協(xié)方差分析與混合線性模型

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1、第 9講 協(xié) 方 差 分 析 與 混 合 線性 模 型理 學(xué) 院 汪 曉 銀 教 授華 中 農(nóng) 業(yè) 大 學(xué) 數(shù) 學(xué) 建 模 創(chuàng) 新 實 踐 基 地 課 件 如 果 在 單 因 素 、 雙 因 素 或 多 因 素 試 驗中 有 無 法 控 制 的 因 素 x影 響 試 驗 的 結(jié) 果 Y，且 x可 以 測 量 、 x與 Y之 間 又 有 顯 著 的 線 性 回歸 時 ， 常 常 利 用 線 性 回 歸 來 矯 正 Y的 觀 測 值 、消 去 x的 差 異 對 Y的 影 響 。 例 如 ， 研 究 施 肥 對 蘋 果 樹 產(chǎn) 量 的 影 響 ，由 于 蘋 果 樹 的 長 勢 不 齊 ， 必 須 消

2、 去 長 勢 對產(chǎn) 量 的 影 響 。 又 如 ， 研 究 飼 料 對 動 物 增 重的 影 響 ， 由 于 動 物 的 初 重 不 同 ， 必 須 消 去初 重 對 增 重 的 影 響 。協(xié) 方 差 分 析 這 種 不 是 在 試 驗 中 控 制 某 個 因 素 ，而 是 在 試 驗 后 對 該 因 素 的 影 響 進 行 估 計 ，并 對 試 驗 指 標 的 值 作 出 調(diào) 整 的 方 法 稱 為統(tǒng) 計 控 制 ， 可 以 作 為 試 驗 控 制 的 輔 助 手段 。 以 統(tǒng) 計 控 制 為 目 的 ， 綜 合 線 性 回 歸分 析 與 方 差 分 析 所 得 到 的 統(tǒng) 計 分 析 方

3、法 ，稱 為 協(xié) 方 差 分 析 ， 所 需 要 統(tǒng) 計 控 制 的 一個 或 多 個 因 素 ， 例 如 蘋 果 樹 的 長 勢 ， 又如 動 物 的 初 重 等 等 稱 為 協(xié) 變 量 。1 協(xié) 方 差 分 析 思 想 原 理 2 單 因 素 協(xié) 方 差 分 析 -理 論 2 單 因 素 協(xié) 方 差 分 析 -理 論 2 單 因 素 協(xié) 方 差 分 析 -理 論 2 單 因 素 協(xié) 方 差 分 析 -理 論 2 單 因 素 協(xié) 方 差 分 析 -計 算 data ex; do a=1 to 3;do i=1 to 8;input x y ;output ;end;end;cards;47

4、54 58 66 53 63 46 51 49 56 56 66 54 61 44 50 52 54 53 53 64 67 58 62 59 62 61 63 63 64 66 69 44 52 48 58 46 54 50 61 59 70 57 64 58 69 53 66 ; proc glm;class a;model y=x a/solution;lsmeans a/stderr pdiff;run;2 單 因 素 協(xié) 方 差 分 析 -計 算 2 單 因 素 協(xié) 方 差 分 析 -計 算 施 用 三 種 肥 料 的 產(chǎn) 量 矯 正 后 有 極 顯著 的 差 異 2 單 因 素 協(xié)

5、 方 差 分 析 -計 算 3雙 因 素 協(xié) 方 差 分 析 -不 考 慮 交 互 作 用 方 差 來 源 平 方 和 自 由 度 均 方 和 F值 顯 著 性 A Q A r-1 MQ A FA B Q B s-1 MQ B FB 誤 差 Q E rs-r-s MQ E 總 和 Q T rs-2 3雙 因 素 協(xié) 方 差 分 析 -不 考 慮 交 互 作 用 data ex;do a=1 to 3 ;do b=1 to 5 ;input x y ;output; end; end;cards;8 2.85 10 4.24 12 3.00 11 4.94 10 2.8810 3.14 12 4

6、.50 7 2.75 12 5.84 10 4.0612 3.88 10 3.86 9 2.82 10 4.94 9 2.89;proc glm;class a b ;model y=x a b/solution;lsmeans a b/stderr pdiff;run;3雙 因 素 協(xié) 方 差 分 析 -不 考 慮 交 互 作 用 3雙 因 素 協(xié) 方 差 分 析 -不 考 慮 交 互 作 用 方 差 來源 平 方 和 自 由度 均 方和 F值 顯 著性 A 0.6046 2 0.3023 2.49 N B 7.1245 4 1.7811 14.66 * 誤 差 0.8502 7 0.121

7、5 總 和 8.5793 1各 小 區(qū) 的 產(chǎn) 量 矯 正 后 沒 有 顯 著 的 差 異 ， 各 品種 的 產(chǎn) 量 矯 正 后 有 極 顯 著 的 差 異 。3雙 因 素 協(xié) 方 差 分 析 -不 考 慮 交 互 作 用 方 差 來源 平 方和 自 由 度 均 方 和 F值 顯 著性 A Q A r-1 MQ A FA B Q B s-1 MQ B FB AB Q AB (r-1)(s-1) MQ AB FAB 誤 差 Q E rs(m-1)-1 MQ E 總 和 Q T rsm-24雙 因 素 協(xié) 方 差 分 析 -考 慮 交 互 作 用 4雙 因 素 協(xié) 方 差 分 析 -考 慮 交 互

8、 作 用 data ex; do a=1 to 4; do b=1 to 2;do i=1 to 2;input x y;output;end;end;end;cards;14.6 97.8 12.1 94.2 19.5 11.2 18.8110.1 1.6 100.3 12.9 98.5 18.5 119.4 12.2 114.7 12.8 99.2 10.7 89.6 12.2122.2 16.9 105.3 12.0 102.1 12.4 103.8 16.4 117.2 17.2 117.9proc glm; class a b;model y=x a ba*b/solution;ls

9、means a b/stderr pdiff;run; 4雙 因 素 協(xié) 方 差 分 析 -考 慮 交 互 作 用 4雙 因 素 協(xié) 方 差 分 析 -考 慮 交 互 作 用 方 差 來 源 平 方 和 自 由 度 均 方 和 F值 顯 著 性 A 277.43485 3 92.478286 6.51 * B 2.845259 3 2.845259 0.20 N AB 12.848100 1 4.282700 0.30 N 誤 差 99.441171 7 14.205882 A與 B的 交 互 作 用 矯 正 后 不 顯 著 ， 促 生 長 劑之 間 的 差 異 極 顯 著 ， 試 驗 批 次

10、 間 的 差 異 不 顯 著 4雙 因 素 協(xié) 方 差 分 析 -考 慮 交 互 作 用 3.混 合 線 性 模 型通 過 一 個 例 子 講 述 混 合 線 性 模 型 的 使 用艾 滋 病 療 法 的 評 價艾 滋 病 是 當 前 人 類 社 會 最 嚴 重 的 瘟 疫 之 一 ， 從 1981年 發(fā) 現(xiàn) 以來 的 20多 年 間 ， 它 已 經(jīng) 吞 噬 了 近 3000萬 人 的 生 命 。艾 滋 病 的 醫(yī) 學(xué) 全 名 為 “ 獲 得 性 免 疫 缺 損 綜 合 癥 ” ， 英 文 簡 稱AIDS， 它 是 由 艾 滋 病 毒 （ 醫(yī) 學(xué) 全 名 為 “ 人 體 免 疫 缺 損 病 毒

11、 ” , 英 文 簡 稱 HIV） 引 起 的 。 這 種 病 毒 破 壞 人 的 免 疫 系 統(tǒng) ， 使 人 體喪 失 抵 抗 各 種 疾 病 的 能 力 ， 從 而 嚴 重 危 害 人 的 生 命 。 人 類 免疫 系 統(tǒng) 的 CD4細 胞 在 抵 御 HIV的 入 侵 中 起 著 重 要 作 用 ， 當 CD4被 HIV感 染 而 裂 解 時 ， 其 數(shù) 量 會 急 劇 減 少 ， HIV將 迅 速 增 加 ，導(dǎo) 致 AIDS發(fā) 作 。 3.混 合 線 性 模 型艾 滋 病 治 療 的 目 的 ， 是 盡 量 減 少 人 體 內(nèi) HIV的數(shù) 量 ， 同 時 產(chǎn) 生 更 多 的 CD4，

12、至 少 要 有 效 地 降低 CD4減 少 的 速 度 ， 以 提 高 人 體 免 疫 能 力 。迄 今 為 止 人 類 還 沒 有 找 到 能 根 治 AIDS的 療 法 ，目 前 的 一 些 AIDS療 法 不 僅 對 人 體 有 副 作 用 ，而 且 成 本 也 很 高 。 許 多 國 家 和 醫(yī) 療 組 織 都 在 積極 試 驗 、 尋 找 更 好 的 AIDS療 法 。 3.混 合 線 性 模 型請 你 完 成 以 下 問 題 ：（ 1） 利 用 附 件 1的 數(shù) 據(jù) ， 預(yù) 測 繼 續(xù) 治 療 的 效 果 ， 或 者 確 定最 佳 治 療 終 止 時 間 （ 繼 續(xù) 治 療 指 在

13、 測 試 終 止 后 繼 續(xù) 服 藥 ，如 果 認 為 繼 續(xù) 服 藥 效 果 不 好 ， 則 可 選 擇 提 前 終 止 治 療 ） 。（ 2） 利 用 附 件 2的 數(shù) 據(jù) ， 評 價 4種 療 法 的 優(yōu) 劣 （ 僅 以 CD4為 標 準 ） ， 并 對 較 優(yōu) 的 療 法 預(yù) 測 繼 續(xù) 治 療 的 效 果 ， 或 者 確定 最 佳 治 療 終 止 時 間 。(3) 艾 滋 病 藥 品 的 主 要 供 給 商 對 不 發(fā) 達 國 家 提 供 的 藥 品 價格 如 下 ： 600mg zidovudine 1.60美 元 ， 400mg didanosine 0.85美 元 ， 2.25

14、 mg zalcitabine 1.85美 元 ，400 mg nevirapine 1.20美 元 。 如 果 病 人 需 要 考 慮 4種 療法 的 費 用 ， 對 （ 2） 中 的 評 價 和 預(yù) 測 （ 或 者 提 前 終 止 ） 有什 么 改 變 。 3.混 合 線 性 模 型ID 療 法 年 齡 時 間 Log(CD4 count+1) 1 2 36.4271 0 3.1355 1 2 36.4271 7.5714 3.0445 1 2 36.4271 15.5714 2.7726 1 2 36.4271 23.5714 2.8332 1 2 36.4271 32.5714 3.2

15、189 1 2 36.4271 40 3.0445 2 4 47.8467 0 3.0681 2 4 47.8467 8 3.8918 2 4 47.8467 16 3.9703 2 4 47.8467 23 3.6109 2 4 47.8467 30.7143 3.3322 2 4 47.8467 39 3.0910 3 1 60.2875 0 3.7377 4 3 36.5969 0 4.1190 4 3 36.5969 7.1429 4.1109 4 3 36.5969 16.1429 4.7095 3.混 合 線 性 模 型1對 4種 療 法 的 療 效 評 價 的 分 析對 題 目

16、所 給 的 附 件 2的 數(shù) 據(jù) 進 行 分 析 可 知 ， 決 定 病 人的 CD4的 濃 度 的 因 素 有 年 齡 ， 檢 查 的 時 刻 ， 治 療 方案 這 三 個 因 素 。 因 此 我 們 將 年 齡 分 成 5類 ， 檢 查 的 時刻 分 為 4個 時 間 段 ， 治 療 方 案 有 4種 。 而 問 題 是 以CD4的 濃 度 為 標 準 來 評 價 療 效 的 優(yōu) 劣 ， 即 CD4的 濃度 越 大 ， 那 么 療 效 越 好 。 由 于 考 慮 題 中 所 給 的 樣 本有 6000多 個 （ 病 人 的 個 數(shù) *各 個 病 人 檢 查 的 次 數(shù) ） ，因 此 我 們

17、 考 慮 用 MIXED（ 混 合 線 性 模 型 ） 。 下 面 我們 就 混 合 線 性 模 型 的 原 理 進 行 說 明 。 3.混 合 線 性 模 型混 合 線 性 模 型 過 程 是 擬 合 許 多 不 同 數(shù) 據(jù) 的 混 合 線 性模 型 ， 并 利 用 所 擬 合 的 模 型 對 數(shù) 據(jù) 進 行 統(tǒng) 計 推 斷 。首 先 混 合 線 性 模 型 的 主 要 假 設(shè) 是 數(shù) 據(jù) 服 從 正 態(tài) 分 布 ，由 于 本 題 所 給 的 數(shù) 據(jù) 的 樣 本 容 量 有 6000多 個 ， 因 此 ，我 們 可 認 為 它 服 從 正 態(tài) 分 布 。 又 由 于 正 態(tài) 分 布 的 數(shù)據(jù)

18、 可 完 全 有 均 值 和 方 差 確 定 ， 因 此 一 個 混 合 線 性 模型 是 由 兩 個 模 型 決 定 的 。 分 別 是 均 值 模 型 和 方 差 模型 。 MIXED使 用 約 束 最 大 似 然 的 方 法 來 擬 合 數(shù) 據(jù) 的 。一 旦 數(shù) 據(jù) 的 模 型 已 經(jīng) 建 立 ， 我 們 可 以 使 用 該 模 型 通過 固 定 效 應(yīng) 參 數(shù) 和 協(xié) 方 差 參 數(shù) 進 行 統(tǒng) 計 推 斷 。 用 這些 統(tǒng) 計 量 可 以 對 模 型 進 行 評 價 。 3.混 合 線 性 模 型再 者 ， 該 分 析 的 重 要 假 設(shè) 是 數(shù) 據(jù) 是 正 態(tài) 分 布 的 ， 由于

19、 我 們 將 附 錄 2的 數(shù) 據(jù) 進 行 了 分 類 。 由 于 數(shù) 據(jù) 出 現(xiàn) 在類 （ 如 可 能 是 同 一 年 齡 段 中 ） ， 那 可 能 的 情 況 是 來自 同 一 年 齡 段 的 這 些 CD4的 值 是 相 關(guān) 的 ， 不 是 獨 立的 。 鑒 于 此 ， 由 于 附 錄 2所 給 的 數(shù) 據(jù) 是 高 度 數(shù) 據(jù) （ 即樣 本 容 量 很 大 ） ， 那 么 考 慮 這 種 因 素 是 相 關(guān) 。 因 此我 們 對 這 些 因 素 進 行 相 關(guān) 性 建 模 ， 我 們 使 用 隨 機 效用 。 在 本 題 中 ， 我 們 規(guī) 定 年 齡 、 檢 查 時 刻 為 隨 機

20、效應(yīng) ， 即 使 得 具 有 相 同 年 齡 水 平 或 相 同 檢 查 時 刻 的 水平 之 間 存 在 共 同 的 相 關(guān) 性 ， 那 么 ， 此 模 型 才 較 為 合理 。 3.混 合 線 性 模 型2 對 4種 療 法 的 療 效 模 型 的 建 立1） 數(shù) 據(jù) 的 處 理a、 所 有 病 人 的 年 齡 是 在 14.9021， 74.193的 區(qū) 間 內(nèi) ,以 （ 74.193-14.9021） /5=11.85818為 區(qū) 間 長 度 。 我們 將 患 者 按 照 年 齡 階 段 分 為 5級 ， 分 別 記 作 1至 5（ 如表 4所 示 ） ；b、 我 們 將 患 者 所

21、接 受 的 治 療 方 法 分 為 4種 ， 分 別 記作 1至 4；c、 我 們 將 病 人 的 檢 查 的 時 刻 0， 40以 10為 區(qū) 間 長度 ， 分 為 4級 ， 分 別 記 作 1至 4 3.混 合 線 性 模 型 3.混 合 線 性 模 型2） 確 定 固 定 效 應(yīng) 和 隨 機 效 應(yīng)固 定 效 用 是 設(shè) 計 者 所 研 究 的 因 素 ， 在 此 題 中 為4種 療 法 。 因 為 病 人 的 年 齡 是 隨 機 的 ， 并 且 病人 接 受 檢 驗 的 時 刻 是 也 是 隨 機 進 行 的 ， 故 病 人的 年 齡 和 病 人 接 受 檢 驗 的 治 療 時 刻 應(yīng)

22、 該 為 隨 機效 應(yīng) 。 3.混 合 線 性 模 型3） 協(xié) 方 差 結(jié) 構(gòu) 的 選 擇模 型 中 具 體 選 用 哪 種 結(jié) 構(gòu) 矩 陣 ： 在 相 同 模 型 結(jié) 構(gòu) 下 ，選 擇 幾 個 不 同 結(jié) 構(gòu) 的 協(xié) 方 差 矩 陣 ， 從 中 選 取 似 然 比統(tǒng) 計 量 （ -2Log Likeli-hood） 、 Akaikes Information Schwartz Bayesian三 個 指 標 均 較 小的 一 個 ， 通 常 以 AIC為 主 要 判 斷 指 標 。 依 據(jù) 專 業(yè) 知識 和 既 往 文 獻 ， 在 此 模 型 中 選 用 符 合 對 稱 結(jié) 構(gòu) CS、不 規(guī)

23、 則 結(jié) 構(gòu) UN、 一 階 自 回 歸 結(jié) 構(gòu) AR(1)、 空 間冪 相 關(guān) 結(jié) 構(gòu) SP（ POW） 。 3.混 合 線 性 模 型4） 建 立 混 合 線 性 模 型 的 線 性 模 型 ， 如 下 ： curecuretimetimeageageave BXBXBXBY * 3.混 合 線 性 模 型data ex;input name a x1 x2 y ;if x126.76 then x1=1;if 26.76=x141.662 then x1=2;if 41.662=x156.56 then x1=3;if 56.56=x171.467 then x1=4;if 71.467

24、=x1 then x1=5;if x210 then x2=1;if 10=x220 then x2=2;if 20=x230 then x2=3;if 30=x2 then x2=4;cards;1 2 36.4271 0 3.13551 2 36.4271 7.5714 3.04451 2 36.4271 15.5714 2.7726 1 2 36.4271 23.5714 2.8332 3.混 合 線 性 模 型1313 1 15.8412 20 4.40671313 1 15.8412 27 3.55531313 1 15.8412 35 3.4657;proc glm;class a x1 x2;model y=a x1 x2;means a/duncan;proc mixed;class a x1 x2;model y=a;random x1 x2;lsmeans a;run; 3.混 合 線 性 模 型 3.混 合 線 性 模 型 3.混 合 線 性 模 型