新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時集訓(xùn)9 三角函數(shù)和解三角形(含解析)-人教版高三數(shù)學(xué)試題
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1、專題限時集訓(xùn)(九) 三角函數(shù)和解三角形 1.(2020·新高考全國卷Ⅰ)在①ac=,②csinA=3,③c=b這三個條件中任選一個,補充在下面問題中,若問題中的三角形存在,求c的值;若問題中的三角形不存在,說明理由. 問題:是否存在△ABC,它的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且sin A=sin B,C=,________? 注:如果選擇多個條件分別解答,按一個解答計分. [解] 方案一:選條件①. 由C=和余弦定理得=. 由sin A=sin B及正弦定理得a=b. 于是=,由此可得b=c. 由①ac=,解得a=,b=c=1. 因此,選條件①時問題中的三角形存
2、在,此時c=1. 方案二:選條件②. 由C=和余弦定理得=. 由sin A=sin B及正弦定理得a=b.于是=,由此可得b=c,B=C=,A=. 由②csin A=3,所以c=b=2,a=6. 因此,選條件②時問題中的三角形存在,此時c=2. 方案三:選條件③. 由C=和余弦定理得=. 由sin A=sin B及正弦定理得a=b. 于是=,由此可得b=c. 由③c=b,與b=c矛盾. 因此,選條件③時問題中的三角形不存在. 2.(2019·全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.設(shè)(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C. (
3、1)求A; (2)若a+b=2c,求sin C. [解] (1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc. 由余弦定理得cos A==. 因為0°<A<180°,所以A=60°. (2)由(1)知B=120°-C,由題設(shè)及正弦定理得sin A+sin(120°-C)=2sin C,即+cos C+sin C=2sin C,可得cos(C+60°)=-. 由于0°<C<120°,所以sin(C+60°)=, 故sin C=sin(C+60°-60°) =sin(C+60°)cos 60°-cos(C+60°)sin 6
4、0° =. 3.(2019·全國卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知asin=bsin A. (1)求B; (2)若△ABC為銳角三角形,且c=1,求△ABC面積的取值范圍. [解] (1)由題設(shè)及正弦定理得sin Asin=sin Bsin A. 因為sin A≠0,所以sin=sin B. 由A+B+C=180°,可得sin=cos,故cos=2sincos. 因為cos≠0,故sin=,因此B=60°. (2)由題設(shè)及(1)知△ABC的面積S△ABC=a. 由(1)知A+C=120°. 由正弦定理得a===+. 由于△ABC為銳角三角形,故0
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