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1、第三章第三章 平面問題的直角坐標解答平面問題的直角坐標解答3.1 3.1 逆解法與半逆解法逆解法與半逆解法多項式解答多項式解答1.1.逆解法框圖逆解法框圖選擇應(yīng)力函數(shù)YES求應(yīng)力分量NO滿足何邊界條件？YES結(jié)論NO2.2.步驟步驟（已知面力）已知面力）a）假設(shè)一個應(yīng)力函數(shù)假設(shè)一個應(yīng)力函數(shù)；b）檢查檢查是否滿足是否滿足c）根據(jù)（根據(jù)（223）求應(yīng)力分量）求應(yīng)力分量；d）檢查所求應(yīng)力分量檢查所求應(yīng)力分量能滿足什能滿足什么樣的應(yīng)力邊界條件（么樣的應(yīng)力邊界條件（2-15）邊邊。一一.逆解法逆解法：e)e)得出函數(shù)得出函數(shù)能解決何種問題能解決何種問題二二.半逆解法：半逆解法：1.1.半逆解法框圖半逆解
2、法框圖由邊界條件選擇某應(yīng)力的函數(shù)式Y(jié)ES求應(yīng)力分量NO滿足邊界條件嗎?YES結(jié)論NOd d）根據(jù)（根據(jù)（2-232-23）求應(yīng)力分量）求應(yīng)力分量 e e）檢查所求應(yīng)力分量檢查所求應(yīng)力分量 是否是否滿足應(yīng)力邊界條件（滿足應(yīng)力邊界條件（2-152-15）邊邊。a a）根據(jù)邊界條件選擇假根據(jù)邊界條件選擇假設(shè)某應(yīng)力的函數(shù)式設(shè)某應(yīng)力的函數(shù)式積分求函數(shù) 2.步驟步驟b).b).對應(yīng)力的函數(shù)式積分對應(yīng)力的函數(shù)式積分求求應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù) c c）檢查是檢查是 否滿足否滿足f)f)得出問題的解得出問題的解三三.平面問題的多項式解答平面問題的多項式解答(逆解法逆解法)（4 4）結(jié)論：線性函數(shù)對應(yīng)于無荷載的情況，應(yīng)
3、力函數(shù)）結(jié)論：線性函數(shù)對應(yīng)于無荷載的情況，應(yīng)力函數(shù) 的線性項不影響應(yīng)力分布，研究問題時可舍去。的線性項不影響應(yīng)力分布，研究問題時可舍去。（2 2）根據(jù)（）根據(jù)（223223）求出應(yīng)力分量）求出應(yīng)力分量；1.一次函數(shù)一次函數(shù)無體積力，考察其能解決的問題。無體積力，考察其能解決的問題。（1 1）檢查）檢查是否滿足是否滿足能被滿足能被滿足（3 3）考察邊界條件：無體力、無面力，）考察邊界條件：無體力、無面力，2.2.二次函數(shù)二次函數(shù)（4 4）結(jié)論：）結(jié)論：=x x2 2用來解用來解y y向均勻拉伸向均勻拉伸同理可知同理可知 =y y2 2用來解用來解x x向均勻拉伸向均勻拉伸（2 2）根據(jù)（）根據(jù)（
4、223223）求出應(yīng)力分量）求出應(yīng)力分量；能被滿足能被滿足（1 1）檢查）檢查是否滿足是否滿足（3）考察邊界條件：）考察邊界條件：考察其能解決的問題。考察其能解決的問題。（4 4）二次式解決的問題小結(jié)）二次式解決的問題小結(jié)能解決圖（能解決圖（a a）的問題的問題考察其能解決的問題考察其能解決的問題按照以上步驟很容易得到結(jié)果按照以上步驟很容易得到結(jié)果應(yīng)力分量應(yīng)力分量能滿足的邊界條件為能滿足的邊界條件為對于對于xy0（a）2a能解決圖（能解決圖（）的問題的問題能解決圖（能解決圖（）的問題的問題對于對于對于（）xy0（）yx02c三次函數(shù)三次函數(shù)2 2）根據(jù)（）根據(jù)（223223）求出應(yīng)力分量）求出
5、應(yīng)力分量；（體力不計）考察它能解決什么問題（體力不計）考察它能解決什么問題1 1）檢查檢查是否滿足是否滿足帶入計算后可以知道顯然帶入計算后可以知道顯然滿足相容方程滿足相容方程xyL03 3）根據(jù)應(yīng)力邊界條件（）根據(jù)應(yīng)力邊界條件（2-152-15）邊邊確定相對應(yīng)的面確定相對應(yīng)的面力分量。力分量。a a）檢查上、下邊界（主邊界）檢查上、下邊界（主邊界）由：由：說明上、下邊界沒有面力。說明上、下邊界沒有面力。b b）檢查左、右邊界（次邊界）檢查左、右邊界（次邊界）由：由：0 xyL解決矩形截面梁純彎曲問題解決矩形截面梁純彎曲問題3.23.2矩形截面梁的純彎曲矩形截面梁的純彎曲一一.計算模型計算模型矩
6、形截面梁，體力不計矩形截面梁，體力不計 考察兩種情形：考察兩種情形：1 1）寬度遠小于深度）寬度遠小于深度和長度（平面應(yīng)力）和長度（平面應(yīng)力）2 2）寬度遠大于深度）寬度遠大于深度和長度（平面應(yīng)變）和長度（平面應(yīng)變）取單位寬度梁研究：令單位寬度上力偶的矩為取單位寬度梁研究：令單位寬度上力偶的矩為M M注：注：M M的量綱為的量綱為 力力長度長度/長度長度=力力）1yzhM0LLxMy二二.求應(yīng)力求應(yīng)力3 3）根據(jù)（）根據(jù)（223223）求出應(yīng)力分量）求出應(yīng)力分量；1 1）假設(shè)應(yīng)力函數(shù)假設(shè)應(yīng)力函數(shù)；2 2）檢查）檢查是否滿足（是否滿足（2-242-24）容容顯然滿足顯然滿足三三.邊界條件邊界條件
7、檢查所求應(yīng)力分量檢查所求應(yīng)力分量 是否滿足應(yīng)力邊界是否滿足應(yīng)力邊界條件（條件（2-152-15）邊邊。（并求待定常數(shù)）。（并求待定常數(shù)）1）檢查上、下邊界（主邊界）檢查上、下邊界（主邊界）準確滿足準確滿足b）檢查左、右邊界（次邊界）檢查左、右邊界（次邊界）滿足滿足要求當要求當 時時滿足滿足滿足滿足Ly0 xL四四.定常數(shù)定常數(shù)由于法向面力分布規(guī)律未知，根據(jù)圣維南原理，采由于法向面力分布規(guī)律未知，根據(jù)圣維南原理，采用等效代換，做到近似滿足。用等效代換，做到近似滿足。要求當要求當 時時滿足滿足滿足滿足Ly0 xL由第二式解出：由第二式解出：故所求應(yīng)力分量故所求應(yīng)力分量：（31）與材力完全相同與材力
8、完全相同關(guān)于關(guān)于M M的符號規(guī)定：的符號規(guī)定：組成組成M M的應(yīng)力分量隨坐標的增大的應(yīng)力分量隨坐標的增大而增加時，而增加時，M M為為“+”“+”，反之為，反之為“-”“-”隨坐標隨坐標y的的增大而增加增大而增加y分布規(guī)律分布規(guī)律注：注：1）組成梁端力偶的面力必須按線性分布，）組成梁端力偶的面力必須按線性分布，解答（解答（3-1）才是完全精確的。若按其它形）才是完全精確的。若按其它形式分布（式分布（3-1）有誤差。（即解答為圣維南）有誤差。（即解答為圣維南原理意義下的精確解）。原理意義下的精確解）。2 2）由圣維南原理，不同的面力分布形式，）由圣維南原理，不同的面力分布形式，解答只在兩端有誤差
9、。（對于解答只在兩端有誤差。（對于LhLh的梁）的梁）離兩端較遠處，解答是是有實用價值的。離兩端較遠處，解答是是有實用價值的。對于對于L L與與h h尺寸差不多的梁，（尺寸差不多的梁，（3-13-1）則無）則無實用價值（用簡單多項式不能獲得有用實用價值（用簡單多項式不能獲得有用解答）解答）3-3 3-3 純彎曲梁的位移純彎曲梁的位移一.一.求應(yīng)變分量：求應(yīng)變分量：由物理方程由物理方程二二.求位移分量求位移分量：用幾何方程積分用幾何方程積分由由(1)(1)、(2)(2)積分：積分：u u、v v必須滿足必須滿足式式將將u u、v v代入代入改寫為：改寫為：要使上式成立，必有要使上式成立，必有 為
10、常量為常量其中其中u0，v0為常量為常量故：故：其中其中、u0，v0為常數(shù)，須由約束條件求出為常數(shù)，須由約束條件求出討論：討論：1.1.證明平面假設(shè)是正確的證明平面假設(shè)是正確的xy由無論約束情況如何（即無論約束情況如何（即、uo、vo取何值）鉛垂線段的轉(zhuǎn)角取何值）鉛垂線段的轉(zhuǎn)角對于同一截面，對于同一截面，x為常量為常量也為常量，即橫截面保持平面也為常量，即橫截面保持平面2 2、梁的各縱向纖維的曲率、梁的各縱向纖維的曲率由小變形時小變形時與材力結(jié)果一致與材力結(jié)果一致三三.滿足約束條件滿足約束條件1 1）簡支梁）簡支梁按約束確定位移中待定常數(shù)按約束確定位移中待定常數(shù)Lyx代入位移條件后得：代入位移
11、條件后得：位移分量位移分量：梁的撓曲線方程：梁的撓曲線方程：由約束條件由約束條件（33）2 2）懸臂梁）懸臂梁（1 1）假設(shè)右端截面中點）假設(shè)右端截面中點A A無位無位移且過該點的截面法線不轉(zhuǎn)動移且過該點的截面法線不轉(zhuǎn)動xyL在梁右端（在梁右端（x=Lx=L）：）：對于對于y y的任何值的任何值要求要求：無法滿足（多項式解答），在工程實際中難以實現(xiàn)。無法滿足（多項式解答），在工程實際中難以實現(xiàn)。端部兩種約束：設(shè)某一點不移動，某一條線段不轉(zhuǎn)動端部兩種約束：設(shè)某一點不移動，某一條線段不轉(zhuǎn)動。oo1dxxyA以（以（1 1）為例研究）為例研究：代入后代入后：位移分量：位移分量：odyyxA梁軸線的撓度方程：梁軸線的撓度方程：轉(zhuǎn)角方程：轉(zhuǎn)角方程：注：注：1)1)對于平面應(yīng)變問題：對于平面應(yīng)變問題：2)2)若以若以代入，確定為移分量，結(jié)果如何？請同學們代入，確定為移分量，結(jié)果如何？請同學們自己推出。自己推出。作業(yè)：作業(yè)：pp49 3-3pp49 3-3，3-43-4Thank Everybody!
周道祥彈性力學 第三章
