《復(fù)變函數(shù)》教學(xué)資料第八章第一節(jié)

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1、概 率 論 與 數(shù) 理 統(tǒng) 計(jì)第 八 章 假 設(shè) 檢 驗(yàn)太 原 理 工 大 學(xué) 統(tǒng) 計(jì) 系 目 錄1 基 本 概 念4 檢 驗(yàn) 法x 26 分 布 擬 合 的 檢 驗(yàn) 法x22 檢 驗(yàn) 法 U3 檢 驗(yàn) 法T5 檢 驗(yàn) 法F 8.11 基 本 概 念8.1.1 假 設(shè) 檢 驗(yàn) 在 實(shí) 際 工 作 中 ， 往 往 能 夠 根 據(jù) 過 去稱 為 原 假 設(shè) ） 。 一 種 是 關(guān) 于 總 體 參 數(shù) 的假 設(shè) ， 即 參 數(shù) 假 設(shè) 。 另 一 種 是 關(guān) 于 總 體分 布 的 假 設(shè) ， 即 非 參 數(shù) 假 設(shè) 。的 資 料 ， 對 總 體 作 出 某 種 假 設(shè) （ 記 為 H0 對 于 一

2、種 假 設(shè) 是 否 成 立 ， 需 要 根 據(jù)樣 本 提 供 的 信 息 ， 按 照 一 定 的 規(guī) 則 和 程序 來 進(jìn) 行 檢 驗(yàn) ， 決 定 接 受 這 種 假 設(shè) ， 還驗(yàn) 。 為 了 具 體 說 明 假 設(shè) 檢 驗(yàn) 解 決 哪 類 問題 ， 下 面 看 幾 個(gè) 例 子 。 例 1某 煉 鐵 石 生 產(chǎn) 的 生 鐵 含 硅 量 服 從是 拒 絕 這 種 假 設(shè) 。 這 一 過 程 稱 為 假 設(shè) 檢正 態(tài) 分 布 。 由 過 去 大 量 數(shù) 據(jù) 算 得 含 硅 量 平 有 了 改 變 ， 從 改 變 原 料 后 的 生 產(chǎn) 記 錄 中沒 有 改 變 ， 問 生 鐵 含 硅 量 有 無

3、顯 著 變 化 ？得 平 均 含 硅 量 ， 若 均 方 差%670.0 x 例 2 某 廠 生 產(chǎn) 某 種 產(chǎn) 品 ， 由 經(jīng) 驗(yàn) 知 ，其 強(qiáng) 力 服 從 正 態(tài) 分 布 ， 強(qiáng) 力 均 方 差 。 后 改 變 原 料 ， 從 新 產(chǎn) 品 中 抽kg25.7平 值 為 。 現(xiàn) 在 煉 鐵 廠 原 料(%)700.0生 產(chǎn) 記 錄 中 隨 機(jī) 地 抽 取 的 樣 本 ，25n 16件 進(jìn) 行 測 試 ， 得 樣 本 標(biāo) 準(zhǔn) 差 為 8.5kg，問 新 產(chǎn) 品 的 強(qiáng) 力 標(biāo) 準(zhǔn) 差 是 否 有 明 顯 增 加 ？ 例 3 對 某 電 話 交 換 臺(tái) 在 一 分 鐘 內(nèi) 得 到的 呼 叫 次

4、數(shù) 統(tǒng) 計(jì) 得 幾 錄 如 下 ： 01261017168頻數(shù)76543210呼叫次數(shù)試 檢 驗(yàn) 該 交 換 臺(tái) 在 一 分 鐘 內(nèi) 得 到 的 電 話 呼喚 次 數(shù) 是 否 服 從 泊 松 分 布 ？ X 以 上 三 個(gè) 例 子 都 是 假 設(shè) 檢 驗(yàn) 中 常 見 的 問題 。 在 例 1、 例 2中 ， 總 體 分 布 類 型 已 知 ，僅 對 總 體 中 的 未 知 參 數(shù) 有 關(guān) 性 質(zhì) 進(jìn) 行 判斷 ， 這 種 檢 驗(yàn) 稱 為 參 數(shù) 假 設(shè) 檢 驗(yàn) 。 設(shè) 總體 分 布 類 型 不 知 ， 若 檢 驗(yàn) 其 分 布 屬 于 某種 類 型 （ 如 例 3中 的 問 題 ） 或 兩 變

5、量 是否 獨(dú) 立 ， 或 量 總 體 的 分 布 函 數(shù) 是 否 相同 等 ， 稱 為 非 參 數(shù) 假 設(shè) 檢 驗(yàn) 。 8.1.2 假 設(shè) 檢 驗(yàn) 的 基 本 原 理 及 步 驟 下 面 我 們 以 例 1為 代 表 來 說 明 假 設(shè)檢 驗(yàn) 的 基 本 原 理 。 若 把 原 料 改 變 后 生 鐵 的 含 硅 量 看 作一 個(gè) 整 體 ， 把 原 來 的 生 鐵 含 硅 量 看 作 另一 總 體 ， 難 么 ， 例 1的 問 題 就 化 為 兩 個(gè) 生鐵 含 硅 量 的 總 體 均 值 有 無 差 異 的 問 題 。為 此 ， 我 們 先 作 出 假 設(shè) ， 即 原 假 設(shè) ， 記 為 （

6、 或 對 立 假 設(shè) ） ， 記 為 。 即H1 ： 假 設(shè) 原 料 改 變 后 的 生 鐵 含 硅 量 并 無 變H0這 樣 ， 例 1的 假 設(shè) 檢 驗(yàn) 問 題 ， 就 是 根 據(jù) 樣本 所 提 供 的 信 息 判 斷 ， 中 哪 個(gè) 成 立 。H 0 H1同 時(shí) 我 們 把 原 假 設(shè) 的 反 面 作 為 備 擇 假 設(shè)H0 ： H0 (%)700.0化 ， 其 均 值 仍 為 。 即(%)700.0 :H1 (%)700.0 即 是 檢 驗(yàn) 假 設(shè)中 ， 故 有 006.0 2)(,700.0)( XDXE (%).700.0:(%);700.0: 10 HH ).1,0(006.0

7、700.0 NXU ， 即 ， 其)25,700.0( 030.0 2 ),700.0( 006.0 2NX),700.0( 030.0 2 由 抽 樣 分 布 知 ,樣 本 均 值 NX 若 為 真 ,則 可 認(rèn) 為 生 鐵 含 硅 量H0 NX 到 ,若 的 觀 察 值 達(dá) 到 一 定 程 度 ,就 認(rèn)U u為 樣 本 不 是 來 自 原 來 的 總 體 ,從 而 拒 絕 原假 設(shè) ,否 則 就 接 受 原 假 設(shè) .H0H0006.0 700.0 xu 就 有 偏 大 的 趨 勢 .因 而 自 然 會(huì) 想因 而 , 的 觀 察 值 就 較 集 中 在 零 的 周 圍 .U u對 于 給

8、定 的 查 正 態(tài) 分 布)10( 若 不 真 （ 即 為 真 ） ， 則 的 觀 察 值H0 H1 U .05.0)96.1( UP例 如 ,取 a=0.05,查 得 ,使u ua 96.12 025.0 .)( 2 aUP u a 表 得 分 位 數(shù) ,使ua2這 樣 表 明 ,當(dāng) 為 真 時(shí) ,由 總 體 中 抽 出 容H0成 的 統(tǒng) 計(jì) 量 的 觀 察 值nXU 030.0 700.0 25030.0 700.0 xu落 在 之 外 的 概 率 僅 為 0.05,這 是 一)96.1,96.1(量 為 的 樣 本 ,其 均 值 所 構(gòu)),.,( 21 XXX n Xn 因 而 可 以

9、認(rèn) 為 在 一 次 實(shí) 際 抽 樣 中 ,這 個(gè) 小概 率 事 件 (即 落 在 之 外 )幾 乎 是 不)96.1,96.1(可 能 發(fā) 生 的 .也 即 ,若 對 樣 本 的 一 次 觀 察由 懷 疑 不 真 ,從 而 拒 絕 .否 則 就 接 受 .H 0 H0 H0 個(gè) 較 小 的 概 率 .如 抽 取 100個(gè) 容 量 為 的n樣 本 ,大 約 只 有 5個(gè) 的 值 在 這 個(gè) 區(qū) 間 外 ,u值 ,算 得 的 落 在 此 區(qū) 間 之 外 ,自 然 就 有 理u 例 1中 , 由 于,525030.0 700.0670.0(%),670.0,25 uxn ,故 拒 絕 .認(rèn) 為 原

10、料 改 變 后 ,生96.15 u H 0鐵 的 含 硅 量 有 顯 著 變 化 .綜 上 所 述 ,我 們 要 對 作 出 的 假 設(shè) 按 一定 的 程 序 進(jìn) 行 推 斷 ,而 推 斷 的 依 據(jù) 是 所 謂小 概 率 原 理 .即 小 概 率 事 件 ,再 一 次 試 驗(yàn) 中認(rèn) 為 實(shí) 際 上 不 會(huì) 發(fā) 生 的 .把 小 概 率 原 理 應(yīng)用 在 假 設(shè) 檢 驗(yàn) 上 ,是 指 ,首 先 假 設(shè) 成 立 ,H 0 根 據(jù) 一 定 的 規(guī) 則 和 程 序 ,依 照 事 先 給 定 的0.05,0.01,0.1等 值 ),構(gòu) 造 一 個(gè) 小 概 率 事 件 .然 后 根 據(jù) 一 次 抽 樣

11、試 驗(yàn) 的 結(jié) 果 ,若 之 一 概率 事 件 發(fā) 生 了 ,那 么 就 認(rèn) 為 原 來 的 假 設(shè) 是不 真 的 ,從 而 作 出 拒 絕 的 推 斷 ,否 則 ,就 接H 0受 .這 種 先 假 設(shè) 成 立 ,后 進(jìn) 行 反 證 的 方H0法 ,稱 為 概 率 論 的 反 證 法 . 概 率 (又 稱 顯 著 性 水 平 ,或 檢 驗(yàn) 水 平 ,常 取 假 如 在 前 面 討 論 過 程 的 中 ,.)( 2 aUP ua 事 件 是 小 概 率 事 件 .為 使 否 定 原 假 設(shè) uaU 2前 例 中 ,臨 界 值 為 -1.96,1.96, .)96.1( UW綜 上 所 述 ,我

12、們 可 以 得 出 進(jìn) 行 假 設(shè) 檢驗(yàn) 的 步 驟 ： （ 1） 提 出 原 假 設(shè) 及 備 擇 假 設(shè) ；H 0 H1 稱 為 拒 絕 域 ,記 為 , 稱 為 臨 界 值 . uaU 2 ua2W具 有 較 強(qiáng) 的 說 服 力 ,一 般 應(yīng) 取 的 較 小 ,并 將 （ 2） 構(gòu) 造 檢 驗(yàn) 統(tǒng) 計(jì) 量 ， 在 為 真 的H0條 件 下 ， 確 定 該 統(tǒng) 計(jì) 量 的 分 布 ；水 平 的 條 件 下 ， 查 統(tǒng) 計(jì) 量 所 服 從 的)10( （ 3） 確 定 的 拒 絕 域 ； 在 給 定 顯 著H0（ 4） 推 斷 ： 有 樣 本 觀 察 值 算 出 統(tǒng) 計(jì) 量否 則 接 受 。H

13、 0分 布 表 ， 求 出 臨 界 值 ， 從 而 確 定 拒 絕 域 ；W的 觀 察 值 ， 若 落 在 拒 絕 域 中 ， 則 絕 。H0W 8.1.3 假 設(shè) 檢 驗(yàn) 的 兩 類 錯(cuò) 誤 假 設(shè) 檢 驗(yàn) ， 就 是 對 做 出 的 假 設(shè) ， 按一 定 的 程 序 進(jìn) 行 檢 驗(yàn) ， 最 后 對 所 給 假 設(shè) 作出 接 受 還 是 拒 絕 的 推 斷 。 這 種 推 斷 是 在 一定 的 概 率 定 義 下 進(jìn) 行 的 。 因 此 ， 所 做 出 的推 斷 ， 就 可 能 產(chǎn) 生 錯(cuò) 誤 。 那 么 ， 會(huì) 犯 什 么樣 的 錯(cuò) 誤 呢 ？ 犯 錯(cuò) 誤 的 概 率 是 多 大 呢 ？

14、首 先 我 們 看 到 ， 若 為 真 ， 小 概 率 事H 0 件 雖 然 是 發(fā) 生 的 可 能 性 很 小 的 事 件 ， 但 并非 絕 對 不 發(fā) 生 。 因 此 ， 按 上 面 的 原 則 拒 絕 ， 就 不 免 要 犯 “ 棄 真 ” 錯(cuò) 誤 ， 稱 為 第一 類H0錯(cuò) 誤 。 犯 第 一 類 錯(cuò) 誤 的 概 率 為這 個(gè) 概 率 是 小 概 率 ， 也 稱 為 檢 驗(yàn) 水 平 。此 外 ， 若 不 真 ， 而 樣 本 觀 察 值 未 落H 0（ 拒 絕 為 真 ） =H0 H0P 入 拒 絕 域 ， 這 時(shí) 就 要 犯 “ 取 偽 ” 錯(cuò) 誤 ，稱 為 W 第 二 類 錯(cuò) 誤 。 犯 第 二 類 錯(cuò) 誤 的 概 率 為兩 類 錯(cuò) 誤 分 析 表 如 下 ：第二類錯(cuò)誤 判斷真確 成立 判斷正確 第一類錯(cuò)誤 成立 接受 拒絕 情況 判斷 真實(shí)H 0 H0 H0H1 我 們 當(dāng) 然 希 望 犯 這 兩 類 錯(cuò) 誤 的 概 率 （ 拒 絕 為 真 ） =H0 H1 P 時(shí) ， 這 是 辦 不 到 的 。 只 有 增 大 樣 本 容 量很 小 ， 但 當(dāng) ， 給 定 ， 樣 本 容 量 固 定H0 H1 ， 才 能 使 ， 都 變 的 小 些 。N n