6、
＝25＋8－2×5×2×
＝25.
所以BC＝5.
5．(2017·全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知△ABC的面積為.
(1)求sin Bsin C；
(2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周長．
[解] (1)由題設(shè)得acsin B＝，即csin B＝.
由正弦定理得sin Csin B＝.
故sin Bsin C＝.
(2)由題設(shè)及(1)得cos Bcos C－sin Bsin C＝－，
即cos(B＋C)＝－.所以B＋C＝，故A＝.
由題設(shè)得bcsin A＝，a＝3，所以bc＝8.
由余弦定理得b2＋c2－bc＝
7、9，
即(b＋c)2－3bc＝9，得b＋c＝.
故△ABC的周長為3＋.
1．(2020·四省八校聯(lián)盟高三聯(lián)考)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知tan A＝，tan B＝，a＝5.
(1)求tan C；
(2)求△ABC的最長邊．
[解] (1)由題意知，tan C＝－tan(A＋B)＝－＝－＝－3.
(2)由(1)知C為鈍角，所以C為最大角，
因為tan A＝，所以sin A＝，又tan C＝－3，所以sin C＝.
由正弦定理得＝，所以c＝，即△ABC的最長邊為.
2．(2020·江西紅色七校第一次聯(lián)考)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，
8、b，c，已知acos C＋c＝b.
(1)求角A的值；
(2)若b＝4，c＝6，求cos B的值．
[解] (1)由條件acos C＋c＝b，得sin Acos C＋sin C＝sin B，
又由sin B＝sin(A＋C)，得sin Acos C＋sin C＝sin Acos C＋cos Asin C．
由sin C≠0，得cos A＝，故A＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A及b＝4，c＝6，A＝，得a2＝28，故a＝2，
法一：cos B＝＝.
法二：由＝得sin B＝，因為b＜a，所以B＜A，B∈，故cos B＝＝.
3．(2020·
9、貴陽模擬)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2bcos B＝acos C＋ccos A．
(1)求角B的大??；
(2)若b＝2，求△ABC面積的最大值．
[解] (1)∵2bcos B＝acos C＋ccos A，
∴由正弦定理得2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin Ccos A，
∴2sin Bcos B＝sin(A＋C)，又sin B≠0，sin(A＋C)＝sin B，∴2cos B＝1.
∴cos B＝，
又B∈(0，π)，∴B＝.
(2)∵b＝2，B＝，
∴由余弦定理得4＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝
10、ac，即ac≤4(當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝2時“＝”成立)，
∴S△ABC＝acsin B＝ac≤×4＝，
∴當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝2時，△ABC的面積取得最大值.
4．(2020·濟寧模擬)在△ABC中，∠A＝90°，點D在BC邊上．在平面ABC內(nèi)，過D作DF⊥BC且DF＝AC．
(1)若D為BC的中點，且△CDF的面積等于△ABC的面積，求∠ABC；
(2)若∠ABC＝45°，且BD＝3CD，求cos∠CFB．
[解] (1)因為D是BC的中點，所以CD＝BC．
由題設(shè)知，DF＝AC，×CD×DF＝×AB×AC，因此CD＝AB．
所以AB＝BC，因此∠ABC＝60°.
(2)不妨設(shè)AB
11、＝1，由題設(shè)知BC＝.由BD＝3CD得BD＝，CD＝.
由勾股定理得CF＝，BF＝.
由余弦定理得cos∠CFB＝＝.
5．(2020·煙臺模擬)在①f (x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，②f (x)的圖象關(guān)于點對稱，③f (x)在上單調(diào)遞增這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，若問題中的正實數(shù)a存在，求出a的值；若a不存在，說明理由．
已知函數(shù)f (x)＝4sin＋a(ω∈N*)的最小正周期不小于，且________，是否存在正實數(shù)a，使得函數(shù)f (x)在上有最大值3?
[解] 由于函數(shù)f (x)的最小正周期不小于，所以≥，所以1≤ω≤6，ω∈N*.
若選擇①，即f (x)的圖象
12、關(guān)于直線x＝對稱，則有ω＋＝kπ＋(k∈Z)，解得ω＝k＋(k∈Z)，由于1≤ω≤6，ω∈N*，k∈Z，所以k＝3，ω＝4.
此時，f (x)＝4sin＋a.
由x∈，得4x＋∈，因此當(dāng)4x＋＝，即x＝時，f (x)取得最大值4＋a，令4＋a＝3，解得a＝－1，不符合題意．
故不存在正實數(shù)a，使得函數(shù)f (x)在上有最大值3.
若選擇②，即f (x)的圖象關(guān)于點對稱，則有ω＋＝kπ(k∈Z)，
解得ω＝k－(k∈Z)，由于1≤ω≤6，ω∈N*，k∈Z，所以k＝1，ω＝3.
此時，f (x)＝4sin＋a.
由x∈，得3x＋∈，因此當(dāng)3x＋＝，即x＝時，f (x)取得最大值4sin
13、＋a＝＋＋a，令＋＋a＝3，解得a＝3－－，不符合題意．
故不存在正實數(shù)a，使得函數(shù)f (x)在上有最大值3.
若選擇③，即f (x)在上單調(diào)遞增，
則有(k∈Z)，
解得由于1≤ω≤6，ω∈N*，k∈Z，所以ω＝1.
此時，f (x)＝4sin＋a.
由x∈，得x＋∈，因此當(dāng)x＋＝，即x＝時，f (x)取得最大值2＋a，令2＋a＝3，解得a＝3－2，符合題意．
故存在正實數(shù)a＝3－2，使得函數(shù)f (x)在上有最大值3.
6．(2020·青島模擬)在△ABC中，已知a，b，c分別是角A，B，C的對邊，bcos C＋ccos B＝4，B＝.
請在下列三個條件①(a＋b＋c)(s
14、in A＋sin B－sin C)＝3asin B，②b＝4，③csin B＝bcos C中任意選擇一個，添加到題目的條件中，求△ABC的面積．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
[解] 因為bcos C＋ccos B＝4，所以由余弦定理得b·＋c·＝4，解得a＝4.
若選擇條件①，即(a＋b＋c)(sin A＋sin B－sin C)＝3asin B，
在△ABC中，由正弦定理得(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，所以(a＋b)2－c2＝3ab，整理得a2＋b2－c2＝ab，
所以由余弦定理得cos C＝，又C∈(0，π)，故C＝.
又B＝，所以A＝π－－＝.
15、
由＝，得b＝＝＝4(－1)，
故△ABC的面積S＝absin C＝×4×4(－1)×sin＝4(3－)．
若選擇條件②，即b＝4，
因為B＝，所以由＝，得sin A＝＝＝.
因為A∈(0，π)，所以A＝或A＝.
由于b＞a，所以B＞A，因此A＝不合題意，舍去，故A＝，
則C＝π－－＝，
故△ABC的面積S＝absin C＝×4×4×sin＝4(＋1)．
若選擇條件③，即csin B＝bcos C，
在△ABC中，由正弦定理可得sin Csin B＝sin Bcos C，易知sin B≠0，
所以tan C＝.因為C∈(0，π)，所以C＝，
又B＝，所以A＝π－－＝，
16、由＝，得b＝＝＝4(－1)，
故△ABC的面積S＝absin C＝×4×4(－1)×sin＝4(－1)．
7．(2020·濱州模擬)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且其面積為S.
①＝，②||2＝·，③S＝.
(1)請從以上三個條件中任選2個，并求角B；
(2)在(1)的基礎(chǔ)上，點D在AB邊上，若sin∠CAD＝sin∠ACD，求sin∠CDB．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
[解] 對于條件①，由正弦定理得＝，則tan A＝tan B，可得A＝B．
對于條件②，由||2＝·可得||2－·＝0，即·(＋)＝·＝0，則C＝.
對于條件③，
17、易得×bcsin A＝，
即4×sin A×＝，
即sin A＝cos A，得tan A＝，故A＝.
若選①②，
(1)易得△ABC是以角C為直角的等腰直角三角形，所以B＝.
(2)由sin∠CAD＝sin∠ACD，可得CD＝AD，
不妨設(shè)AD＝1，則CD＝，設(shè)AC＝x，由余弦定理可得＝，
得x＝，所以BC＝AC＝.
在△BCD中，＝，所以sin∠CDB＝.
若選②③，
(1)易得△ABC是以角C為直角的直角三角形，又A＝，所以B＝.
(2)由sin∠CAD＝sin∠ACD，可得CD＝AD，
不妨設(shè)AD＝1，則CD＝，設(shè)AC＝x，由余弦定理可得cos＝，得x＝2.
故
18、由勾股定理的逆定理可得CD⊥AD，所以sin∠CDB＝1.
若選①③，
(1)則易知△ABC為正三角形，可得B＝.
(2)因為△ABC為正三角形，所以A＝，
又sin∠CAD＝sin∠ACD，所以sin∠ACD＝，所以∠ACD＝，
所以CD⊥AB，所以sin∠CDB＝1.
8．(2020·威海模擬)在①(2a＋b)sin A＋(2b＋a)sin B＝2csin C，②a＝csin A－acos C，③△ABC的面積S△ABC＝(a2＋b2－c2)這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，作為問題的條件，再解答這個問題．
在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若c＝，且
19、________，探究△ABC的周長l是否存在最大值？若存在，求出l的最大值；若不存在，說明理由．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
[解] 若選①，因為(2a＋b)sin A＋(2b＋a)sin B＝2csin C，
所以由正弦定理可得(2a＋b)a＋(2b＋a)b＝2c2，
即a2＋b2－c2＝－ab，所以cos C＝＝－，
因為C∈(0，π)，所以C＝.
又c＝，所以由正弦定理可得＝＝＝2，所以a＝2sin A，b＝2sin B，
則l＝a＋b＋c＝2sin A＋2sin B＋＝2sin A＋2sin＋＝sin A＋cos A＋＝2sin＋，
因為0＜A＜
20、，所以2＜2sin＋≤2＋.
即△ABC的周長l存在最大值，且最大值為2＋.
若選②，因為a＝csin A－acos C，
所以由正弦定理可得sin A＝sin Csin A－sin Acos C，
因為sin A≠0，所以sin C－cos C＝1，
所以sin＝，又0＜C＜π，故C＝，
又c＝，所以由正弦定理可得＝＝＝2，
所以a＝2sin A，b＝2sin B，
則l＝a＋b＋c＝2sin A＋2sin B＋＝2sin A＋2sin＋＝3sin A＋cos A＋＝2sin＋，
因為0＜A＜，所以2＜2sin＋≤3，
即△ABC的周長l存在最大值，且最大值為3.
若選③，因為△ABC的面積S△ABC＝(a2＋b2－c2)，
所以absin C＝(a2＋b2－c2)，
所以sin C＝×，
由余弦定理可得sin C＝cos C，即tan C＝，
又因為0＜C＜π，故C＝，
又c＝，所以由正弦定理可得＝＝＝2，
所以a＝2sin A，b＝2sin B，
則l＝a＋b＋c＝2sin A＋2sin B＋＝2sin A＋2sin＋＝2sin＋，
因為0＜A＜，所以2＜2sin＋≤3，
即△ABC的周長l存在最大值，且最大值為3.
新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時集訓(xùn)9 三角函數(shù)和解三角形（含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題
