少幅？ 專(zhuān)題簡(jiǎn)析： 容斥問(wèn)題涉及到一個(gè)重要原理——包含與排除原理,也叫容斥原理。即當(dāng)兩個(gè)計(jì)數(shù)部分有重復(fù)包含時(shí),為了不重復(fù)計(jì)數(shù),應(yīng)從它們的和中排除重復(fù)部分。 容斥原理

7、：對(duì)n個(gè)事物,如果采用不同的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn),按性質(zhì)a分類(lèi)與性質(zhì)b分類(lèi)（如圖）, 那么具有性質(zhì)a或性質(zhì)b的事物的個(gè)數(shù)=N a ＋N b －N ab 。 Nab Nb Na 例1：一個(gè)班有48人,班主任在班會(huì)上問(wèn)：“誰(shuí)做完語(yǔ)文作業(yè)？請(qǐng)舉手！”有37人舉手。又問(wèn)：“誰(shuí)做完數(shù)學(xué)作業(yè)？請(qǐng)舉手！”有42人舉手。最后問(wèn)：“誰(shuí)語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都沒(méi)有做完？”沒(méi)有人舉手。求這個(gè)班語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成的人數(shù)。 分析完成語(yǔ)文作業(yè)的有37人,完成數(shù)學(xué)作業(yè)的有42人,一共有37＋42=79人,多于全班人數(shù)。這是因?yàn)檎Z(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成的人數(shù)在統(tǒng)計(jì)做完語(yǔ)文作業(yè)的人數(shù)時(shí)算過(guò)一次,在統(tǒng)計(jì)做完數(shù)學(xué)作業(yè)的人數(shù)時(shí)又算了一

8、次,這樣就多算了一次。所以,這個(gè)班語(yǔ)文、數(shù)作業(yè)都完成的有：79－48=31人。 練習(xí)一 1,五年級(jí)有122名學(xué)生參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)考試,每人至少有一門(mén)功課取得優(yōu)秀成績(jī)。其中語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的有65人,數(shù)學(xué)優(yōu)秀的有87人。語(yǔ)文、數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有多少人？ 2,四年級(jí)一班有54人,訂閱《小學(xué)生優(yōu)秀作文》和《數(shù)學(xué)大世界》兩種讀物的有13人,訂《小學(xué)生優(yōu)秀作文》的有45人,每人至少訂一種讀物,訂《數(shù)學(xué)大世界》的有多少人？ 3,學(xué)校文藝組每人至少會(huì)演奏一種樂(lè)器,已知會(huì)拉手風(fēng)琴的有24人,會(huì)彈電子琴的有17人,其中兩種樂(lè)器都會(huì)演奏的有8人。這個(gè)文藝組一共有多少人？ 【答案】1.65+87-122=30（人）

9、 2.54-45+13=22（人） 3.24-8+17=33（人） 例2：某班有36個(gè)同學(xué)在一項(xiàng)測(cè)試中,答對(duì)第一題的有25人,答對(duì)第二題的有23人,兩題都答對(duì)的有15人。問(wèn)多少個(gè)同學(xué)兩題都答得不對(duì)？ 分析與解答：已知答對(duì)第一題的有25人,兩題都答對(duì)的有15人,可以求出只答對(duì)第一題 的有25－15=10人。又已知答對(duì)第二題的有23人,用只答對(duì)第一題的人數(shù),加上答對(duì)第二題的人數(shù)就得到至少有一題答對(duì)的人數(shù)：10＋23=33人。所以,兩題都答得不對(duì)的有36－33=3人。 練習(xí)二 1,五（1）班有40個(gè)學(xué)生,其中25人參加數(shù)學(xué)小組,23人參加科技小組,有19人兩個(gè)小組都參加了。那么,有多少

10、人兩個(gè)小組都沒(méi)有參加？ 2,一個(gè)班有55名學(xué)生,訂閱《小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)》的有32人,訂閱《中國(guó)少年報(bào)》的有29人,兩種報(bào)紙都訂閱的有25人。兩種報(bào)紙都沒(méi)有訂閱的有多少人？ 3,某校選出50名學(xué)生參加區(qū)作文比賽和數(shù)學(xué)比賽,結(jié)果3人兩項(xiàng)比賽都獲獎(jiǎng)了,有27人兩項(xiàng)比賽都沒(méi)有獲獎(jiǎng)。已知作文比賽獲獎(jiǎng)的有14人,問(wèn)數(shù)學(xué)比賽獲獎(jiǎng)的有多少人？ 【答案】1.40-（23+25-19）=11（人） 2.55-（32+29-25）=19（人） 3.（50-27）+3-14=12（人） 例3：某班有56人,參加語(yǔ)文競(jìng)賽的有28人,參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有27人,如果兩科都沒(méi)有參加的有25人,那么同時(shí)參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩科

11、競(jìng)賽的有多少人？ 分析與解答：要求兩科競(jìng)賽同時(shí)參加的人數(shù),應(yīng)先求出至少參加一科競(jìng)賽的人數(shù)：56－25=31人,再求兩科競(jìng)賽同時(shí)參加的人數(shù)：28＋27－31=24人。 練習(xí)三 1,一個(gè)旅行社有36人,其中會(huì)英語(yǔ)的有24人,會(huì)法語(yǔ)的有18人,兩樣都不會(huì)的有4人。兩樣都會(huì)的有多少人？ 2,一個(gè)俱樂(lè)部有103人,其中會(huì)下中國(guó)象棋的有69人,會(huì)下國(guó)際象棋的有52人,這兩種棋都不會(huì)下的有12人。問(wèn)這兩種棋都會(huì)下的有多少人？ 3,三年級(jí)一班參加合唱隊(duì)的有40人,參加舞蹈隊(duì)的有20人,既參加合唱隊(duì)又參加舞蹈隊(duì)的有14人。這兩隊(duì)都沒(méi)有參加的有10人。請(qǐng)算一算,這個(gè)班共有多少人？ 【答案】1.24+1

12、8-（36-4）=10（人） 2.69+52-（103-12）=30（人） 3.40+20-14+10=56（人） 例4：在1到100的自然數(shù)中,既不是5的倍數(shù)也不是6的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？ 分析與解答：從1到100的自然數(shù)中,減去5或6的倍數(shù)的個(gè)數(shù)。從1到100的自然數(shù)中,5的倍數(shù)有1005=20個(gè),6的倍數(shù)有16個(gè)（1006=16……4）,其中既是5的倍數(shù)又是6的倍數(shù)（即5和6的公倍數(shù)）的數(shù)有3個(gè)（10030=3……10）。因此,是6或5的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是16＋20－3=33個(gè),既不是5的倍數(shù)又不是6的倍數(shù)的數(shù)的個(gè)數(shù)是：100－33=67個(gè)。 練習(xí)四 1,在1到200的全部自然數(shù)中,

13、既不是5的倍數(shù)又不是8的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？ 2,在1到130的全部自然數(shù)中,既不是6的倍數(shù)又不是5的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？ 3,五（1）班做廣播操,全班排成4行,每行的人數(shù)相等。小華排的位置是：從前面數(shù)第5個(gè),從后面數(shù)第8個(gè)。這個(gè)班共有多少個(gè)學(xué)生？ 【答案】1.140個(gè) 2.87個(gè) 3.（5+8-1）4=48（人） 例5：光明小學(xué)舉辦學(xué)生書(shū)法展覽。學(xué)校的櫥窗里展出了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的書(shū)法作品,其中有24幅 不是五年級(jí)的,有22幅不是六年級(jí)的,五、六年級(jí)參展的書(shū)法作品共有10幅,其他年級(jí)參展的書(shū)法作品共有多少幅？ 分析與解答：由題意知,24幅作品是一、二、三、四、六年級(jí)參展作品的總數(shù),22

14、幅是一、二、三、四、五年級(jí)參展作品的總數(shù)。24＋22=46幅,這是一個(gè)五、六年級(jí)和兩個(gè)一、二、三、四年級(jí)參展的作品數(shù),從其中去掉五、六兩個(gè)年級(jí)共參展的10幅作品,即得到兩個(gè)一、二、三、四年級(jí)參展作品的總數(shù),再除以2,即可求出其他年級(jí)參展作品的總數(shù)。（24＋22－10）2=18幅。 練習(xí)五 1,科技節(jié)那天,學(xué)校的科技室里展出了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的科技作品,其中有110件不是一年級(jí)的,有100件不是二年級(jí)的,一、二年級(jí)參展的作品共有32件。其他年級(jí)參展的作品共有多少件？ 2,六（1）兒童節(jié)那天,學(xué)校的畫(huà)廊里展出了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的圖畫(huà)作品,其中有25幅畫(huà)不是三年級(jí)的,有19幅畫(huà)不是四年級(jí)的,三、四兩個(gè)年級(jí)參展的畫(huà)共有8幅。其他年級(jí)參展的畫(huà)共有多少幅？ 3,實(shí)驗(yàn)小學(xué)舉辦學(xué)生書(shū)法展,學(xué)校的櫥窗里展出每個(gè)年級(jí)學(xué)生的書(shū)法作品,其中有28幅不是五年級(jí)的,有24幅不是六年級(jí)的,五、六年級(jí)參展的書(shū)法作品共有20幅。一、二年級(jí)參展的作品總數(shù)比三、四年級(jí)參展作品的總數(shù)少4幅。一、二年級(jí)參展的書(shū)法作品共有多少幅？ 【答案】1.89件 2.18幅 3.[（28+24-20）2-4]2=6（幅）