線性代數(shù)課件：向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)

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1、1.線性組合與線性表示線性組合與線性表示2.2.線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)3.3.線性相關(guān)性判定定理線性相關(guān)性判定定理2.7 2.7 向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)7 7.1.1 線性組合與線性表示線性組合與線性表示(Linear combinationLinear combination)例例1 1設(shè)設(shè) a a1(1,0,0)，a a2(0,1,0)，a a3(0,0,1)，b b(2,1,1)，則則b b(2,1,1)是向量組是向量組a a1，a a2，a a3的線性組合的線性組合.即即 b b(2,1,1)是向量組是向量組a a1，a a2，a a3的線性

2、組合，也就是說(shuō)的線性組合，也就是說(shuō)b b可由可由a a1，a a2，a a3線性表示線性表示.因?yàn)橐驗(yàn)?2a a1 a a2 a a3 2(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)(2,1,1)=b b，定定義義1 給給定定n維維向向量量b b，a a1，a a2，a am，如如果果存存在在一一組組數(shù)數(shù)k1，k2，km，使，使 b b k1a a1 k2a a2 kma am，則稱向量則稱向量b b是向量組是向量組a a1，a a2，a am的的線性組合線性組合，或稱，或稱b b可由向量可由向量組組a a1，a a2，a am線性表示線性表示.例例2 2任何一個(gè)任何一個(gè)n維向量維向量a a(a

3、1,a2,an)都是都是n維向量組維向量組 e1(1,0,0)，e2(0,1,0)，en(0,0,1)的線性組合的線性組合.這是因?yàn)檫@是因?yàn)閍 a a1e1 a2e2 an en.注：注：向量組向量組 e1，e2，en稱為稱為 n 維單位（或維單位（或基本基本）向量組）向量組.7 7.1.1 線性組合與線性表示線性組合與線性表示(Linear combinationLinear combination)定定義義1 給給定定n維維向向量量b b，a a1，a a2，a am，如如果果存存在在一一組組數(shù)數(shù)k1，k2，km，使，使 b b k1a a1 k2a a2 kma am，則稱向量則稱向量b

4、 b是向量組是向量組a a1，a a2，a am的的線性組合線性組合，或稱，或稱b b可由向量可由向量組組a a1，a a2，a am線性表示線性表示.例例3 3零向量是任何一組向量的線性組合零向量是任何一組向量的線性組合.這是因?yàn)檫@是因?yàn)閛=0 a a1 0 a a2 0 a am.例例4 4向向量量組組a a1，a a2，a am中中的的任任一一向向量量a ai(1 i m)都都是是此此向量組的線性組合向量組的線性組合.這是因?yàn)檫@是因?yàn)閍 ai 0 a a1 1 a ai 0 a am.7 7.1.1 線性組合與線性表示線性組合與線性表示(Linear combinationLinear

5、combination)定定義義1 給給定定n維維向向量量b b，a a1，a a2，a am，如如果果存存在在一一組組數(shù)數(shù)k1，k2，km，使，使 b b k1a a1 k2a a2 kma am，則稱向量則稱向量b b是向量組是向量組a a1，a a2，a am的的線性組合線性組合，或稱，或稱b b可由向量可由向量組組a a1，a a2，a am線性表示線性表示.例例5 5線性方程組的向量表示線性方程組的向量表示(向量方程向量方程)a11x1a21x1am1x1a12x2a22x2am2x2a1nxna2nxnamnxnb1b2bm=+-+a11a21am1x1a12a22am2x2+xn

6、a1na2namn+b1b2bm=或或即即其中其中,定義定義2 設(shè)有設(shè)有n維向量組維向量組a a1，a a2，a am，如果存在一組如果存在一組不全為零的數(shù)不全為零的數(shù) k1，k2，km，使使 k1a a1 k2a a2 kma am o 成立成立，則稱向量組則稱向量組a a1，a a2，a am線性相關(guān)線性相關(guān)，否則否則，即只有即只有當(dāng)當(dāng)k1，k2，km全為全為0時(shí)時(shí) k1a a1 k2a a2 kma am o才成立才成立，則稱向量組則稱向量組a a1，a a2，a am線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān).7 7.2 .2 線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)(Linear dependent&Linear independ

7、ent)線性相關(guān)性判定方法線性相關(guān)性判定方法 一般方法，用于一般方法，用于m 個(gè)個(gè)n維向量組的情形維向量組的情形.一般可通過(guò)定義或一般可通過(guò)定義或判定定理等進(jìn)行判定，特別當(dāng)利用定義時(shí)可使用觀察法判定定理等進(jìn)行判定，特別當(dāng)利用定義時(shí)可使用觀察法.特殊方法，用于特殊方法，用于n 個(gè)個(gè)n維向量組的情形維向量組的情形.可通過(guò)行列式判定可通過(guò)行列式判定.例例6.6.討論下列向量組的線性相關(guān)性討論下列向量組的線性相關(guān)性.解解:對(duì)于向量組，顯然有對(duì)于向量組，顯然有 即存在一組不全為零的數(shù)即存在一組不全為零的數(shù) 練習(xí)：練習(xí)：討論下列向量組的線性討論下列向量組的線性 相關(guān)性，其中：相關(guān)性，其中：即即使得使得所以

8、向量組所以向量組a a1 1,a a2 2,a a3 3,線性相關(guān)線性相關(guān).一般方法（舉例）一般方法（舉例）對(duì)于對(duì)于n個(gè)個(gè)n維向量組成的向量組維向量組成的向量組a a1，a a2，a an，設(shè)有一組數(shù)設(shè)有一組數(shù) k1，k2，kn，使使 k1a a1 k2a a2 kna an o 成立成立.由向量的運(yùn)算性質(zhì)可得由向量的運(yùn)算性質(zhì)可得 k1a a1 k2a a2 kn a an=o，即即從而得向量組從而得向量組a a1，a a2，a an，線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)(相關(guān)相關(guān))的充分必要條件是的充分必要條件是:特殊方法（推導(dǎo)）特殊方法（推導(dǎo)）設(shè)有一組數(shù)設(shè)有一組數(shù)k1，k2，kn，使使 k1a a1 k2a

9、a2 kna an o 成立成立.(1)通過(guò)向量的線性運(yùn)算通過(guò)向量的線性運(yùn)算,將將(1)式化為如下齊次方程組式化為如下齊次方程組(2)特殊方法（解題步驟）特殊方法（解題步驟）判斷上面關(guān)于判斷上面關(guān)于k1,k2,kn方程組方程組(2)(2)有無(wú)有無(wú)非零解非零解?若方程組若方程組(2)(2)有非零解有非零解，則則a a1,a a2,a an線性相關(guān)；否則線性相關(guān)；否則,線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān).即行列式即行列式或或核心問(wèn)題核心問(wèn)題！例例7.7.證明下列單位向量組線性無(wú)關(guān)證明下列單位向量組線性無(wú)關(guān).即即 從而得從而得 即只有當(dāng)即只有當(dāng)k1 k2 k3 k400時(shí)，上時(shí)，上 式才成立，所以向量組式才成立，所以

10、向量組a a1 1,a a2 2,a a3 3,a a4 4,線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān).特殊方法（舉例）特殊方法（舉例）證證:對(duì)于向量組對(duì)于向量組a a1 1,a a2 2,a a3 3,a a4 4,設(shè)有設(shè)有一組數(shù)一組數(shù)k1,k2,k3,k4,使得下式成立使得下式成立亦即亦即例例8.8.討論下列向量組的線性相關(guān)性討論下列向量組的線性相關(guān)性.即方程組即方程組 因該方程組的系數(shù)行列式因該方程組的系數(shù)行列式 所以，線性方程組有非零解所以，線性方程組有非零解，從從而而，向向量量組組a a1 1,a a2 2,a a3 3,a a4 4,線線性性相關(guān)相關(guān).解解:對(duì)于向量組對(duì)于向量組a a1 1,a a2 2,

11、a a3 3,a a4 4,設(shè)有設(shè)有一組數(shù)一組數(shù)k1,k2,k3,k4,使得下式成立使得下式成立亦即方程組亦即方程組解題要點(diǎn)：找向量方程的解題要點(diǎn)：找向量方程的非零解非零解.特殊方法（舉例）特殊方法（舉例）例例9設(shè)向量組設(shè)向量組a a1，a a2，a a3線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)，令令 b b1 a a1 a a2，b b2 a a2 a a3，b b3 a a3 a a1.試證向量組試證向量組b b1，b b2，b b3也線性無(wú)關(guān)也線性無(wú)關(guān).(拆項(xiàng)重組法拆項(xiàng)重組法)證明：證明：設(shè)有一組數(shù)設(shè)有一組數(shù)k1,k2,k3,使使 k1b b1 k2b b2 k3 b b3 o，即即 k1(a a1 a a2)

12、k2(a a2 a a3)k3(a a3 a a1)o，整理得整理得 (k1 k3)a a1(k1 k2)a a2(k2 k3)a a3 o.因?yàn)橄蛄拷M因?yàn)橄蛄拷Ma a1，a a2，a a3線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)，所以必有所以必有，k1k1k1x2k2k2k3x3k3000=+1 1 0 0 1 1 1 0 1由于由于=20，從而從而b b1，b b2，b b3線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān).所以方程組只有零解所以方程組只有零解 k1=k2=k3=0，即代數(shù)方程組只有零解：k1=k2=k3=0.亦即向量方程只有零解：k1=k2=k3=0.討論：討論：3.3.僅有兩個(gè)向量構(gòu)成的向量組線性相關(guān)的條件僅有兩個(gè)向量構(gòu)成的

13、向量組線性相關(guān)的條件.1.1.含有零向量的向量組是否線性相關(guān)含有零向量的向量組是否線性相關(guān).2.2.僅有一個(gè)向量構(gòu)成的向量組線性相關(guān)的條件僅有一個(gè)向量構(gòu)成的向量組線性相關(guān)的條件.結(jié)論：結(jié)論：1.1.含有零向量的向量組一定線性相關(guān)含有零向量的向量組一定線性相關(guān).2.2.僅僅有有一一個(gè)個(gè)向向量量構(gòu)構(gòu)成成的的向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān)當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)該向量為零向量當(dāng)該向量為零向量.3.3.僅有兩個(gè)向量構(gòu)成的向量組線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)僅有兩個(gè)向量構(gòu)成的向量組線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)向量的分量對(duì)應(yīng)成比例這兩個(gè)向量的分量對(duì)應(yīng)成比例.4.單位向量組單位向量組e1，e2，en是否線性相關(guān)是否線性相關(guān).4.單位向量組

14、單位向量組e1，e2，en線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān).證明：證明：必要性必要性.因?yàn)橐驗(yàn)閍 a1，a a2，a am線性相關(guān)，故存在不全線性相關(guān)，故存在不全為零的數(shù)為零的數(shù)l l1，l l2，l lm，使使 l l l l1 1a a a a1 1 l l l l2 2a a a a2 2 l l l lmma a a amm o o.不妨設(shè)不妨設(shè)l l1 0，于是于是即即a a1為為a a2，a a3，a am的線性組合的線性組合.充分性充分性.不妨設(shè)不妨設(shè)a a1可由其余向量線性表示可由其余向量線性表示,即即 a a1 l l2a a2 l l3a a3 l lma am，則存在不全為零的數(shù)則存在不

15、全為零的數(shù) 1，l l2，l l3，l lm，使使 (1)a a1 l l2a a2 l l3a a3 l lma am o，即即a a1，a a2，a am線性相關(guān)線性相關(guān).定定理理1 1 向向量量組組a a1，a a2，a am線線性性相相關(guān)關(guān)的的充充要要條條件件是是：向向量量組組中至少有一個(gè)向量可以由其余向量線性表示中至少有一個(gè)向量可以由其余向量線性表示.7 7.3 .3 線性相關(guān)性判定定理線性相關(guān)性判定定理 先先證證明明b b可可由由向向量量組組a a1，a a2，a am線線性性表表示示.因因?yàn)闉橄蛳蛄苛拷M組a a1，a a2，a am，b b線線性性相相關(guān)關(guān)，因因而而存存在在一一組

16、組不不全全為為零零的的數(shù)數(shù)l l1，l l2，l lm及及l(fā) l，使使 l l1a a1 l l2a a2 l lma am lblb o，這里必有這里必有l(wèi) l 0，否則，上式成為否則，上式成為 l l1a a1 l l2a a2 l lma am o，且且l l1，l l2，l lm不全為零，這與線性無(wú)關(guān)矛盾不全為零，這與線性無(wú)關(guān)矛盾.因此因此l l 0.即即b b可由向量組可由向量組a a1，a a2，a am線性表示線性表示.證明：證明：定定理理2 2 設(shè)設(shè)向向量量組組 a a1，a a2，a am，b b 線線性性相相關(guān)關(guān)，而而a a1，a a2，a am線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)，則則b b

17、 可可由由a a1，a a2，a am線線性性表表示示，且且表表示示式式是是惟一的惟一的.再證表示法惟一再證表示法惟一.設(shè)設(shè)b b可表示成以下兩種形式，可表示成以下兩種形式，b b l l1a a1 l l2a a2 l lma am，及及 b b m m1a a1 m m2a a2 m mma am，兩式相減得兩式相減得 (l l1 m m1)a a1(l l2 m m2)a a2 (l lm m mm)a am o，由由a a1，a a2，a am線性無(wú)關(guān)可知線性無(wú)關(guān)可知 l l1 m m1 l l2 m m2 l lm m mm 0，從而從而 l l1 m m1，l l2 m m2，l

18、lm m mm，所以，表示法是惟一的所以，表示法是惟一的.證明：證明：定定理理2 2 設(shè)設(shè)向向量量組組 a a1，a a2，a am，b b 線線性性相相關(guān)關(guān)，而而a a1，a a2，a am線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)，則則b b 可可由由a a1，a a2，a am線線性性表表示示，且且表表示式是惟一的示式是惟一的.設(shè)設(shè)向向量量組組a a1，a a2，a am中中有有r個(gè)個(gè)向向量量的的部部分分組組線線性性相相關(guān)關(guān)，不不妨妨設(shè)設(shè)a a1，a a2，a ar線線性性相相關(guān)關(guān)，則則存存在在一一組組不不全全為為零零的的數(shù)數(shù)l l1，l l2，l lr使使 l l1a a1 l l2a a2 l lra ar

19、o，因而存在一組不全為零的數(shù)因而存在一組不全為零的數(shù)l l1，l l2，l lr，0，0，0使使 l l1a a1 l l2a a2 l lra ar 0 a ar 1 0 a am o，即即a a1，a a2，a am線性相關(guān)線性相關(guān).證明：證明：定理定理3 3 如果向量組中有一部分向量（稱為部分組）線性如果向量組中有一部分向量（稱為部分組）線性相關(guān)，則整個(gè)向量組線性相關(guān)相關(guān)，則整個(gè)向量組線性相關(guān).定定理理4 4 由由n個(gè)個(gè)n維維向向量量組組成成的的向向量量組組，其其線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的充充分分必必要要條條件是矩件是矩陣陣A=(a a1 1,a a2 2,.,.,a an,)可逆可逆.證明證

20、明 略略.證明：證明：（反證反證）若向量組若向量組 b b1,b b2,b bm線性相關(guān)線性相關(guān)，則存在一組不全為零的數(shù)則存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,km,使得使得 k1 b b1+k2 b b2+km b bm=o （1 1）即即（2 2）顯然顯然，方程方程(2)的前的前 n 行就是行就是 k1a a1+k2a a2+kma am=o，從而得從而得，a a1，a a2，a am線性相關(guān)，矛盾線性相關(guān)，矛盾.證畢證畢.定定理理5 5 若若向向量量組組 a ai=(a ai i1 1,a ai i2,a ai in)(i=1,2,m)線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)，則則向向量組量組 b b i=(a ai

21、 i1 1,a ai i2,a ai in,a ai in+1)(i=1,2,m)也線性無(wú)關(guān)也線性無(wú)關(guān).例例10.10.討論下列向量組的線性相關(guān)性討論下列向量組的線性相關(guān)性(要求用要求用“觀察法觀察法”).(1)(2)解：解：對(duì)于對(duì)于(1)組，顯然有組，顯然有 (2)組中每一個(gè)向量的前組中每一個(gè)向量的前3個(gè)分量構(gòu)成無(wú)關(guān)組，由定理個(gè)分量構(gòu)成無(wú)關(guān)組，由定理5知知(2)組無(wú)關(guān)組無(wú)關(guān).練習(xí)題練習(xí)題 一一、填填空空題題：在在向向量量組組a a1,a a2,a ar中中，如如果果有有部部分分向向量量線線性相關(guān)，則向量組必（性相關(guān)，則向量組必（）二、多選題：二、多選題：下列命題中正確的有（下列命題中正確的有

22、（）非零向量組成的向量組一定線性無(wú)關(guān)非零向量組成的向量組一定線性無(wú)關(guān) 含零向量的向量組一定線性相關(guān)含零向量的向量組一定線性相關(guān) 由一個(gè)零向量組成的向量組一定線性無(wú)關(guān)由一個(gè)零向量組成的向量組一定線性無(wú)關(guān) 由零向量組成的向量組一定線性相關(guān)由零向量組成的向量組一定線性相關(guān) 線性相關(guān)的向量組一定含有零向量線性相關(guān)的向量組一定含有零向量三、分析判斷題三、分析判斷題 ：若若a a1不能被不能被a a2,a a3,a ar 線性表示，線性表示，則向量則向量a a1,a a2,a a3,a ar線性無(wú)關(guān)（線性無(wú)關(guān)（）四、證明題：四、證明題：設(shè)設(shè)b b可由設(shè)可由設(shè)a a1,a a2,a ar線性表示，但不能線性

23、表示，但不能由由a a1,a a2,a ar-1線性表示，證明線性表示，證明a ar可由可由a a1,a a2,a ar-1,b b線性表示線性表示等價(jià)向量組等價(jià)向量組定義定義3 3 設(shè)有兩個(gè)向量組設(shè)有兩個(gè)向量組(I)(II)如如果果向向量量(I)(I)與與向向量量組組(II)(II)可可以以相相互互線線性性表表示示，則則稱稱向向量量組組(I)(I)與與向量組向量組(II)(II)等價(jià)等價(jià).例例11.11.(I)a a=(1,0),a a 2=(0,1)(II)b b=(1,),b b 2=(,-1),b b 3=(,5)兩組等價(jià)兩組等價(jià).因?yàn)橐驗(yàn)?b b=a aa a,b b 2=a aa

24、a,b b 3=a aa a,5.4 5.4 極大線性無(wú)關(guān)組極大線性無(wú)關(guān)組向量組向量組(I)(I)與向量組與向量組(II)(II)等價(jià)等價(jià).等價(jià)向量組的性質(zhì)等價(jià)向量組的性質(zhì)l自反性自反性l對(duì)稱性對(duì)稱性l傳遞性傳遞性 引例引例.向量組向量組a a=(1,1,1),a a2=(0,2,5),a a3=(1,3,6),等價(jià)于其部分向等價(jià)于其部分向量組量組a a a a2.事實(shí)上，事實(shí)上，a a，a a，a a3中的每一個(gè)向量可由中的每一個(gè)向量可由a a，a a線性表示線性表示,即即而而 a a，a a中的每一個(gè)向量可由中的每一個(gè)向量可由a，a，a3線性表示，即線性表示，即向量組的極大線性無(wú)關(guān)組向量組

25、的極大線性無(wú)關(guān)組例例12在向量組在向量組a a1(0,1)，a a2(1,0)，a a3(1,1)，a a4(0,2)中中，向量組向量組a a1(0,1)，a a2(1,0)線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)，且有且有 同樣同樣a a2，a a4也是一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組也是一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.所以所以a a1，a a2是向量組是向量組a a1，a a2，a a3，a a4的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.a a4(0,2)2(0,1)2a a1 100a a2，a a3(1,1)(0,1)(1,0)a a1 a a2，定定義義4 4 如如果果向向量量組組a a1，a a2,am的的一一個(gè)個(gè)部部分分組組a

26、aj1，a aj2,ajr(rm)滿足：滿足：(1)部分組部分組aj1，aj2,ajr線性無(wú)關(guān)；線性無(wú)關(guān)；(2)向量組向量組a a1，a a2,am中的任一向量可由該中的任一向量可由該部分組部分組線性表示，線性表示，則稱所選部分組為原向量組的一個(gè)則稱所選部分組為原向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組極大線性無(wú)關(guān)組.極大線性無(wú)關(guān)組不一定唯一；極大線性無(wú)關(guān)組不一定唯一；向量組與它的極大線性無(wú)關(guān)組等價(jià)向量組與它的極大線性無(wú)關(guān)組等價(jià).線性表示線性表示，則則rs.定理定理6 6 設(shè)向量組設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，并且可由向量組線性無(wú)關(guān)，并且可由向量組 推論推論2 2 等價(jià)的線性無(wú)關(guān)的向量組含有相同個(gè)數(shù)的向量等價(jià)的線性無(wú)關(guān)

27、的向量組含有相同個(gè)數(shù)的向量.推論推論1 1 任意任意n+1個(gè)個(gè)n維向量一定線性相關(guān)維向量一定線性相關(guān).向量組的秩向量組的秩 定定義義5 5 向向量量組組a a1，a a2，a am的的極極大大線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組所所含含向向量量的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)稱稱為為向量組的秩向量組的秩.記作記作r(a a1，a a2，a am).規(guī)定，只含零向量的向量組的秩為規(guī)定，只含零向量的向量組的秩為0.推論推論3 3 等價(jià)的向量組有相同的秩等價(jià)的向量組有相同的秩.若若r(a a1，a a2，a am)m，則向量組，則向量組a a1，a a2，a am必線性相關(guān)必線性相關(guān).重要結(jié)論重要結(jié)論 (線性相關(guān)性新的判定方法！線性相

28、關(guān)性新的判定方法！)向量組的秩向量組的秩2.7 極大線性無(wú)關(guān)組及線性表示系數(shù)的求法1.向量組秩的求法2.向量組極大線性無(wú)關(guān)組的求法3.用極大線性無(wú)關(guān)組表示其他的向量 定義定義4 4 矩陣矩陣A的行向量組的秩稱為矩陣的行向量組的秩稱為矩陣A的的行秩行秩，列向量組的秩列向量組的秩稱為矩陣稱為矩陣A的的列秩列秩.即即行向量組行向量組a a1，a a2，a am的秩，稱為矩陣的秩，稱為矩陣A的的行秩行秩.列向量組列向量組b b1，b b2，b bm的秩，稱為矩陣的秩，稱為矩陣A的的列秩列秩.定理定理3 3 矩陣的行秩等于其列秩，且等于矩陣的秩矩陣的行秩等于其列秩，且等于矩陣的秩.1.向量組秩的求法 例

29、例4.4.求下列向量組求下列向量組a a=(1,2,3,4)，a a2 2=(2,3,4,5)，a a3 3=(3,4,5,6)的秩的秩.步步1.把向量組的向量作為矩陣的把向量組的向量作為矩陣的列（或行）向量列（或行）向量組成矩陣組成矩陣A；步步2.對(duì)矩陣對(duì)矩陣A進(jìn)行進(jìn)行初等初等行變換行變換化為階梯形矩陣化為階梯形矩陣B；步步3.階梯形階梯形B中中非零行的個(gè)數(shù)即為所求向量組的秩非零行的個(gè)數(shù)即為所求向量組的秩 解：解：以以a a,a a,a a為為列向量列向量作作成矩陣成矩陣A,因?yàn)殡A梯形矩陣的秩為因?yàn)殡A梯形矩陣的秩為2，所以向量組的秩為，所以向量組的秩為21.向量組秩的求法問(wèn)題：?jiǎn)栴}：基本單位

30、向量組的秩是多少？它們相關(guān)基本單位向量組的秩是多少？它們相關(guān)/無(wú)關(guān)？無(wú)關(guān)？定定理理4 4 矩矩陣陣A經(jīng)經(jīng)初初等等行行變變換換化化為為B，則則B的的列列向向量量組組與與A對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的列向量組有相同的線性的列向量組有相同的線性相關(guān)性相關(guān)性.下面通過(guò)例子驗(yàn)證結(jié)論成立下面通過(guò)例子驗(yàn)證結(jié)論成立.線性關(guān)系線性關(guān)系:矩陣矩陣A矩陣矩陣A1矩陣矩陣A22.向量組極大線性無(wú)關(guān)組的求法步步1.1.把向量組的向量作為矩陣的把向量組的向量作為矩陣的列向量列向量組成矩陣組成矩陣A；步步2.2.對(duì)矩陣對(duì)矩陣A進(jìn)行進(jìn)行初等行變換初等行變換化為階梯形矩陣化為階梯形矩陣B；步步3.3.A中的與中的與B的每階梯首列對(duì)應(yīng)的向量組，即

31、為極大線性無(wú)關(guān)組的每階梯首列對(duì)應(yīng)的向量組，即為極大線性無(wú)關(guān)組由上可得，由上可得，求向量組的極大線性線性無(wú)關(guān)組的方法：求向量組的極大線性線性無(wú)關(guān)組的方法：矩陣矩陣A2矩陣矩陣A3矩陣矩陣B例例5.5.求下列向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，其中：求下列向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，其中：解：解：以以5個(gè)向量為列個(gè)向量為列矩陣矩陣A，用初等行變換將，用初等行變換將A化為階梯形矩陣化為階梯形矩陣 矩陣矩陣B已是階梯形矩陣已是階梯形矩陣,B的每階梯的每階梯首列所在的列是首列所在的列是1，2，4列，所以列，所以A的第的第1，2，4列就是列就是A的列向量組的極大線性的列向量組的極大線性無(wú)關(guān)組，即無(wú)關(guān)組，即a,a,a是向量

32、組的一個(gè)是向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組極大線性無(wú)關(guān)組.行最簡(jiǎn)形矩陣行最簡(jiǎn)形矩陣 一個(gè)矩陣是行最簡(jiǎn)形矩陣一個(gè)矩陣是行最簡(jiǎn)形矩陣(或稱行最簡(jiǎn)式或稱行最簡(jiǎn)式)是指它為是指它為階梯形矩陣階梯形矩陣,且它的每一行的第一個(gè)非零元素均為且它的每一行的第一個(gè)非零元素均為1,第一個(gè)非零元第一個(gè)非零元素所在的列其余元素均為素所在的列其余元素均為0 例如例如,利用初等行變換將利用初等行變換將A先化為階梯形矩陣先化為階梯形矩陣B，再化成行最簡(jiǎn)形，再化成行最簡(jiǎn)形矩陣矩陣C.3.用極大線性無(wú)關(guān)組表示其他的向量 即列向量組的一個(gè)即列向量組的一個(gè)極大極大線性線性無(wú)關(guān)組化為無(wú)關(guān)組化為單位向量組單位向量組.步步1.1.把向量組的向

33、量作為矩陣的把向量組的向量作為矩陣的列向量列向量組成矩陣組成矩陣A；步步2.2.對(duì)矩陣對(duì)矩陣A進(jìn)行進(jìn)行初等初等行變換行變換化為階梯形矩陣化為階梯形矩陣B；步步3.3.把階梯形把階梯形B進(jìn)行進(jìn)行初等初等行變換行變換化為行最簡(jiǎn)形矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣C；步步4.4.根根據(jù)據(jù)行行最最簡(jiǎn)簡(jiǎn)形形矩矩陣陣列列向向量量的的分分量量，用用極極大大線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組表表示其它向量示其它向量3.用極大線性無(wú)關(guān)組表示其他的向量例例6.6.求下列向量組的一個(gè)極大求下列向量組的一個(gè)極大線性線性無(wú)關(guān)組，并表示其它向量無(wú)關(guān)組，并表示其它向量:解解：以以給給定定向向量量為為列列向向量量作作成成矩矩陣陣A，用用初初等等行行變變

34、換換將將A化化為為行行最簡(jiǎn)形最簡(jiǎn)形:根據(jù)行最簡(jiǎn)形矩陣根據(jù)行最簡(jiǎn)形矩陣C可知可知a a,a a,a a是向量組是向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，且且 a a3 3=2=2a a1 1-a a+0+0a a,a a5 5=a a1 1+a a+a a.3560假設(shè)第假設(shè)第5列為，列為，該如何表示？該如何表示？一、填空題一、填空題1若向量組若向量組a a，a a，a am線性相關(guān)，則它的秩（線性相關(guān)，則它的秩（）m2一一個(gè)個(gè)向向量量組組若若含含有有兩兩個(gè)個(gè)以以上上的的極極大大無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組，則則各各極極大大無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)必（組所含向量個(gè)數(shù)必（）3設(shè)設(shè)a a，a a，a ar線線性性無(wú)無(wú)

35、關(guān)關(guān)，且且可可由由b b，b b，b bs線線性表示，則性表示，則r ()s設(shè)設(shè)A是是n階階方方陣陣且且|A|0，則則（）1)A中必有兩行（列）元素中必有兩行（列）元素對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)成比例成比例 2)A中至少有一行（列）的元素全中至少有一行（列）的元素全為為0 3)A中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的線線性性組組合合 4)A中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的線線性性組組合合二、單選題二、單選題n;rn.3向量組向量組a a，a a，a as，線性無(wú)關(guān)的充要條件是（，線性無(wú)關(guān)的充要條件是（）r1;它有一

36、個(gè)部分向量它有一個(gè)部分向量組線組線性無(wú)關(guān)性無(wú)關(guān);r0;它所有的部分向量它所有的部分向量組線組線性無(wú)關(guān)性無(wú)關(guān).4若若矩矩陣陣A有有一一個(gè)個(gè)r階階子子式式D0,且且A中中有有一一個(gè)個(gè)含含有有D的的r+1階階子子式等于零，則一定有（式等于零，則一定有（）.r(A)r;r(A)r;r(A)=r;r(A)=r+1.5設(shè)設(shè)向向量量組組a a,a a,a a線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)，則則下下列列向向量量組組中中，線線性性無(wú)無(wú)關(guān)的是（關(guān)的是（）.a a+a a，a a+a a，a a-a a a a+a a，a a+a a，a a+2a a+a a a a+2a a，2a a+3a a，3a a+a a a a+a a+a a，2a a-3a a+2a a，3a a+5a a-5a a作業(yè)：作業(yè)：作業(yè)：作業(yè)：8383頁(yè)頁(yè)頁(yè)頁(yè) 112;27(3);28(3)2;27(3);28(3)