機械設計外文翻譯-耦合系統(tǒng)熱問題的數(shù)值模擬在鋁電池中具有磁流體動力效應【中文6270字】【PDF+中文WORD】
機械設計外文翻譯-耦合系統(tǒng)熱問題的數(shù)值模擬在鋁電池中具有磁流體動力效應【中文6270字】【PDF+中文WORD】,中文6270字,PDF+中文WORD,機械設計,外文,翻譯,耦合,系統(tǒng),問題,數(shù)值,模擬,電池,具有,流體,動力,效應,中文,6270,PDF,WORD
【中文6270字】
耦合系統(tǒng)熱問題的數(shù)值模擬在鋁電池中具有磁流體動力效應
Y. Safa *, M. Flueck, J. Rappaz
洛桑聯(lián)邦理工學院，分析與科學計算研究所，瑞士洛桑1015第8站
2006年12月27日初稿；2008年2月4日修訂；2008年2月8日被收錄；2008年2月29日可網(wǎng)上搜索
摘要
本文運用一系列偏微分方程對鋁電解槽的熱磁耦合行為進行了數(shù)值模擬。熱模型被認為是一個由焦耳效應引起的非線性對流擴散熱方程組成的兩階段史蒂芬問題。該磁流體動力領域的主導是納維-斯托克斯方程和靜態(tài)麥克斯韋方程組。偽進化組合（切爾諾夫）用于獲取電解槽仿真壁架的溫度和凝固層剖面的穩(wěn)態(tài)解。利用有限元方法的數(shù)值算法來獲取流體速度，電勢，磁感應和溫度。同時也利用了迭代算法和三維數(shù)值模擬結果。
2008年愛思唯爾公司保留所有權利。
關鍵詞：鋁電解；切爾諾夫組合；熱方程；磁流體力學；壁架；凝固
1. 緒論
本文研究了由電解槽熱磁耦合作用模型引起的相位變化問題。在一個利用霍爾-埃魯特過程的冶煉池中，金屬部分是由三氧化二鋁電解融化在熔融冰晶石材質的槽中制造而成的[1]。該電解槽中產(chǎn)生了多種現(xiàn)象，圖1為一個橫截面示意圖。
電解槽中穩(wěn)定的電流通過鋁液在陽極和陰極棒之間產(chǎn)生。送到槽中的電流產(chǎn)生重要的磁場，該磁場連同電解槽中流通的電流共同產(chǎn)生一個維持這兩種導電液體耦合運動的拉氏力量作用域。電解槽中會產(chǎn)生磁流體動力學相互作用。另一方面，由槽體中的電阻率引起焦耳效應，熱源也隨之產(chǎn)生。
冰凍層
冰凍層
電解液
陽極塊
鋁液
陰極層
圖1. 鋁電解槽橫截面
所謂的壁架在固態(tài)槽壁層上建立。這些壁架能夠避免電解槽側壁腐蝕性點解，并降低電解槽熱損耗（見[2]第23頁）。此外，它的輪廓嚴重影響磁流體動力穩(wěn)定性，引起鋁液和槽體接觸面振蕩，降低電流效率。因此最佳的層剖面是電解槽側壁設計的目標之一。
冶煉槽內的熱凝固問題已經(jīng)被幾個專家解決[3-5]。據(jù)我們所知，在熱磁耦合上，該問題一直沒有被重視。本文的目的是解決類似的耦合問題。我們期待，關于該問題的詳細資料記入在薩法論文集[6]。
數(shù)學上，該問題解決了偏微分方程組、麥克斯韋方程組和納維-斯托克斯方程組的耦合系統(tǒng)，其中，偏微分方程組包含由焦耳效應引起的熱方程，麥克斯韋方程組以導電率作為溫度的函數(shù)。鋁液和和槽體之間的接觸面是未知的。壁架被認為是電絕緣體，熱模型是靜止的兩階段史蒂芬問題。本文大綱如下：第2節(jié)介紹物理模型，第3節(jié)給出算法，第4節(jié)得出數(shù)值計算結果。
2. 模型
為了介紹該模型，我們首先描述一些幾何和物理量。
2.1. 概括描述
幾何圖形定義如圖1所示。下面介紹物理符號：
l ：流體和固態(tài)層，
l ：電極，
l ：表示電解槽的域
另外，我們定義如下接觸面：
l ：鋁液和槽體之間的自由接觸面，未知，
l ， 1,2，
l ：電極的外邊界。
我們必須處理的未知物理場列舉如下：
流體動力場：
l ：中的流速場， 1,2，（固態(tài)層中為0），
l ：壓力。
電磁場：
l ：磁感應場，
l ：電場，
l ：電流密度。
熱場：
l ：總熱能，
l ：溫度。
材料屬性定義如下：
l ：密度，
l 與：槽體內、外導電率，
l ：流體粘度，
l ：空隙導磁率，
l ：熱導率，
l ：比熱容，
l ：潛熱。
2.2. 物理假設
該模型需要以下基本假設：
1. 各流體不相融，不可壓縮，并且遵守牛頓定律。
2．在每個域內，，= 1,2，各流體遵守靜態(tài)納維-斯托克斯方程組。
3．電磁場滿足靜態(tài)麥克斯韋方程組，此外，歐姆定律應該在整個電解槽內有效。
4．槽外的電流密度已知（即陰極棒內的電流）。
5．導電率是液體和電極部分的溫度的函數(shù)。
6．粘度，密度和比熱容與溫度無關。
7．流體和固體的體積為給定值（質量守恒）。
8．電解槽中的流產(chǎn)生的焦耳效應提供唯一的熱源。
9．忽略化學反應的影響[7]，馬朗戈尼效應[8,9]，表面張力以及氣流的存在。
2.3. 流體動力學問題
在這一部分，我們考慮溫度場和電磁場，并且磁感應場為已知。我們選擇的用的參數(shù)化形式表示鋁液和槽體間的未知接觸面，其中通常是一個與鋁陰極界面的參數(shù)化相對應的矩形區(qū)域。考慮到，我們用表示，和的相互關系。
根據(jù)假定7得出如下關系：
， 其中表示鋁的體積。
的單位法線指向，為。
我們定義水動力場的標準方程組如下：
， （1）
， （2）
， （3）
其中
。
這里(.,.)通常是R3的普通無向積。方程（1）-（3）對應于第1和第2條假設。我們通過引進包含流體的域、的邊界條件完成了上述方程組。對于任意場，表示穿過的的跳躍，即。各域中，和具體為：
， （4）
， （5）
。 （6）
中的流體部分只是所有域凝固前的一個子域。為了解決一個固定域中的流體動力學問題，我們使用包含懲罰函數(shù)的“虛擬域”方法。之后會定義液體和固體中的速度和壓力。我們將術語添加到納維-斯托克斯方程，是溫度函數(shù)的固相組分。函數(shù)由科澤尼定律給定：
，
其中，為平均孔徑，為通過實驗確定的常量（見[10]）。修改方程（1）為
（7）
液相狀態(tài)下為0，上述公式簡化為一般的納維-斯托克斯方程。相對于其他狀態(tài)，糊狀區(qū)內可能很大，并且上述方程模擬了達西定律：
。
當時，我們得到，并且固態(tài)區(qū)內為0。
最終得到流體動力學問題PHD：已知，和，求得，和，并且滿足以下條件
， （8）
， （9）
， （10）
， （11）
， （12）
， （13）
。 （14）
2.4. 電磁問題
我們假定速度場及溫度場已知。根據(jù)法拉第定律，我們令為0，電場由給定，其中表示在中計算得到的電勢場。我們仍然用表示速度的連續(xù)延拓（在中為0），同時考慮到安培定律：令以及歐姆定律：在中，因此，我們給出電守恒定律：
。
我們用表示運算，其中是的外部單位法線。
關于電勢，我們介紹以下邊界條件：
，
，
，
其中是已知的陽極外邊界電流密度。作為電流的一個函數(shù)，磁感應強度可以利用畢奧-薩伐爾關系求得：
，
其中為由槽體外電流產(chǎn)生的某些磁感應場。
電磁問題PEM表達如下：和已知，通過以下公式求得，和
， （15）
， （16）
， （17）
， （18）
， （19）
。 （20）
2.5. 溫度問題
我們假定流體動力場和電磁場已知。我們正在尋求的穩(wěn)定解將在這里作為一個隨時間變化的熱方程被求得。
因此，在本小節(jié)我們介紹了進化的熱模型。在對流擴散問題中，凝固前（固液分界線）的位置事先未知，因此需要作為解法的一部分來確定。該問題被廣泛地稱為“史蒂芬問題”，并且是高度非線性的。為了克服有關史蒂芬接觸面條件的非線性困難，我們定義一個焓函數(shù)，它表示每單位體積的物質的總熱量。焓可以用溫度，潛熱和固相分數(shù)表示，即：
。 （21）
由于焓為單調函數(shù)，我們引進函數(shù)，由以下關系定義：
。 （22）
函數(shù)是由在列表中的值經(jīng)過數(shù)學處理（插值法）計算得出的，上述列表值與由方程21得出的反比關系式相對應。通過這種關系，我們可以將該問題表示成有關溫度和焓的史蒂芬問題，形式如下：
， （23）
， （24）
該問題是一個非線性對流擴散系統(tǒng)。表達式用表示的數(shù)積，為僅由焦耳效應提供的熱源。表達方式如下：
。 （25）
考慮到分配性，溫度-焓規(guī)劃的優(yōu)勢就是仔細跟蹤固液界面消除位置的必要性，以及可以用標準數(shù)值技術來解決相變問題。
溫度遵守羅賓邊界條件：
， （26）
其中是在指向的單位外法線的方向導數(shù)，是由空間和溫度決定熱傳遞系數(shù)，是外界溫度。熱傳遞是由于對流和輻射。而輻射是由如下表達式間接考慮：
其中，和是由通過實驗估算的正值。
的初始條件是假定的。
對于一個給定的表示積分時間的標量值，表達式如下：
。
溫度問題PTh表達如下：，和已知，通過以下公式求得和：
， （27）
， （28）
， （29）
。 （30）
2.6. 完整問題
我們剛剛描述了流體力學，電磁和熱力學的問題。在每個具體域中，我們都假定其他域已知。
我們要解決的問題就是找到同時滿足上述三個問題的速度，壓力，電勢，焓和溫度；函數(shù)，，，，和均給定，并且已知常量，，，，，，和。
3. 數(shù)學方法
上述的數(shù)學問題的數(shù)值解是基于一個迭代過程的，在迭代過程中，我們交替進行未知的三種域的計算：流體域，電磁域和熱域。在本節(jié)中我們提出了PHD，PEM和PTh三種問題的迭代方案。包含用有限元法進行空間離散的全局“偽進化”算法被用來解決三域耦合問題。
3.1. 流體動力場計算
流體動力學問題通過迭代求解。在每一個求解步驟中，我們首先解決接觸面無正常受力平衡條件的固定形狀問題，然后利用非平衡法向力更新接觸面位置。解決替代應用問題的兩個步驟如下：
l 第一步：通過給定的幾何結構，并且考慮到接觸條件，解決流體動力學問題如下：
，
， 為的切向量，
該問題之后會通過弱公式化簡單表達。
l 第二步：更新接觸面位置，以便驗證接觸面所受法向力的平衡，通過以下表達式選擇：
。
這里我們用表示的Oz軸的單位向量，用表示通過以下條件求得的常量：
。
利用迭代法計算，，，和，上述函數(shù)的函數(shù)值通過之前的迭代求得。
設定和，并且通過下列表達式定義求解步驟：
，（31）
， （32）
， （33）
， 為的切向量， （34）
， （35）
， （36）
。 （37）
注意到這種算法的停止條件是基于的規(guī)范估計，它必須小于公差。
3.2. 電磁場計算
磁感應強度直接取決于電流，間接取決于位勢場，對于一個已知速度場我們要計算出這些電磁場的值。在求解的步驟中，我們用迭代法確定。迭代法中，利用公式（15）、邊界條件（16）-（18）和的值計算，利用公式（19）相繼計算。隨后，我們利用畢奧―薩伐爾定律求得作為的函數(shù)的的值。
求解步驟：
， （38）
， （39）
， （40）
， （41）
， （42）
。 （43）停止條件是基于的規(guī)范估計，它必須小于公差。
3.3. 熱場計算
如前所述，我們用偽進化類型作為收斂于溫度問題（27）-（30）穩(wěn)定解的數(shù)學均值。
在運用（27）-（30）時，利用半隱式法離散化得到：
， （44）
其中，，和為在時，和的值；為離散化的時間間隔。為了關閉系統(tǒng)（44），我們利用切諾夫方法，即：
， （45）
其中是正松弛參數(shù)。通過在（44）中替換（45），我們得到一個計算時間時溫度的方法，即：
， （46）
只要滿足下列條件，該方法就是穩(wěn)定的[11]：
。
在上面的式子中，不是在時間時糊狀區(qū)溫度的良值，其良值可從中求得。為了避免可能出現(xiàn)的誤解，用表示前者。在時間離散化形式中，我們假定已知在時間區(qū)間內的，另外用以下方法計算求解步驟中的，和：
， （47）
， （48）
， （49）
。 （50）
3.4. 伽遼金構想
利用伽遼金構想對三套方程組，以及進行數(shù)值求解，該方法適用于在一個四面體網(wǎng)格上進行一階分段多項式有限元法。圖.2表示用于計算的四面體網(wǎng)格。
利用經(jīng)典的穩(wěn)定有限元法（見[12]）對納維-斯托克斯問題進行數(shù)值求解，用含一階分段多項式的標準有限元方法對位勢問題進行數(shù)值求解。該小節(jié)中，我們把重點放在與熱問題相應的有限元方法上。考慮到局部沛克萊數(shù)的大?。ㄔ诒纠写蠹s為1000），我們使用SUPG穩(wěn)定法（流線迎風彼得羅夫-伽遼金格式）[13]。定義有限元空間
，
其中用四面體表示網(wǎng)格重疊。與方程集（47）-（50）對應的有限元由下列條件給定：找到滿足
圖2. 域四面體網(wǎng)格
， （51）
， （52）
， （53）
其中表示網(wǎng)格和的插值，公式如下：
， （54）
， （55）
其中是的大小，變量為局部沛克萊數(shù)。我們分別用和表示時間間隔內的導熱系數(shù)和傳熱系數(shù)。
注。很明顯，焓在先驗未知的凝固前有一個突增，但我們可以用連續(xù)函數(shù)子空間內的近似取代。因此，該近似值表示了在一個精確焓值突增的小區(qū)間內的焓值差。我們注意到，即使建立了很好的離散問題，逼近收斂于的焓近似值僅在規(guī)則下為真。
4. 數(shù)值計算結果
我們使用廣義最小余數(shù)法解決流體動力學問題和溫度問題的矩陣系統(tǒng)。另一方面，由于與電場問題相關的該矩陣系統(tǒng)是對稱且正定的，我們利用代數(shù)多重網(wǎng)格法AMG或共軛梯度法CG來解決該問題。
利用計算機（奔騰（R）4，CPU 2.80GHz，RAM 2GB）進行磁-熱計算，10小時內可獲得全局算法的收斂性。電勢計算相關結果見圖.3。圖.4顯示了槽內溫度分布。壁架模型見圖.5。我們可清晰觀察到固化前一個小區(qū)間內由SUPG穩(wěn)定法得出的相關數(shù)值擴散的影響。值得指出的是，這張圖片與代表速度場的圖片（圖6）具有一致性，特別是壁架大的位置與各場中數(shù)值小的位置也是一致的。
很容易觀察到在液體分數(shù)小于1的部分域內，速度場的數(shù)值計算結果符合達西定律。這表明，在流體動力學模型中，利用含有速度場懲罰值的“輔助域”方法是有效的。
用多個元素對流體層沿深度進行離散化，以便更準確地表示流體動力場。另外如前所述，界面鋁-槽接觸面的節(jié)點可以沿垂直線移動，以保證了垂直受力平衡（見第3.1節(jié)第2步）。液體深度誤差的主要誤差值是6％。在鋁-槽水平接觸面上，我們取得最高的對流效果，最佳壁架厚度見圖.5。
保證總散熱量與內部產(chǎn)熱量的一致性是很重要的。為了保證結果與槽穩(wěn)態(tài)條件相一致，關鍵是保證實現(xiàn)上述條件?？偵崃康扔诟鞑糠郑ㄆ渲斜硎静壑须娏鞔┻^的各部分數(shù)量）產(chǎn)生的焦耳熱之和：
。
總散熱量相當于槽邊界處的對流耗散：
。
圖3. 槽內電勢結果
圖4. 槽內溫度結果
圖5. 壁架內液體分數(shù)
圖6. 固化前速度場（上圖）和固化后速度場（下圖），平均值=0.8cm/s
圖7. 壁架模型和電熱計算的液體分數(shù)
焦耳總散熱量的數(shù)值誤差為2.5％。該誤差值相當于槽切片內使用有限元分析代碼進行電熱計算的誤差，見[14]。
使用另一種方法求得壁架模型。該方法依賴于無速度場的電熱計算。利用金屬槽體內的人工導熱系數(shù)進行對流效應模擬。對比圖.5，求得對稱壁架如圖.7所示，從而更易觀察固體壁架結構內速度場的影響。
5. 結論
這項工作是在前人研究基礎上的延伸（[15，16]），目的在于引出判斷霍爾-埃魯特電解槽內流體運動穩(wěn)定與否的標準。
在上面提到的參考文獻中，這些標準是從磁流體動力學線性方程組定態(tài)解的頻數(shù)分析得到的。它產(chǎn)生于 [15] 和[16]中進行的數(shù)值研究，這些標準的穩(wěn)定性在很大程度上依賴于求得的定態(tài)解的精確度。精確度不僅取決于正確的數(shù)值方法，也取決于電解槽特征表述與模型的妥善性。
本文中，壁架模型和速度場的溫度分度影響已考慮在內。
通過觀察分析上述結果，得到以下結論：
流體動力場的影響是一個決定電解槽熱行為的重要因素。從圖.5和圖.7中可以看到，速度場對壁架形狀有很大的影響。
忽略流體應力張量對壁架的侵蝕作用完成的計算。該問題應在將來解決。
雖然處理多域相互作用問題有很大難度、幾何條件也很復雜，切爾諾夫方法在解決熱磁力耦合問題上很穩(wěn)定。
最后，我們注意到，多個作者進行了熱膨脹影響下的鋁電解槽鋼殼熱-機械形變研究[19-21]。在這些研究中從未有熱磁耦合的計算。本文中所示溫度場計算對于之后由薩法等人（見[22]）為展示熱對流對槽體結構力學的影響以及速度場和鋼殼機械變形的相關性而進行的彈性熱計算而言是富有成效的。
致謝
作者衷心感謝瑞士國家科學基金會和加拿大鋁業(yè)公司的支持。
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