高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 不等式練習(xí) 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

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1、第八章　不等式 第45課　一元二次不等式 A　應(yīng)知應(yīng)會 1. (2015·廣東卷)不等式-x2-3x+4>0的解集為　　　　.(用區(qū)間表示)? 2. 不等式<0的解集為　　　　　.? 3. (2015·汕頭期末)已知關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+2>0的解集為{x|-10;q:實數(shù)x滿足x2-4x+3≤0. (1) 若a=1,且“p∧q”為真,求實數(shù)x的取值范圍; (2)

2、若p是q的必要不充分條件,求實數(shù)a的取值范圍. 6. 求關(guān)于x的不等式12x2-ax>a2(a∈R)的解集. B　鞏固提升 1. (2016·蘇北四市摸底)已知函數(shù)f(x)=-x2+2x,那么不等式f(log2x)4x+a-3對于任意a∈[0,4]恒成立,則x的取值范圍是　　　　.? 3. (2016·南京一中)已知函數(shù)f(x)=x2+mx-1,若對于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,則實數(shù)m的取值范圍是　　　　.? 4. (2016·淮陰中學(xué))定義運算a⊕b=那么關(guān)于非零實數(shù)x的不等式⊕4≥8的解集為　

3、　　　.? 5. 已知函數(shù)f(x)=(a,b為常數(shù)),且方程f(x)-x+12=0的兩個實數(shù)根分別為x1=3,x2=4. (1) 求函數(shù)f(x)的解析式; (2) 若k>1,解關(guān)于x的不等式f(x)<. 6. (2015·大同期末)已知關(guān)于x的不等式ax2+(a-2)·x-2≥0,a∈R. (1) 若不等式的解集為(-∞,-1]∪[2,+∞),求實數(shù)a的值; (2) 若不等式ax2+(a-2)x-2≥2x2-3對任意x∈R恒成立,求實數(shù)a的取值范圍; (3) 解關(guān)于x的不等式ax2+(a-2)x-2≥0. 第46課　簡單的線性規(guī)劃 A　應(yīng)知應(yīng)會 1. 在平面直角坐標

4、系中,△ABC的三個頂點的坐標分別為A(3,-1),B(-1,1),C(1,3),則由△ABC圍成的區(qū)域所表示的二元一次不等式組為　　　　.? 2. (2015·湖南卷)若變量x,y滿足約束條件則z=2x-y的最小值為　　　　.? 3. (2015·遼寧育才中學(xué)一模)已知實數(shù)x,y滿足約束條件若目標函數(shù)z=x+y的最大值為4,則實數(shù)a的值為　　　　.? 4. (2016·合肥三檢)若不等式組表示的平面區(qū)域為Ω,則當(dāng)直線y=k(x-1)與區(qū)域Ω有公共點時,k的取值范圍是　　　　.? 5. 求不等式|x-1|+|y-1|≤2表示的平面區(qū)域的面積. 6. 已知實數(shù)x,y滿足不等式組 (1

5、) 求z1=x2+y2的最小值; (2) 求z2=的取值范圍. B　鞏固提升 1. (2016·徐州、連云港、宿遷三檢)若實數(shù)x,y滿足約束條件則|3x-4y-10|的最大值為　　　　.? 2. (2016·鹽城三模)已知實數(shù)x,y滿足約束條件那么的最大值為　　　　.? 3. 已知實數(shù)x,y滿足約束條件若是使ax-y取得最小值的唯一的可行解,則實數(shù)a的取值范圍為　　　　.? 4. 已知x,y∈R,且滿足2≤y≤4-x,x≥1,那么的最大值為　　　　.? 5. 為保增長、促發(fā)展,某地計劃投資甲、乙兩個項目.根據(jù)市場調(diào)研知,甲項目每投資100萬元需要配套電能2萬千瓦時,可提供就業(yè)

6、崗位24個,GDP增長260萬元;乙項目每投資100萬元需要配套電能4萬千瓦時,可提供就業(yè)崗位36個,GDP增長200萬元.已知該地為甲、乙兩個項目最多可投資3 000萬元,配套電能100萬千瓦時,若要求兩個項目能提供的就業(yè)崗位不少于840個,問:如何安排甲、乙兩個項目的投資額,才能使GDP增長得最多? 6. 已知實系數(shù)方程x2+ax+2b=0的一個根在(0,1)內(nèi),另一個根在(1,2)內(nèi). (1) 求的取值范圍; (2) 求(a-1)2+(b-1)2的取值范圍; (3) 求a+b-3的取值范圍. 第47課　基本不等式及其應(yīng)用 A　應(yīng)知應(yīng)會 1. 當(dāng)x>1時,函數(shù)y=x+

7、的最小值是　　　　.? 2. 已知正數(shù)x,y滿足x+y=1,那么+的最小值為　　　　.? 3. 若x+2y=1,則2x+4y的最小值為　　　　.? 4. (2016·常熟中學(xué))已知x>0,y>0,且4xy-x-2y=4,那么xy的最小值為　　　　.? 5. 已知x>0,y>0,且x+y=1. (1) 求+的最小值; (2) 求+的最大值. 6. 運貨卡車以x km/h的速度勻速行駛130 km,按交通法規(guī)限制50≤x≤100(單位:km/h).假設(shè)汽油的價格是2元/L,汽車每小時耗油 L,司機的工資是14元/h. (1) 求這次行車總費用y關(guān)于x的表達式; (2) 當(dāng)x為何值

8、時,這次行車的總費用最低?并求出最低費用. B　鞏固提升 1. 已知a>0,b>0,若不等式+≥恒成立,則m的最大值為　　　　.? 2. (2016·揚州期末)已知a>b>1,且2logab+3logba=7,那么a+的最小值為　　　　.? 3. (2016·蘇州期末)已知ab=,a,b∈(0,1),那么+的最小值為　　　　.? 4. (2016·江蘇卷)在銳角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,則tanAtanBtanC的最小值是　　　　.? 5. 已知變量x,y滿足約束條件若目標函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的最大值為12,求+的最小值. 6. (2

9、016·蘇北四市摸底)如圖,墻上有一幅壁畫,最高點A離地面4 m,最低點B離地面2 m,觀察者從距離墻x m(x>1)、離地面高a m(1≤a≤2)的C處觀賞該壁畫.設(shè)觀賞視角∠ACB=θ. (1) 若a=1.5,問:觀察者離墻多遠時,視角θ最大? (2) 若tanθ=,當(dāng)a變化時,求x的取值范圍. (第6題) 第48課　不等式的綜合應(yīng)用 A　應(yīng)知應(yīng)會 1. 已知p:x2-4x-5>0,q:x2-2x+1-m2>0(m>0).若p是q的充分不必要條件,則m的最大值為　　　　.? 2. 已知x為實數(shù),那么y=+的最大值為　　　　.? 3. 已知函數(shù)f(x)=x|x

10、+1|,那么f0,≤a恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是　　　　.? 5. 已知函數(shù)f(x)=x|x-2|,求不等式f(-x)≤f(1)的解集. 6. 如圖,某小區(qū)擬在空地上建一個占地面積為2 400 m2的矩形休閑廣場,按照設(shè)計要求,休閑廣場中間有兩個完全相同的矩形綠化區(qū)域,周邊及綠化區(qū)域之間的道路(圖中陰影部分)的寬度均為2 m.問:怎樣設(shè)計矩形休閑廣場的長和寬,才能使綠化區(qū)域的總面積最大?并求出其最大面積. (第6題) B　鞏固提升 1. (2015·四川卷)已知函數(shù)f(x)=(m-2)x2+(n-8

11、)x+1(m≥0,n≥0)在區(qū)間上單調(diào)遞減,那么mn的最大值為　　　　.? 2. (2015·南京、鹽城、徐州二模)已知α,β均為銳角,且cos(α+β)=,那么tan α的最大值是　　　　.? 3. 若函數(shù)f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值為3,則實數(shù)a的值為　　　　.? 4. (2015·浙江卷)已知實數(shù)x,y滿足x2+y2≤1,那么|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值是　　　　.? 5. 已知函數(shù)f(x)=x3-x2+x,y=f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),設(shè)h(x)=ln f'(x),若對于任意的x∈[0,1],不等式h(x+1-t)

12、的取值范圍. 6. (2016·鎮(zhèn)江期末)如圖,某工業(yè)園區(qū)是半徑為10 km的圓形區(qū)域,距離園區(qū)中心O點5 km處有一中轉(zhuǎn)站P,現(xiàn)準備在園區(qū)內(nèi)修建一條筆直的公路AB,公路AB經(jīng)過該中轉(zhuǎn)站,并把園區(qū)分成兩個區(qū)域. (1) 設(shè)中心O對公路AB的視角為α,求α的最小值,并求較小區(qū)域面積的最小值; (2) 為方便交通,準備過中轉(zhuǎn)站P在園區(qū)內(nèi)再修建一條與AB垂直的筆直公路CD,求兩條公路長度和的最小值. (第6題) 第八章　不等式 第45課　一元二次不等式 A　應(yīng)知應(yīng)會 1. (-4,1)　【解析】由-x2-3x+4>0,得-40的解集為

13、(-4,1). 2. 3. 0　【解析】因為ax2+bx+2>0的解集為(-1,2),所以一元二次方程ax2+bx+2=0的兩根分別為-1,2,由韋達定理可得解得所以a+b=0. 4. (-∞,-4)∪(4,+∞)　【解析】因為不等式x2+ax+4<0的解集不是空集,所以Δ=a2-4×4>0,即a2>16,所以a>4或a<-4,故實數(shù)a的取值范圍是(-∞,-4)∪(4,+∞). 5. 【解答】(1) 由(x-4a)(x-a)<0,a>0, 得a

14、為真時,實數(shù)x的取值范圍為{x|1≤x≤3}. 若“p∧q”為真,則1a2,所以12x2-ax-a2>0,即(4x+a)(3x-a)>0. 令(4x+a)(3x-a)=0, 得x1=-,x2=. ①當(dāng)a>0時,-<,解集為; ②當(dāng)a=0時,x2>0,解集為{x|x∈R且x≠0}; ③當(dāng)a<0時,->,解集為. 綜上,當(dāng)a>0時,原不等式的解集為;當(dāng)a

15、=0時,原不等式的解集為{x|x∈R且x≠0};當(dāng)a<0時,原不等式的解集為. B　鞏固提升 1. (0,1)∪(4,+∞)　【解析】因為f(x)=-x2+2x,且f(0)=f(2)=0,所以不等式f(log2x)2,解得x∈(0,1)∪(4,+∞). 2. (-∞,-1)∪(3,+∞)　【解析】原不等式等價于x2+ax-4x-a+3>0,所以a(x-1)+x2-4x+3>0.令f(a)=a(x-1)+x2-4x+3,則函數(shù)f(a)=a(x-1)+x2-4x+3表示一條直線,所以要使f(a)=a(x-1)+x2-4x

16、+3>0對于任意a∈[0,4]恒成立,則有f(0)>0,f(4)>0,即x2-4x+3>0且x2-1>0,解得x>3或x<-1,即使原不等式恒成立的x的取值范圍為(-∞,-1)∪(3,+∞). 3. 　【解析】因為f(x)=x2+mx-1的圖象是開口向上的拋物線,所以函數(shù)的最大值只能在區(qū)間端點處取到,所以對于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,只需解得即m∈. 4. (-∞,0)∪∪[2,+∞)　【解析】當(dāng)x≤-1時,因為x+<0,x≤,故原不等式可化為x+≥8x,它在(-∞,-1]上恒成立;當(dāng)-1,故原不等式可化為x+≥,它在(-1,0)上恒成立;

17、當(dāng)04,x<,故原不等式可化為4≥8x,解得01時,因為x+≥4,x>,故原不等式可化為4≥,解得x≥2.綜上所述,原不等式的解集為(-∞,0)∪∪[2,+∞). 5. 【解答】(1) 將x1=3,x2=4分別代入方程-x+12=0中,得解得所以f(x)=(x≠2). (2) 不等式即為<,可化為<0, 即(x-2)(x-1)(x-k)>0. ①當(dāng)10,解集為x∈(1,2)∪(2,+∞); ③當(dāng)k>2時,解集為x∈(1,2)∪(k,+∞). 綜上,當(dāng)

18、12時,原不等式的解集為(1,2)∪(k,+∞). 6. 【解答】(1) 因為ax2+(a-2)x-2≥0的解集為(-∞,-1]∪[2,+∞), 所以方程ax2+(a-2)x-2=0的兩根分別為x=-1或x=2, 所以-1×2=,解得a=1. (2) 若不等式ax2+(a-2)x-2≥2x2-3對任意x∈R恒成立,即(a-2)x2+(a-2)x+1≥0對任意x∈R恒成立.因此,①當(dāng)a=2時,不等式變?yōu)?≥0,顯然成立;②當(dāng)a≠2時,解得2

19、為[2,6]. (3) ax2+(a-2)x-2≥0?(x+1)(ax-2)≥0. 當(dāng)a=0時,原不等式變形為-2x-2≥0,解得x≤-1. 當(dāng)a≠0時,ax2+(a-2)x-2=0的兩根分別為x=-1或x=. 當(dāng)a>0時,-1<,所以(x+1)(ax-2)≥0?x≤-1或x≥; 當(dāng)a<-2時,-1<,所以(x+1)(ax-2)≥0?-1≤x≤; 當(dāng)a=-2時,-1=,所以(x+1)(ax-2)≥0?(x+1)2≤0?x=-1; 當(dāng)-2,所以(x+1)(ax-2)≥0?≤x≤-1. 綜上可得,當(dāng)a=0時,原不等式的解集為{x|x≤-1}; 當(dāng)a>0時,原不等

20、式的解集為; 當(dāng)-20,1+2×1-1>0.又因為含有邊界,所以△ABC圍成的區(qū)域所表示的二元一次不等式組為 (第1題) 2. -1　【解析】根據(jù)約束條件作出可行域如圖中陰影部分所示,由圖可知,當(dāng)直線z=2x-y過點

21、A時,z取得最小值.聯(lián)立解得所以A(0,1),所以z的最小值為-1. (第2題) 3. 2　【解析】作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分如示.聯(lián)立解得即點A(a,a).作直線l:z=x+y,則z為直線l在y軸上的截距.當(dāng)直線l經(jīng)過可行域上的點A(a,a)時,直線l在y軸上的截距最大,此時z取最大值,即zmax=a+a=2a=4,解得a=2. (第3題) 4. (-∞,-2]∪[0,+∞)　【解析】作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示, 直線y=k(x-1)過定點E(1,0),因為kEA=0,kEC==-2,所以k的取值范圍為(-∞,-2]∪[0,+∞). (

22、第4題) 5. 【解答】因為|x-1|+|y-1|≤2可化為 作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示,所以所求的面積為×4×4=8. (第5題) 6. 【解答】畫出可行域如圖中陰影部分所示. (第6題) (1) z1=x2+y2表示的是可行域內(nèi)任意一點(x,y)到點(0,0)的距離的平方.由圖可知點A(x,y)到點O(0,0)的距離最小,點A的坐標是(1,0),所以z1 min=12+02=1. (2) z2=表示的是可行域內(nèi)任意一點(x,y)與點B(-1,1)連線的斜率.由圖可知點A(1,0)與點B(-1,1)連線的斜率最小,z2 min==-,z2 max

23、=1(取不到),所以z2的取值范圍是-,1. B　鞏固提升 1. 　【解析】作出約束條件表示的可行域如圖中陰影部分所示.令z=3x-4y-10,則平移直線3x-4y=0經(jīng)過點A(1,0)時,zmax=3-10=-7;平移直線3x-4y=0經(jīng)過點B時,zmin=-3-10=-,即-≤z=3x-4y-10≤-7,從而7≤|3x-4y-10|≤.故|3x-4y-10|的最大值為. (第1題) 2. 　【解析】因為=,故的最大值為可行域中的點與點連線的斜率的最大值.作出約束條件表示的可行域如圖中陰影部分所示,由圖易知,點(1,4)與點連線的斜率最大,且最大值為. (第2題)

24、 3. 　【解析】記z=ax-y.當(dāng)x=0時,y=-z,即直線z=ax-y在y軸上的截距是-z.作出約束條件表示的可行域如圖中陰影部分所示,由圖易知,滿足題意的實數(shù)a的取值范圍為. (第3題) 4. 　【解析】==+,令t=,則t的幾何意義為不等式組對應(yīng)的可行域中的任一點與點(-1,1)連線的斜率.作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示,由圖易知t∈,即=,所以原式的最大值為. (第4題) 5. 【解答】設(shè)甲項目投資x萬元,乙項目投資y萬元,增長的GDP為z萬元,則投資甲、乙兩個項目可增長的GDP為z=2.6x+2y. 依題意知x,y滿足 作出此不等式組表示

25、的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示. (第5題) 把z=2.6x+2y變形為y=-1.3x+0.5z,其在y軸上的截距為0.5z. 由圖可知當(dāng)直線y=-1.3x+0.5z經(jīng)過可行域上的點B時,其縱截距取得最大值,也即z取得最大值. 由得x=2 000,y=1 000,即點B的坐標為(2 000,1 000), 故當(dāng)甲項目投資2 000萬元、乙項目投資1 000萬元時,GDP增長得最多. 6. 【解答】設(shè)f(x)=x2+ax+2b.由題意得?作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示, (第6題) 其中A(-3,1),B(-2,0),C(-1,0). (1) 表示可行域中

26、的點(a,b)與點(1,2)連線的斜率,故取值范圍為. (2) (a-1)2+(b-1)2表示可行域中的點(a,b)到點(1,1)的距離的平方,故取值范圍為(5,16). (3) 目標函數(shù)z=a+b-3在平面區(qū)域內(nèi)的取值范圍是(-5,-4),即a+b-3的取值范圍為(-5,-4). 第47課　基本不等式及其應(yīng)用 A　應(yīng)知應(yīng)會 1. 3　【解析】因為x>1,所以y=x+=(x-1)++1≥2+1=3,當(dāng)且僅當(dāng)x-1=,即x=2時等號成立,故函數(shù)y的最小值為3. 2. 9　【解析】+=(x+y)=1+++4≥5+2=5+4=9,當(dāng)且僅當(dāng)x=,y=時取等號. 3. 2　【解析】易知2x

27、+4y=2x+22y≥2=2=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=,y=時等號成立. 4. 2　【解析】因為x>0,y>0,x+2y≥2,所以4xy-(x+2y)≤4xy-2,所以4≤4xy-2,所以(-2)(+1)≥0,所以≥2,所以xy≥2. 5. 【解答】(1) +=(x+y)=10++≥10+2=18,當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=,y=時等號成立,所以+的最小值為18. (2) 由題設(shè)得+≤=2, 當(dāng)且僅當(dāng)2x+1=2y+1,即x=y=時取等號,所以+的最大值為2. 6. 【解答】(1) 設(shè)所用時間為t h,則t=,y=×2×+14×,x∈[50,100],所以這次行車總費用y關(guān)于x的表達式是y=+x,x

28、∈[50,100]. (2) y=+x≥26, 當(dāng)且僅當(dāng)=x,即x=18時等號成立. 故當(dāng)行駛的速度為18 km/h時,這次行車的總費用最低,最低費用為26 元. B　鞏固提升 1. 12　【解析】由+≥,得m≤(a+3b)=++6.又++6≥2+6=12,所以m≤12,所以m的最大值為12. 2. 3　【解析】因為2logab+3logba=7,所以2(logab)2-7logab+3=0,解得logab=或logab=3.因為a>b>1,所以logab∈(0,1),故logab=,從而b=,因此a+=a+=(a-1)++1≥3,當(dāng)且僅當(dāng)a=2時等號成立. 3. 4+　【解析】

29、因為b=,a∈(0,1),所以+=+=++2=+2.令2a+1=t,則a=,原式=+2=+2≥+2=4+,當(dāng)且僅當(dāng)t=,即a=∈(0,1)時取等號,故原式的最小值為4+. 4. 8　【解析】因為sinA=2sinBsinC,sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,所以sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,兩邊同時除以cosBcosC得tanB+tanC=2tanBtanC.又tanAtanBtanC=-tan(B+C)tanBtanC=-·tanB·tanC=.由銳角三角形ABC,得tanB>0,tanC>0,tanA=>0,即tanBtanC-1>

30、0.令tanBtanC-1=t(t>0),則tanAtanB·tanC==2t++4≥8,當(dāng)且僅當(dāng)t=1時取等號. 5. 【解答】作出可行區(qū)域如圖中陰影部分所示, 當(dāng)直線z=ax+by(a>0,b>0)過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點A(4,6)時,目標函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值12,即4a+6b=12,即2a+3b=6,又 +=·=+≥+2=,當(dāng)且僅當(dāng)=,即a=b=時取等號. 所以+的最小值為. (第5題) 6. 【解答】(1) 當(dāng)a=1.5時,過C作AB的垂線,垂足為D, 則BD=0.5 m,且θ=∠ACD-∠BCD. 因為觀察

31、者離墻x m,且x>1,則tan∠BCD=,tan∠ACD=, 所以tanθ=tan(∠ACD-∠BCD) == =≤=, 當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=>1時取等號. 又因為tanθ在上單調(diào)遞增,所以當(dāng)觀察者離墻 m時,視角θ最大. (2) 由題意得tan∠BCD=,tan∠ACD=,又tanθ=, 所以tanθ=tan(∠ACD-∠BCD) = ==, 所以a2-6a+8=-x2+4x. 當(dāng)1≤a≤2時,0≤a2-6a+8≤3, 所以0≤-x2+4x≤3, 解得0≤x≤1或3≤x≤4. 又因為x>1,所以3≤x≤4, 所以x的取值范圍為[3,4]. 第48課　不等式的

32、綜合應(yīng)用 A　應(yīng)知應(yīng)會 1. 2　【解析】由題意知p:x>5或x<-1,設(shè)f(x)=x2-2x+1-m2,則所以00,所以y=+≤·=4,當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=22時等號成立. 3. 　【解析】原不等式可化為<, 所以?、? 或　② 由①解得-≤x<,由②解得x<-,所以所求解集為. 4. 　【解析】因為x>0,所以=≤=,當(dāng)且僅當(dāng)x=(x>0),即x=1時等號成立,故實數(shù)a的取值范圍是,+∞. 5. 【解答】f(x)=x|x-2|=其圖象如圖所示. 當(dāng)x≥2時,令f(x0)=f(1),即-2

33、x0=1, 解得x0=1+(x0=1-,舍去), 從而不等式f(-x)≤f(1)等價于-x≤1+,解得x≥-1,即不等式f(-x)≤f(1)的解集為[-1,+∞). (第5題) 6. 【解答】設(shè)休閑廣場的長為x m,則寬為 m,綠化區(qū)域的總面積為S m2,則 S=(x-6) =2 424- =2 424-4,x∈(6,600). 因為x∈(6,600),所以x+≥2=120,當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=60時取等號,此時S取得最大值1 944. 答:當(dāng)休閑廣場的長為60 m,寬為40 m時,綠化區(qū)域總面積最大,最大面積為1 944 m2. B　鞏固提升 1. 18　【解析】當(dāng)

34、m=2時,f(x)=(n-8)x+1,由f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減,知n<8,所以mn<16.當(dāng)m≠2時,拋物線的對稱軸方程為x=-.根據(jù)題意知當(dāng)m>2時,-≥2,即2m+n≤12.因為≤≤6,所以mn≤18.由2m=n且2m+n=12得m=3,n=6.當(dāng)m<2時,拋物線開口方向向下,據(jù)題意得-≤,即m+2n≤18.因為≤≤9,所以mn≤.由2n=m且m+2n=18,得m=9>2,不合題意,故應(yīng)舍去,所以要使得mn取得最大值,應(yīng)有m+2n=18(m<2,n>8),mn=(18-2n)n<(18-2×8)×8=16.綜上,mn的最大值為18. 2. 　【解析】由cos(α+β)=,得cos α·

35、cos β-sin αsin β=,即cos αcos β=sin α.由α,β均為銳角,得cos α≠0,tan β>0,所以tan α=====≤=,當(dāng)且僅當(dāng)2tan β=,即tan β=時,等號成立. 3. -4或8　【解析】當(dāng)a≥2時,f(x)=由圖(1)可知f(x)min=f=-1=3,得a=8. 當(dāng)a<2時,f(x)= 由圖(2)可知f(x)min=f=-+1=3,可得a=-4.綜上,a的值為-4或8. 圖(1) 圖(2) (第3題) 4. 15　【解析】因為x2+y2≤1,所以x≤1,y≤1,所以2x+y-4<0,6-x-3y>0,所以z=|2x

36、+y-4|+|6-x-3y|=4-2x-y+6-x-3y=10-3x-4y.當(dāng)直線3x+4y-10+z=0與圓x2+y2=1相切時,z取得最大值,此時=1,因此zmax=15. 5. 【解答】由已知有f'(x)=(x-1)2, 則h(x)=2ln|x-1|,所以h(x+1-t)=2ln|x-t|,h(2x+2)=2ln|2x+1|. 當(dāng)x∈[0,1]時,|2x+1|=2x+1,所以不等式等價于0<|x-t|<2x+1恒成立, 解得-x-1

37、所以t的取值范圍是(-1,0). 6. 【解答】(1) 如圖(1),過點O作OH⊥AB于點H,記OH=d, 則α=2∠AOH,cos∠AOH=. 要使α取得最小值,只需要d取得最大值,結(jié)合圖形可得d≤OP=5 km, 當(dāng)且僅當(dāng)AB⊥OP時,dmax=5 km. 此時αmin=2∠AOH=2×=. 設(shè)AB把園區(qū)分成兩個區(qū)域,其中較小區(qū)域的面積記為S. 由題意得S=f(α)=S扇形AOB-S△AOB=50(α-sinα). 因為f'(α)=50(1-cosα)≥0恒成立,所以f(α)為增函數(shù), 所以Smin=f=50. 即視角的最小值為,較小區(qū)域面積的最小值是50 km2. (第6題(1)) (2) 如圖(2) ,過O分別作OH⊥AB,OH1⊥CD,垂足分別是H,H1,記OH=d1,OH1=d2.由(1)可知d1∈[0,5], 所以+=OP2=25,故=25-. 因為AB=2, CD=2, 所以AB+CD=2(+)=2(+), 記L(d1)=AB+CD=2(+),可得[L(d1)]2=4[175+2], 由∈[0,25],可知=0或=25時,[L(d1)]2取得的最小值為100(7+4), 從而AB+CD的最小值是20+10. 即兩條公路長度和的最小值是(20+10) km. (第6題(2))