周道祥彈性力學(xué) 第三章

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1、第三章第三章 平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答3.1 3.1 逆解法與半逆解法逆解法與半逆解法多項(xiàng)式解答多項(xiàng)式解答1.1.逆解法框圖逆解法框圖選擇應(yīng)力函數(shù)YES求應(yīng)力分量NO滿足何邊界條件？YES結(jié)論NO2.2.步驟步驟（已知面力）已知面力）a）假設(shè)一個(gè)應(yīng)力函數(shù)假設(shè)一個(gè)應(yīng)力函數(shù)；b）檢查檢查是否滿足是否滿足c）根據(jù)（根據(jù)（223）求應(yīng)力分量）求應(yīng)力分量；d）檢查所求應(yīng)力分量檢查所求應(yīng)力分量能滿足什能滿足什么樣的應(yīng)力邊界條件（么樣的應(yīng)力邊界條件（2-15）邊邊。一一.逆解法逆解法：e)e)得出函數(shù)得出函數(shù)能解決何種問(wèn)題能解決何種問(wèn)題二二.半逆解法：半逆解法：1.1.半逆解法框圖半逆解

2、法框圖由邊界條件選擇某應(yīng)力的函數(shù)式Y(jié)ES求應(yīng)力分量NO滿足邊界條件嗎?YES結(jié)論NOd d）根據(jù)（根據(jù)（2-232-23）求應(yīng)力分量）求應(yīng)力分量 e e）檢查所求應(yīng)力分量檢查所求應(yīng)力分量 是否是否滿足應(yīng)力邊界條件（滿足應(yīng)力邊界條件（2-152-15）邊邊。a a）根據(jù)邊界條件選擇假根據(jù)邊界條件選擇假設(shè)某應(yīng)力的函數(shù)式設(shè)某應(yīng)力的函數(shù)式積分求函數(shù) 2.步驟步驟b).b).對(duì)應(yīng)力的函數(shù)式積分對(duì)應(yīng)力的函數(shù)式積分求求應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù) c c）檢查是檢查是 否滿足否滿足f)f)得出問(wèn)題的解得出問(wèn)題的解三三.平面問(wèn)題的多項(xiàng)式解答平面問(wèn)題的多項(xiàng)式解答(逆解法逆解法)（4 4）結(jié)論：線性函數(shù)對(duì)應(yīng)于無(wú)荷載的情況，應(yīng)

3、力函數(shù)）結(jié)論：線性函數(shù)對(duì)應(yīng)于無(wú)荷載的情況，應(yīng)力函數(shù) 的線性項(xiàng)不影響應(yīng)力分布，研究問(wèn)題時(shí)可舍去。的線性項(xiàng)不影響應(yīng)力分布，研究問(wèn)題時(shí)可舍去。（2 2）根據(jù)（）根據(jù)（223223）求出應(yīng)力分量）求出應(yīng)力分量；1.一次函數(shù)一次函數(shù)無(wú)體積力，考察其能解決的問(wèn)題。無(wú)體積力，考察其能解決的問(wèn)題。（1 1）檢查）檢查是否滿足是否滿足能被滿足能被滿足（3 3）考察邊界條件：無(wú)體力、無(wú)面力，）考察邊界條件：無(wú)體力、無(wú)面力，2.2.二次函數(shù)二次函數(shù)（4 4）結(jié)論：）結(jié)論：=x x2 2用來(lái)解用來(lái)解y y向均勻拉伸向均勻拉伸同理可知同理可知 =y y2 2用來(lái)解用來(lái)解x x向均勻拉伸向均勻拉伸（2 2）根據(jù)（）根據(jù)（

4、223223）求出應(yīng)力分量）求出應(yīng)力分量；能被滿足能被滿足（1 1）檢查）檢查是否滿足是否滿足（3）考察邊界條件：）考察邊界條件：考察其能解決的問(wèn)題?？疾炱淠芙鉀Q的問(wèn)題。（4 4）二次式解決的問(wèn)題小結(jié)）二次式解決的問(wèn)題小結(jié)能解決圖（能解決圖（a a）的問(wèn)題的問(wèn)題考察其能解決的問(wèn)題考察其能解決的問(wèn)題按照以上步驟很容易得到結(jié)果按照以上步驟很容易得到結(jié)果應(yīng)力分量應(yīng)力分量能滿足的邊界條件為能滿足的邊界條件為對(duì)于對(duì)于xy0（a）2a能解決圖（能解決圖（）的問(wèn)題的問(wèn)題能解決圖（能解決圖（）的問(wèn)題的問(wèn)題對(duì)于對(duì)于對(duì)于（）xy0（）yx02c三次函數(shù)三次函數(shù)2 2）根據(jù)（）根據(jù)（223223）求出應(yīng)力分量）求出

5、應(yīng)力分量；（體力不計(jì)）考察它能解決什么問(wèn)題（體力不計(jì)）考察它能解決什么問(wèn)題1 1）檢查檢查是否滿足是否滿足帶入計(jì)算后可以知道顯然帶入計(jì)算后可以知道顯然滿足相容方程滿足相容方程xyL03 3）根據(jù)應(yīng)力邊界條件（）根據(jù)應(yīng)力邊界條件（2-152-15）邊邊確定相對(duì)應(yīng)的面確定相對(duì)應(yīng)的面力分量。力分量。a a）檢查上、下邊界（主邊界）檢查上、下邊界（主邊界）由：由：說(shuō)明上、下邊界沒(méi)有面力。說(shuō)明上、下邊界沒(méi)有面力。b b）檢查左、右邊界（次邊界）檢查左、右邊界（次邊界）由：由：0 xyL解決矩形截面梁純彎曲問(wèn)題解決矩形截面梁純彎曲問(wèn)題3.23.2矩形截面梁的純彎曲矩形截面梁的純彎曲一一.計(jì)算模型計(jì)算模型矩

6、形截面梁，體力不計(jì)矩形截面梁，體力不計(jì) 考察兩種情形：考察兩種情形：1 1）寬度遠(yuǎn)小于深度）寬度遠(yuǎn)小于深度和長(zhǎng)度（平面應(yīng)力）和長(zhǎng)度（平面應(yīng)力）2 2）寬度遠(yuǎn)大于深度）寬度遠(yuǎn)大于深度和長(zhǎng)度（平面應(yīng)變）和長(zhǎng)度（平面應(yīng)變）取單位寬度梁研究：令單位寬度上力偶的矩為取單位寬度梁研究：令單位寬度上力偶的矩為M M注：注：M M的量綱為的量綱為 力力長(zhǎng)度長(zhǎng)度/長(zhǎng)度長(zhǎng)度=力力）1yzhM0LLxMy二二.求應(yīng)力求應(yīng)力3 3）根據(jù)（）根據(jù)（223223）求出應(yīng)力分量）求出應(yīng)力分量；1 1）假設(shè)應(yīng)力函數(shù)假設(shè)應(yīng)力函數(shù)；2 2）檢查）檢查是否滿足（是否滿足（2-242-24）容容顯然滿足顯然滿足三三.邊界條件邊界條件

7、檢查所求應(yīng)力分量檢查所求應(yīng)力分量 是否滿足應(yīng)力邊界是否滿足應(yīng)力邊界條件（條件（2-152-15）邊邊。（并求待定常數(shù)）。（并求待定常數(shù)）1）檢查上、下邊界（主邊界）檢查上、下邊界（主邊界）準(zhǔn)確滿足準(zhǔn)確滿足b）檢查左、右邊界（次邊界）檢查左、右邊界（次邊界）滿足滿足要求當(dāng)要求當(dāng) 時(shí)時(shí)滿足滿足滿足滿足Ly0 xL四四.定常數(shù)定常數(shù)由于法向面力分布規(guī)律未知，根據(jù)圣維南原理，采由于法向面力分布規(guī)律未知，根據(jù)圣維南原理，采用等效代換，做到近似滿足。用等效代換，做到近似滿足。要求當(dāng)要求當(dāng) 時(shí)時(shí)滿足滿足滿足滿足Ly0 xL由第二式解出：由第二式解出：故所求應(yīng)力分量故所求應(yīng)力分量：（31）與材力完全相同與材力

8、完全相同關(guān)于關(guān)于M M的符號(hào)規(guī)定：的符號(hào)規(guī)定：組成組成M M的應(yīng)力分量隨坐標(biāo)的增大的應(yīng)力分量隨坐標(biāo)的增大而增加時(shí)，而增加時(shí)，M M為為“+”“+”，反之為，反之為“-”“-”隨坐標(biāo)隨坐標(biāo)y的的增大而增加增大而增加y分布規(guī)律分布規(guī)律注：注：1）組成梁端力偶的面力必須按線性分布，）組成梁端力偶的面力必須按線性分布，解答（解答（3-1）才是完全精確的。若按其它形）才是完全精確的。若按其它形式分布（式分布（3-1）有誤差。（即解答為圣維南）有誤差。（即解答為圣維南原理意義下的精確解）。原理意義下的精確解）。2 2）由圣維南原理，不同的面力分布形式，）由圣維南原理，不同的面力分布形式，解答只在兩端有誤差

9、。（對(duì)于解答只在兩端有誤差。（對(duì)于LhLh的梁）的梁）離兩端較遠(yuǎn)處，解答是是有實(shí)用價(jià)值的。離兩端較遠(yuǎn)處，解答是是有實(shí)用價(jià)值的。對(duì)于對(duì)于L L與與h h尺寸差不多的梁，（尺寸差不多的梁，（3-13-1）則無(wú)）則無(wú)實(shí)用價(jià)值（用簡(jiǎn)單多項(xiàng)式不能獲得有用實(shí)用價(jià)值（用簡(jiǎn)單多項(xiàng)式不能獲得有用解答）解答）3-3 3-3 純彎曲梁的位移純彎曲梁的位移一.一.求應(yīng)變分量：求應(yīng)變分量：由物理方程由物理方程二二.求位移分量求位移分量：用幾何方程積分用幾何方程積分由由(1)(1)、(2)(2)積分：積分：u u、v v必須滿足必須滿足式式將將u u、v v代入代入改寫(xiě)為：改寫(xiě)為：要使上式成立，必有要使上式成立，必有 為

10、常量為常量其中其中u0，v0為常量為常量故：故：其中其中、u0，v0為常數(shù)，須由約束條件求出為常數(shù)，須由約束條件求出討論：討論：1.1.證明平面假設(shè)是正確的證明平面假設(shè)是正確的xy由無(wú)論約束情況如何（即無(wú)論約束情況如何（即、uo、vo取何值）鉛垂線段的轉(zhuǎn)角取何值）鉛垂線段的轉(zhuǎn)角對(duì)于同一截面，對(duì)于同一截面，x為常量為常量也為常量，即橫截面保持平面也為常量，即橫截面保持平面2 2、梁的各縱向纖維的曲率、梁的各縱向纖維的曲率由小變形時(shí)小變形時(shí)與材力結(jié)果一致與材力結(jié)果一致三三.滿足約束條件滿足約束條件1 1）簡(jiǎn)支梁）簡(jiǎn)支梁按約束確定位移中待定常數(shù)按約束確定位移中待定常數(shù)Lyx代入位移條件后得：代入位移

11、條件后得：位移分量位移分量：梁的撓曲線方程：梁的撓曲線方程：由約束條件由約束條件（33）2 2）懸臂梁）懸臂梁（1 1）假設(shè)右端截面中點(diǎn)）假設(shè)右端截面中點(diǎn)A A無(wú)位無(wú)位移且過(guò)該點(diǎn)的截面法線不轉(zhuǎn)動(dòng)移且過(guò)該點(diǎn)的截面法線不轉(zhuǎn)動(dòng)xyL在梁右端（在梁右端（x=Lx=L）：）：對(duì)于對(duì)于y y的任何值的任何值要求要求：無(wú)法滿足（多項(xiàng)式解答），在工程實(shí)際中難以實(shí)現(xiàn)。無(wú)法滿足（多項(xiàng)式解答），在工程實(shí)際中難以實(shí)現(xiàn)。端部?jī)煞N約束：設(shè)某一點(diǎn)不移動(dòng)，某一條線段不轉(zhuǎn)動(dòng)端部?jī)煞N約束：設(shè)某一點(diǎn)不移動(dòng)，某一條線段不轉(zhuǎn)動(dòng)。oo1dxxyA以（以（1 1）為例研究）為例研究：代入后代入后：位移分量：位移分量：odyyxA梁軸線的撓度方程：梁軸線的撓度方程：轉(zhuǎn)角方程：轉(zhuǎn)角方程：注：注：1)1)對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題：對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題：2)2)若以若以代入，確定為移分量，結(jié)果如何？請(qǐng)同學(xué)們代入，確定為移分量，結(jié)果如何？請(qǐng)同學(xué)們自己推出。自己推出。作業(yè)：作業(yè)：pp49 3-3pp49 3-3，3-43-4Thank Everybody!