布朗運動的計算

《布朗運動的計算》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《布朗運動的計算（29頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 2. 與 布 朗 運 動 有 關 的 隨 機 過 程過 程 1： d維 布 朗 運 動 過 程 2： 2( , ) 布 朗 運 動2, = + ( ), 0 , 0tB t W t t R 相 關 函 數(shù)均 值 函 數(shù) 2, ( )=Bm t t 2, 2 2( , )= + min( , )BR s t st s t 2( , ) 布 朗 運 動 是 一 個 高 斯 過 程性 質帶 漂 移 的 布 朗 運 動 的 民 用 航 空 發(fā) 動 機 實 時 性 能 可靠 性 預 測 ， 航 空 動 力 學 報2009， Vol.1,No.12.任 淑 紅 2( , ) 布 朗 運 動 是 一 個

2、高 斯 過 程證 明 對 任 意 自 然 數(shù) 2,n 不 是 一 般 性 ， 取 n個 不 同的 時 間 指 標 0 10= ,nt t t 定 義 增 量 2 2-1, ,= - , =1, ,k kk t tB B k n 則 2-1 -1 ( ( - ), ( - )k k k k kN t t t t 2 21 , , 1( , , )=( , , )nt t n n nB B M 過 程 3： 布 朗 橋= ( )- (1) 0,1brtB W t tW t則 稱 = , 0,1br brtB B t 為 從 0到 0的 布 朗 橋均 值 函 數(shù) ( )= ( )- (1)=0, 0

3、,1 brBm t E W t tW t 相 關 函 數(shù) (s, )=mins,t-st, , 0,1brBR t s t 性 質 ， 從 0到 0的 布 朗 橋 是 高 斯 過 程 例 設 常 數(shù) , ,a b R 定 義 從 a到 b的 布 朗 橋 ：= +( - ) + 0,1a b brt tB a b a t B t 證 明 ： 0 1(1) = , =a b a bB a B b (2) 從 a到 b的 布 朗 橋 是 高 斯 過 程 ,且( )= +( - ) 0,1 a bm t a b a t t ( , )= ( - ( )( - (t)=min ,- 0,1a b a b

4、 a b a b a bs tC s t E B m s B ms t st t 布 朗 橋 在 研 究 經 驗 分 布 函 數(shù) 中 起 著 非 常 重 要 的作 用 。 設 X1,X2, Xn, 獨 立 同 分 布 ， XnU(0,1) ，對 0s0get tB B t R 均 值 函 數(shù)相 關 函 數(shù) 2 2,( )= exp( )=exp( + ), 02ge tBm t E B t t 22 ( - )( + ) 2 2(s, )= , , 0 ge t st s sBR t e e e s t 股 票 價 格 服 從 幾 何 布 朗 運 動 的 證 明 謝 惠 揚 2,( )= ex

5、p( )ge tBm t E B 2-+ + 2- 1= 2 xt x te e dxt 2-2-+ 2- 1= 2 x t xt te e dxt 2 2( - ) ( )-+ 2 2- 1= 2 x t tt t te e e dxt 2=exp( + ), 02 t t + ( ) + (t) ( + )+ ( ( )+ ( )(s, )= =ge s W s t W s t W s W tBR t Ee e Ee ( + ) ( ( )+ ( )= s t W s W te Ee ( + ) ( )+( ( )- ( )+ ( )= s t W s W t W s W se Ee (

6、+ ) 2 ( ) ( )- ( )= s t W s W t W se Ee E 22 ( - )( + ) 2 2= , , 0t st s se e e s t 過 程 5： 反 射 布 朗 運 動= ( ) 0retB W t t 均 值 函 數(shù) 2( )= ( ) = , 0 reB tm t E W t t ( )= ( ) reBm t E W t 2-+ 2- 1= 2 xtx e dxt 2 +-2 02= (- )2 xtt et 2= , 0t t 過 程 6： 奧 恩 斯 坦 -烏 倫 貝 克 過 程-= ( ( ) 0 0ou ttB e W t t ） ，其 中 2

7、 20 1( )= = ( -1)2t s tt e ds e 均 值 函 數(shù) -( )= ( ( ) =0, 0ou tBm t E e W t t ）- ( + )( , )=min (s), (t) , , 0ou s tBR s t e s t 相 關 函 數(shù) 補 充 ：隨 機 變 量 序 列 或 隨 機 過 程均 方 極 限均 方 連 續(xù)均 方 可 導均 方 可 積 1 均 方 極 限 的 定 義定 義 設 , , 1,2,nX X H n 如 果則 稱 Xn,n=1,2,均 方 收 斂 于 X,或 稱 X 為 Xn,n=1,2,的 均 方 極 限 ， 記 為 . nnlimX X

8、2lim 0nn E X X 2 均 方 連 續(xù)設 X(t), t T是 二 階 矩 過 程 , t0 T, 若 0 0. ( ) ( )t tl i mX t X t 則 稱 X(t), t T在 t0處 均 方 連 續(xù) 若 對 任 意 的 t T, X(t), t T在 t處 均 方 連 續(xù) ,則 稱 X(t), t T在 T上 均 方 連 續(xù) . 或 稱 X(t), t T是 均 方 連 續(xù) 的 .1. 均 方 連 續(xù) 定 義 3 均 方 導 數(shù)1. 均 方 導 數(shù) 的 定 義 設 ( ), X t t T 是 二 階 矩 過 程 ， 0 ,t T 若 均 方 極 限0 00 ( ) (

9、 ).t X t t X tl i m t 存 在 ,則 稱 此 極 限 為 ( ), X t t T 在 t0點 的 均 方 導 數(shù) . 0( )X t 或 0( ) .t tdX tdt 這 時 稱 ( ), X t t T 在 t0處 均 方 可 導 記 為 4 均 方 積 分1. 均 方 積 分 的 定 義設 X(t),t a,b是 二 階 矩 過 程 ， f(t,u)是 a,b U上 的 普 通 函 數(shù) ， 對 區(qū) 間 a,b 任 一 劃 分0 1 na t t t b 1, 1,2, , )k k kt t t k n （記 1 , , 1,2, ,k kk t t nt k 任

10、取 （ ） 作 和 式1 ( , ) ( ) ,k kn kkt tf u X t H 如 果 以 下 均 方 極 限 存 在 0 1. ( , ) ( )n k k kklim f t u X t t 1max kk n t 令 該 均 方 極 限 值 Y(u)稱 為 ( , ) ( ), , f t u X t t a b 在 a,b上 的 均 方 積 分 .kt且 此 極 限 不 依 懶 于 對 a,b的 分 法 及 的 取 法 ,則 稱 ( , ) ( ), , f t u X t t a b 在 a,b上 均 方 可 積 . ( , ) ( ) ,ba f t u X t dt記 為

11、 即 ( , ) ( ) ,( ) b a f t u X t dt uY Uu 結 論 設 二 階 矩 過 程 X(t),t T均 方 可 導 .則(1)導 數(shù) 過 程 的 均 值 函 數(shù) 等 于 原 過 程 ( ), X t t T 均 值 函 數(shù) 的 導 數(shù) ， 即( ) ( ), ;X Xm t m t t T ( ), X t t T (2) 導 數(shù) 過 程 (), X t t T 和 原 過 程 (), X t t T 的互 相 關 函 數(shù) ( , ) XXR s t 等 于 原 過 程 (), X t t T 的相 關 函 數(shù) ( , )XR s t 關 于 s的 偏 導 數(shù) ，

12、 即( , ) ( , ), , ;XX XR s t R s t s t Ts ( , ) ( , ), , ;XX XR s t R s t s t Tt (3)原 過 程 ( ), X t t T ( ), X t t T 和 導 數(shù) 過 程 的互 相 關 函 數(shù) ( , )XXR s t 等 于 原 過 程 ( ), X t t T 的相 關 函 數(shù) ( , )XR s t 關 于 t的 偏 導 數(shù) ， 即的 的(4) 導 數(shù) 過 程 ( ), X t t T 相 關 函 數(shù) ( , )XR s t等 于 原 過 程 ( ), X t t T 相 關 函 數(shù) ( , )XR s t的

13、二 階 混 合 偏 導 數(shù) ， 即 2 2( , ) ( , ) ( , ), , .X X XR s t R s t R s t s t Ts t t s 是 參 數(shù) 為定 義 設 ( ), 0W t t 2 的 Wiener過 程 .如 果 存 在 實 隨 機 過 程 以 2 ( )s t 為 其 相 關 函 數(shù) ，則 稱 該 過 程 為 Wiener 過 程 ( ), 0W t t 的 導 數(shù) 過程 記 為 ( ), 0.W t t 從 而2( , ) ( ), , 0. WR s t s t s t 稱 參 數(shù) 為 2 的 Wiener過 程 ( ), 0W t t 的 導 數(shù) 過 程

14、 ( ), 0W t t 為 參 數(shù) 為 2 的 白 噪 聲 過 程 或 白 噪 聲 . 七 .布 朗 運 動 的 導 數(shù) 過 程 ts tstsRs W ,0 ,),( 2因 為 ts tstsu ,0,1)(令 ：)(),( 2 tsutsRs W 則 有 ( ) ( )s tDri u stca t 再 引 進 函 數(shù) ： )(),( 22 tstsRst W 于 是 有 )(),( 22 tstsRts W 同 理 八 .布 朗 運 動 的 積 分 過 程0( ) ( ) , ( ) .tS t W u du S t令 稱 為 積 分 布 朗 運 動積 分 布 朗 運 動 是 正 態(tài)

15、過 程( ) 0E s 20( , ) ( )2 3S s ts sC s t t 當 九 ： 在 某 點 被 吸 收 的 布 朗 運 動( ) 0.( ),( ) , ( ), 0 .( )x xxT W t x xW t t TZ t x t TZ t t x xZ t 設 為 布 朗 運 動 首 次 擊 中 的 時 刻 ， 令則 是 擊 中 后 被 吸 收 停 留 在 狀 態(tài) 的 布 朗 運 動是 混 合 型 隨 機 變 量 . 本 章 作 業(yè) 1. 2. 3. 6. 8. 舉 例1.寫 出 ( ， 2)布 朗 運 動 的 均 值 向 量 和 協(xié) 方 差 矩 陣 。2.計 算 標 準 布 朗 運 動 的 二 維 分 布 函 數(shù) 及 其 密 度 函 數(shù) 。 11( ) ( )212 21( ) (2 ) Tx xn Bexf B 3 )m N C BC Tn m（ ） Y=XC(C ),服 從 維 正 態(tài) 分 布 ( C,3.寫 出 W(1)+W(2)+W(3)+W(4)的 分 布