協(xié)方差分析-醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)

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1、1第 二 軍 醫(yī) 大 學(xué) 衛(wèi) 生 統(tǒng) 計(jì) 學(xué) 教 研 室 張 羅 漫 2 3 1n )XX)(XX( 1n )YY)(XX( 4 組 間 變 異總 變 異 組 內(nèi) 變 異 5 三 組 戰(zhàn) 士 行 軍 后 體 溫 增 加 數(shù) ( ) 不 飲 水 定 量 飲 水 不 限 量 飲 水 1.9 1.4 0.9 1.8 1.2 0.7 1.6 1.1 0.9 1.7 1.4 1.1 1.5 1.1 0.9 1.6 1.3 0.9 1.3 1.1 0.8 1.4 1.0 1.0 1.6 1.2 0.9 iX 23.1X 總Xij=+Ti+eij i=1, 2, , g j=1, 2, , n 6 組 間

2、離 均 差 平 方 和 (處 理 因 素 +隨 機(jī) 誤 差 )組 內(nèi) 離 均 差 平 方 和 (隨 機(jī) 誤 差 )總 離 均 差 平 方 和 SS(sum of squares of deviations from mean) g1i n 1j 2iji )XX(SS 總 g1i 2ii )XX(nSS 組 間 g1i n 1j 2iiji )XX(SS 組 內(nèi) 7gN 1g 1N SSSSSS 組 內(nèi)組 間總 組 內(nèi)組 間總 組 內(nèi)組 間總 8組 內(nèi)組 內(nèi)組 內(nèi) 組 間組 間組 間 /SSMS /SSMSMS (mean square) 組 內(nèi)組 間組 內(nèi) 變 異組 間 變 異 MSMSF

3、9 u如 果 處 理 因 素 無 作 用 ： 組 間 變 異 組 內(nèi) 變 異 F = 如 果 處 理 因 素 有 作 用 ： 組 間 變 異 組 內(nèi) 變 異 F uF界 值 表 (附 表 3) 0.05P FF 21 ,05.0 組 內(nèi)組 間 21 說 明 處 理 因 素 對 實(shí) 驗(yàn) 結(jié) 果 有 影 響 10 112n 1 MS MS/SS /SSF 剩回 ?；厥Ｊ?回回 12 YY X)YY( )YY( ) YY ( Y 13 )YY(YY(YY ） )YY(YY(YY ） 222 )YY)YY)YY （SS總 =SS回 +SS殘 XXXY l/lb ,XbYa ,bXaY 0)YY)(YY

4、2 （ 222 )YY()YY)(YY2YY()YY( （） 222 )YY()YY)(YY2YY()YY( （） 14 n)Y(Yl)YY(SS 22YY2 總SS總 Y的 離 均 差 平 方 和 ， 說 明 未 考 慮 X與 Y的 回 歸 關(guān) 系 時(shí) Y的 變 異 。 XX2XYXY2 l/lbl)YY(SS 回SS回 Y的 總 變 異 中 可 以 用 X解 釋 的 部 分 ， SS回 越 大 ， 說 明 回 歸 效 果 越 好 。SS殘 反 映 X對 Y線 性 影 響 之 外 的 一 切 因 素 對 Y變 異 的 作 用 ， 即 在 總 平 方 和 中 無 法 用 X解 釋 的 部 分

5、。 2)YY(SS 殘 residual sum of square 15 16 例 13-1 為 研 究 A、 B、 C三 種 飼 料 對 豬 的 催 肥 效果 ， 用 每 種 飼 料 喂 養(yǎng) 8頭 豬 一 段 時(shí) 間 ， 測得 每 頭 豬 的 初 始 重 量 (X)與 增 重 (Y)。 試 分析 三 種 飼 料 對 豬 的 催 肥 效 果 是 否 相 同 ？ 17jX協(xié) 變 量 18 若 不 考 慮 豬 的 初 始 重 量 X對 增 重 Y的 影 響H0： 1=2=3H1： 1、 2、 3不 等 或 不 全 相 等 =0.05結(jié) 論 ： 三 種 不 同 飼 料 的 催 肥 效 果 不 同

6、。 19 Tests of Between-Subjects Effects Dependent Variable: 增 重 （ kg） 1317.583a 2 658.792 11.172 .000 204057.042 1 204057.042 3460.339 .000 1317.583 2 658.792 11.172 .000 1238.375 21 58.970 206613.000 24 2555.958 23 Source Corrected Model Intercept 飼 料 組 Error Total Corrected Total Type III Sum of Sq

7、uares df Mean Square F Sig. R Squared = .515 (Adjusted R Squared = .469)a. Descriptive Statistics Dependent Variable: 增 重 （ kg） 81.7500 8.34523 8 98.0000 5.12696 8 96.8750 8.99901 8 92.2083 10.54176 24 飼 料 組 A飼 料 B飼 料 C飼 料 Total Mean Std. Deviation N 20 21 p由 于 各 組 豬 的 初 始 重 量 差 別 較 大 ， 如 果 不考 慮 豬 的

8、 初 始 重 量 X對 增 重 Y的 影 響 ， 直 接用 方 差 分 析 比 較 各 組 豬 的 平 均 增 重 ， 以 評 價(jià)三 種 飼 料 對 豬 的 催 肥 效 果 ， 這 是 不 恰 當(dāng) 的 。p如 何 在 扣 除 或 均 衡 這 些 不 可 控 制 因 素 的 影響 后 比 較 多 組 均 數(shù) 間 的 差 別 ， 應(yīng) 用 協(xié) 方 差 分析 。p當(dāng) 有 一 個(gè) 協(xié) 變 量 時(shí) ， 稱 一 元 協(xié) 方 差 分 析 ；當(dāng) 有 兩 個(gè) 或 兩 個(gè) 以 上 協(xié) 變 量 時(shí) ， 稱 多 元 協(xié) 方差 分 析 。 22 p協(xié) 方 差 分 析 是 將 線 性 回 歸 與 方 差 分 析 相 結(jié) 合

9、 的 一 種 分 析 方 法 。p把 對 反 應(yīng) 變 量 Y有 影 響 的 因 素 X看 作 協(xié) 變 量 ， 建 立 Y對 X的 線 性 回 歸 ， 利 用 回 歸 關(guān) 系 把 X值 化 為 相 等 ， 再 進(jìn) 行 各 組 Y的 修 正 均 數(shù) 間 比 較 。p修 正 均 數(shù) 是 假 設(shè) 各 協(xié) 變 量 取 值 固 定 在 其 總 均 數(shù) 時(shí) 的 反 應(yīng) 變 量 Y的 均 數(shù) 。 2)YY( 2)YY( 2)YY( p其 實(shí) 質(zhì) 是 從 Y的 總 離 均 差 平 方 和 中 扣 除 協(xié) 變 量 X對 Y的 回 歸 平 方 和 ， 對 殘 差 平 方 和 作 進(jìn) 一 步 分 解 后 再 進(jìn) 行

10、方 差 分 析 。 23 YY X)YY( )YY( ) YY ( Y 24FMSMS)YY( )YY( )YY()YY()YY( 22 222 組 內(nèi)修 正 均 數(shù) 間組 內(nèi)組 內(nèi) 修 正 均 數(shù) 間修 正 均 數(shù) 間 組 內(nèi)修 正 均 數(shù) 間總 組 內(nèi)修 正 均 數(shù) 間總殘 差 平 方 和 的 分 解 25 飼 料 1 飼 料 2 1X 0X 2X )YX( 11， )YX( 22， 12 YY )YX( 20， )YX( 10， 12 YY Y 26 1.各 組 協(xié) 變 量 X與 因 變 量 Y的 關(guān) 系 是 線 性 的 ， 即 各 樣 本 回 歸 系 數(shù) b本 身 有 統(tǒng) 計(jì) 學(xué) 意

11、義 。2.各 樣 本 回 歸 系 數(shù) b間 的 差 別 無 統(tǒng) 計(jì) 學(xué) 意 義 ， 即 各 回 歸 直 線 平 行 。3.各 組 殘 差 呈 正 態(tài) 分 布 。4.各 協(xié) 變 量 均 數(shù) 間 的 差 別 不 能 太 大 ， 否 則 有 的 修 正 均 數(shù) 在 回 歸 直 線 的 外 推 延 長 線 上 。 27 28jX 29 1.H0:各 總 體 增 重 的 修 正 均 數(shù) 相 等 H1:各 總 體 增 重 的 修 正 均 數(shù) 不 全 相 等 =0.052.計(jì) 算 總 的 、 組 間 與 組 內(nèi) 的 lXX、 lYY、 lXY與 自 由 度 1N N)Y)(X(XYl N)Y(Yl N)X(

12、Xl XY 2YY 2XX 總 : 301G N)Y)(X(n )Y)(X(l N)Y(n )Y(l N)X(n )X(l j jjXY 2j 2jYY 2j 2jXX 組 間 : 31組 間總 組 間總 組 間總 組 間總 lll lll lll )(XY)(XYXY )(YY)(YYYY )(XX)(XXXX組 內(nèi) : 32XX2XYYY2 lll)YY( 組 內(nèi)總修 正 均 數(shù) 222 )YY()YY( )YY( 33 3.結(jié) 論 F=31.07F0.01(2,20)=5.85 P0.05）， 但 都 高 于 C飼 料 （ P0.01） ,可 以 認(rèn) 為 扣 除初 始 體 重 因 素 的

13、 影 響 后 ， A飼 料 與 B飼 料 喂 養(yǎng)的 平 均 增 重 均 比 C飼 料 的 多 。 38 SPSS軟 件 計(jì) 算1.建 立 數(shù) 據(jù) 文 件2.繪 制 散 點(diǎn) 圖 與 建 立 直 線 回 歸 方 程3.回 歸 直 線 平 行 性 假 定 的 檢 驗(yàn) 初 始 體 重 與 飼 料 組 無 交 互 作 用 可 認(rèn) 為 各 組 回 歸 直 線 平 行 ， 即 初 始 體 重 對 增 重 的 影 響 在 各 組 間 是 相 同 的 。4.修 正 均 數(shù) 的 計(jì) 算 與 假 設(shè) 檢 驗(yàn) 39 數(shù) 據(jù) 輸 入 原 則 ：一 個(gè) 變 量 占 一 列一 個(gè) 觀 測 對 象 占 一 行 40 41 S

14、PSS軟 件 計(jì) 算1.建 立 數(shù) 據(jù) 文 件2.繪 制 散 點(diǎn) 圖 與 建 立 直 線 回 歸 方 程3.回 歸 直 線 平 行 性 假 定 的 檢 驗(yàn) 初 始 體 重 與 飼 料 組 無 交 互 作 用 可 認(rèn) 為 各 組 回 歸 直 線 平 行 ， 即 初 始 體 重 對 增 重 的 影 響 在 各 組 間 是 相 同 的 。4.修 正 均 數(shù) 的 計(jì) 算 與 假 設(shè) 檢 驗(yàn) 42 43 44 45 SPSS軟 件 計(jì) 算1.建 立 數(shù) 據(jù) 文 件2.繪 制 散 點(diǎn) 圖 與 建 立 直 線 回 歸 方 程3.回 歸 直 線 平 行 性 假 定 的 檢 驗(yàn) 初 始 體 重 與 飼 料 組

15、無 交 互 作 用 可 認(rèn) 為 各 組 回 歸 直 線 平 行 ， 即 初 始 體 重 對 增 重 的 影 響 在 各 組 間 是 相 同 的 。4.修 正 均 數(shù) 的 計(jì) 算 與 假 設(shè) 檢 驗(yàn) 46 47觀 測 指 標(biāo) ： 增 重“ 處 理 因 素 ” ： 飼 料 組 初 始 體 重 48 Tests of Between-Subjects Effects Dependent Variable: 增 重 （ kg） 2376.382a 5 475.276 47.640 .000 706.385 1 706.385 70.805 .000 24.466 2 12.233 1.226 .317

16、 830.415 1 830.415 83.237 .000 48.038 2 24.019 2.408 .118 179.576 18 9.976 206613.000 24 2555.958 23 Source Corrected Model Intercept 飼 料 組 初 始 重 量 （ kg） 飼 料 組 * 初 始 重 量 （ kg） Error Total Corrected Total Type III Sum of Squares df Mean Square F Sig. R Squared = .930 (Adjusted R Squared = .910)a. 49

17、SPSS軟 件 計(jì) 算1.建 立 數(shù) 據(jù) 文 件2.繪 制 散 點(diǎn) 圖 與 建 立 直 線 回 歸 方 程3.回 歸 直 線 平 行 性 假 定 的 檢 驗(yàn) 初 始 體 重 與 飼 料 組 無 交 互 作 用 可 認(rèn) 為 各 組 回 歸 直 線 平 行 ， 即 初 始 體 重 對 增 重 的 影 響 在 各 組 間 是 相 同 的 。4.修 正 均 數(shù) 的 計(jì) 算 與 假 設(shè) 檢 驗(yàn) 50 前 面 已 得 出三 組 斜 率 相同 的 結(jié) 論 ，故 交 互 項(xiàng) 不需 要 再 引 入到 模 型 。 51作 圖 52 Estimates Dependent Variable: 增 重 （ kg） 9

18、4.959a 1.840 91.120 98.798 99.501a 1.203 96.991 102.011 82.165a 1.964 78.068 86.263 飼 料 組 A飼 料 B飼 料 C飼 料 Mean Std. Error Lower Bound Upper Bound 95% Confidence Interval Covariates appearing in the model are evaluated at the following values: 初 始 重 量 （ kg） = 19.2500. a. Tests of Between-Subjects Effe

19、cts Dependent Variable: 增 重 （ kg） 2328.344a 3 776.115 68.196 .000 980.448 1 980.448 86.150 .000 707.219 2 353.609 31.071 .000 1010.760 1 1010.760 88.813 .000 227.615 20 11.381 206613.000 24 2555.958 23 Source Corrected Model Intercept 飼 料 組 初 始 重 量 （ kg） Error Total Corrected Total Type III Sum of S

20、quares df Mean Square F Sig. R Squared = .911 (Adjusted R Squared = .898)a. 協(xié) 變 量 假 定 均 數(shù) 53 Pairwise Comparisons Dependent Variable: 增 重 （ kg） -4.542* 2.095 .042 -8.912 -.173 12.793* 3.409 .001 5.682 19.904 4.542* 2.095 .042 .173 8.912 17.336* 2.409 .000 12.310 22.361 -12.793* 3.409 .001 -19.904 -5

21、.682 -17.336* 2.409 .000 -22.361 -12.310 (J) 飼 料 組 B飼 料 C飼 料 A飼 料 C飼 料 A飼 料 B飼 料 (I) 飼 料 組 A飼 料 B飼 料 C飼 料 Mean Difference (I-J) Std. Error Sig.a Lower Bound Upper Bound 95% Confidence Interval for Differencea Based on estimated marginal means The mean difference is significant at the .05 level.*. Ad

22、justment for multiple comparisons: Least Significant Difference (equivalent to no adjustments). a. 54 55 56 例 13-2為 研 究 A、 B、 C三 種 飼 料 對 增 加 大 白 鼠 體重 的 影 響 ， 有 人 按 隨 機(jī) 區(qū) 組 設(shè) 計(jì) 將 初 始 體 重相 近 的 36只 大 白 鼠 分 成 12個(gè) 區(qū) 組 ， 再 將 每 個(gè)區(qū) 組 的 3只 大 白 鼠 隨 機(jī) 分 入 A、 B、 C三 種 飼料 組 ， 但 在 實(shí) 驗(yàn) 設(shè) 計(jì) 時(shí) 未 對 大 白 鼠 的 進(jìn) 食 量加 以 限

23、制 。 三 組 大 白 鼠 的 進(jìn) 食 量 (X)與 所 增體 重 (Y)如 下 ， 問 扣 除 進(jìn) 食 量 因 素 的 影 響 后， 三 種 飼 料 對 增 加 大 白 鼠 體 重 有 無 差 別 ？ 57jX 58 隨 機(jī) 區(qū) 組 設(shè) 計(jì) 資 料 方 差 分 析 的 變 異 分 解誤 差區(qū) 組處 理總 誤 差區(qū) 組處 理總 SSSSSSSS總 變 異 處 理 間 變 異 +區(qū) 組 間 變 異 +誤 差隨 機(jī) 區(qū) 組 設(shè) 計(jì) 資 料 協(xié) 方 差 分 析 的 變 異分 解 與 此 相 同 59 處 理 因 素（ 飼 料 ） 協(xié) 變 量（ 進(jìn) 食 量 ） 區(qū) 組（ 大 白 鼠 ）反 應(yīng) 變 量

24、Y(增 重 )均 數(shù)扣 除 協(xié) 變 量 影 響 ：用 線 性 回 歸 殘 差 平 方 和 表 示扣 除 區(qū) 組 的 影 響 ：總 變 異 區(qū) 組 變 異 處 理 變 異 誤 差 60 1.H0:各 總 體 增 重 的 修 正 均 數(shù) 相 等 H1:各 總 體 增 重 的 修 正 均 數(shù) 不 全 相 等 =0.052.計(jì) 算 總 的 、 飼 料 組 間 、 大 白 鼠 間 、 誤 差 項(xiàng) 、 飼 料 +誤 差 項(xiàng) 的 lXX、 lYY、 lXY與 自 由 度 61XX2XYYY2 lll)YY( 總 變 異 白 鼠 間 誤 差誤 差飼 料修 正 均 數(shù) 222 )YY()YY( )YY( 62

25、3.結(jié) 論 : F=2.190.05 按 =0.05水 準(zhǔn) 不 拒 絕 H0， 還 不 能 認(rèn) 為 扣 除 進(jìn) 食 量 因 素 的 影 響 后 ， 三 種 飼 料 對 增 加 大 白 鼠 體 重 有 差 別 。 63 4.計(jì) 算 公 共 回 歸 系 數(shù) 與 修 正 均 數(shù) 06.59)42.34640.492(4088.074.118Y C 05.75)42.34662.274(4088.070.45Y B 43.67)42.34623.272(4088.010.37Y A )XX(bYY 4088.0246.36943873.15102llb *C*B*A jCj*j XX XYC 飼 料飼

26、 料飼 料 誤 差誤 差未 修 正 前 均 數(shù) ： 74.118Y 70.45Y 10.37Y CBA 64 SPSS軟 件 計(jì) 算1.建 立 數(shù) 據(jù) 文 件2.繪 制 散 點(diǎn) 圖 與 建 立 直 線 回 歸 方 程3.回 歸 直 線 平 行 性 假 定 的 檢 驗(yàn) 進(jìn) 食 量 與 飼 料 組 無 交 互 作 用 可 認(rèn) 為 各 組 回 歸 直 線 平 行 ， 即 進(jìn) 食 量 對 增 重 的 影 響 在 各 組 間 是 相 同 的 。4.修 正 均 數(shù) 的 計(jì) 算 與 假 設(shè) 檢 驗(yàn) 65 66 67 SPSS軟 件 計(jì) 算1.建 立 數(shù) 據(jù) 文 件2.繪 制 散 點(diǎn) 圖 與 建 立 直 線

27、回 歸 方 程3.回 歸 直 線 平 行 性 假 定 的 檢 驗(yàn) 進(jìn) 食 量 與 飼 料 組 無 交 互 作 用 可 認(rèn) 為 各 組 回 歸 直 線 平 行 ， 即 進(jìn) 食 量 對 增 重 的 影 響 在 各 組 間 是 相 同 的 。4.修 正 均 數(shù) 的 計(jì) 算 與 假 設(shè) 檢 驗(yàn) 68 69 70 71 SPSS軟 件 計(jì) 算1.建 立 數(shù) 據(jù) 文 件2.繪 制 散 點(diǎn) 圖 與 建 立 直 線 回 歸 方 程3.回 歸 直 線 平 行 性 假 定 的 檢 驗(yàn) 進(jìn) 食 量 與 飼 料 組 無 交 互 作 用 可 認(rèn) 為 各 組 回 歸 直 線 平 行 ， 即 進(jìn) 食 量 對 增 重 的 影

28、 響 在 各 組 間 是 相 同 的 。4.修 正 均 數(shù) 的 計(jì) 算 與 假 設(shè) 檢 驗(yàn) 72 73固 定 因 素隨 機(jī) 因 素 交 互 作 用 74 Tests of Between-Subjects Effects Dependent Variable: 增 重 891.824 1 891.824 7.752 .012 2265.667 19.695 115.038a 104.929 2 52.465 .462 .637 2159.300 19 113.647b 3769.565 11 342.688 3.015 .017 2159.300 19 113.647b 2827.539 1

29、2827.539 24.880 .000 2159.300 19 113.647b 66.065 2 33.032 .291 .751 2159.300 19 113.647b Source Hypothesis Error Intercept Hypothesis Error group Hypothesis Error block Hypothesis Error X Hypothesis Error group * X Type III Sum of Squares df Mean Square F Sig. .006 MS(block) + .994 MS(Error)a. MS(Er

30、ror)b. 75 SPSS軟 件 計(jì) 算1.建 立 數(shù) 據(jù) 文 件2.繪 制 散 點(diǎn) 圖 與 建 立 直 線 回 歸 方 程3.回 歸 直 線 平 行 性 假 定 的 檢 驗(yàn) 進(jìn) 食 量 與 飼 料 組 無 交 互 作 用 可 認(rèn) 為 各 組 回 歸 直 線 平 行 ， 即 進(jìn) 食 量 對 增 重 的 影 響 在 各 組 間 是 相 同 的 。4.修 正 均 數(shù) 的 計(jì) 算 與 假 設(shè) 檢 驗(yàn) 76 前 面 已 得 出三 組 斜 率 相同 的 結(jié) 論 ，故 交 互 項(xiàng) 不需 要 再 引 入到 模 型 。 77 作 圖 78 Estimates Dependent Variable: 增 重

31、67.428a 4.962 57.110 77.746 75.050a 4.860 64.944 85.157 59.063a 8.364 41.669 76.457 飼 料 分 組 A飼 料 B飼 料 C飼 料 Mean Std. ErrorLower Bound Upper Bound 95% Confidence Interval Covariates appearing in the model are evaluated at the following values: 進(jìn) 食 量 = 346.419. a. 協(xié) 變 量 假 定 均 數(shù) 79 80 Tests of Between-

32、Subjects Effects Dependent Variable: 增 重 1691.403 1 1691.403 15.645 .001 2402.367 22.221 108.110a 463.948 2 231.974 2.189 .137 2225.364 21 105.970b 3765.326 11 342.302 3.230 .010 2225.364 21 105.970b 6174.248 1 6174.248 58.264 .000 2225.364 21 105.970b Source Hypothesis Error Intercept Hypothesis Error group Hypothesis Error block Hypothesis Error X Type III Sum of Squares df Mean Square F Sig. .009 MS(block) + .991 MS(Error)a. MS(Error)b. 81 YY X)YY( )YY( ) YY ( Y 82 83