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1、課時跟蹤檢測(三十五)
[高考基礎(chǔ)題型得分練]
1．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且對任意的n∈N*有an＋Sn＝n.
(1)設(shè)bn＝an－1，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
(2)設(shè)c1＝a1且cn＝an－an－1(n≥2)，求{cn}的通項公式．
(1)證明：由a1＋S1＝1及a1＝S1，得a1＝.
又由an＋Sn＝n及an＋1＋Sn＋1＝n＋1，
得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1.
∴2(an＋1－1)＝an－1，即2bn＋1＝bn.
∴數(shù)列{bn}是首項b1＝a1－1＝－，公比為的等比數(shù)列．
(2)解：由(1)知，2an＋1＝an＋1，∴
2、2an＝an－1＋1(n≥2)，
∴2an＋1－2an＝an－an－1(n≥2)，
即2cn＋1＝cn(n≥2)，
又c1＝a1＝，2a2＝a1＋1，∴a2＝.
∴c2＝－＝，即c2＝c1.
∴數(shù)列{cn}是首項為，公比為的等比數(shù)列．
∴cn＝·n－1＝.
2．已知數(shù)列{an}與{bn}，若a1＝3且對任意正整數(shù)n滿足an＋1－an＝2，數(shù)列{bn}的前n項和Sn＝n2＋an.
(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和Tn.
解：(1)因為對任意正整數(shù)n滿足an＋1－an＝2，
所以{an}是公差為2的等差數(shù)列．
又因為a1＝3，所以an＝2n
3、＋1.
當n＝1時，b1＝S1＝4；
當n≥2時，bn＝Sn－Sn－1＝(n2＋2n＋1)－[(n－1)2＋2(n－1)＋1]＝2n＋1，對b1＝4不成立．
所以數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝
(2)由(1)知，當n＝1時，T1＝＝.
當n≥2時，＝
＝，
所以Tn＝＋
＝＋＝＋.
當n＝1時仍成立，
所以Tn＝＋.
3．[2017·山東青島模擬]已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn為{an}的前n項和，且a10＝28，S8＝92；數(shù)列{bn}對任意n∈N*，總有b1b2b3·…·bn－1bn＝3n＋1成立．
(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
(2)記cn＝，求
4、數(shù)列{cn}的前n項和Tn.
解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
則a10＝a1＋9d＝28，S8＝8a1＋×d＝92，
解得a1＝1，d＝3，所以an＝1＋3(n－1)＝3n－2.
因為b1b2b3·…·bn－1bn＝3n＋1，
所以b1b2b3·…·bn－1＝3n－2(n≥2)，
兩式相除，得bn＝(n≥2)．
因為當n＝1時，b1＝4適合上式，
所以bn＝(n∈N*)．
(2)由(1)知，cn＝＝，
則Tn＝＋＋＋…＋，①
Tn＝＋＋＋…＋＋，②
①－②，得Tn＝2＋－，
從而Tn＝2＋3×－
＝－，即Tn＝7－.
4．數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋
5、1＝2an(n∈N*)，Sn為其前n項和．數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且滿足b1＝a1，b4＝S3.
(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
(2)設(shè)cn＝，數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，求證：≤Tn<.
(1)解：由題意知，{an}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，
∴an＝a1·2n－1＝2n－1.∴Sn＝2n－1.
設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d，
則b1＝a1＝1，b4＝1＋3d＝7，∴d＝2，
∴bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
(2)證明：∵log2a2n＋2＝log222n＋1＝2n＋1，
∴cn＝＝
＝，
∴Tn＝
＝＝.
∵n∈N*，∴Tn<，
當
6、n≥2時，
Tn－Tn－1＝－＝>0，
∴數(shù)列{Tn}是一個遞增數(shù)列，∴Tn≥T1＝.
綜上知，≤Tn<.
[沖刺名校能力提升練]
1．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn＋2an＝3(n∈N*)，設(shè)數(shù)列{bn}滿足b1＝a1，bn＝(n≥2)．
(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
(2)設(shè)cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.
解：(1)∵Sn＋2an＝3(n∈N*)，∴當n≥2時，Sn－1＋2an－1＝3，兩式相減，得3an＝2an－1，即＝.
又當n＝1時，a1＋2a1＝3，∴a1＝1，
∴數(shù)列{an}是首項為1，公比為的等比數(shù)列，
則an＝n－1.
7、
∵當n≥2時，bn＝，
兩邊取倒數(shù)，得＝＋，
∴－＝，b1＝a1＝1，
∴數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列，
則＝1＋(n－1)×＝，
∴bn＝.
(2)由(1)可知，cn＝＝nn－1，
Tn＝1＋2×＋3×2＋4×3＋…＋(n－1)×n－2＋n×n－1，①
Tn＝＋2×2＋3×3＋…＋(n－1)×n－1＋n×n.②
①－②，得－Tn＝1＋＋2＋…＋n－1－n×n＝－2＋(2－n)×n，
∴Tn＝4＋2(n－2)×n.
2．[2017·山東臨沂八校聯(lián)考]已知數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a1＝2，且a2，a4，a8成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
8、
(2)若{bn－(－1)nan}是等比數(shù)列，且b2＝7，b5＝71，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，
因為a1＝2，且a2，a4，a8成等比數(shù)列，
所以(3d＋2)2＝(d＋2)(7d＋2)，解得d＝2，
故an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n.
(2)令cn＝bn－(－1)nan，設(shè)數(shù)列{cn}的公比為q，
因為b2＝7，b5＝71，an＝2n，
所以c2＝b2－a2＝7－4＝3，c5＝b5＋a5＝71＋10＝81，
所以q3＝＝＝27，故q＝3，
所以cn＝c2·qn－2＝3×3n－2＝3n－1，
即bn－(
9、－1)nan＝3n－1，
所以bn＝3n－1＋(－1)n·2n.
故Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(30＋31＋…＋3n－1)＋[－2＋4－6＋…＋(－1)n·2n]．
當n為偶數(shù)時，Tn＝＋2×＝；
當n為奇數(shù)時，Tn＝＋2×－2n＝.
所以Tn＝
3．函數(shù)f(x)對任意x∈R都有f(x)＋f(1－x)＝.
(1)數(shù)列{an}滿足：an＝f(0)＋f＋f＋…＋f＋f(1)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列嗎？若是，給予證明；若不是，請說明理由；
(2)令bn＝，Tn＝b＋b＋b＋…＋b，Sn＝32－，試比較Tn與Sn的大?。?
解：(1)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，證明如下：
令x＝
10、，得f＋f＝，
即f＋f＝.
an＝f(0)＋f＋…＋f＋f(1)，
又an＝f(1)＋f＋…＋f＋f(0)，
兩式相加，得2an＝[f(0)＋f(1)]＋
＋…＋[f(1)＋f(0)]＝.
所以an＝，n∈N*.
又an＋1－an＝－＝，
故數(shù)列{an}是等差數(shù)列．
(2)bn＝＝，
Tn＝b＋b＋…＋b＝16
≤16
＝16
＝16＝32－＝Sn，
所以Tn≤Sn.
4．[2017·江蘇南通模擬]設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝10，an＋1＝9Sn＋10.
(1)求證：{lg an}是等差數(shù)列；
(2)設(shè)Tn是數(shù)列的前n項和，求Tn；
(3)求使
11、Tn>(m2－5m)對所有的n∈N*恒成立的整數(shù)m的取值集合．
(1)證明：依題意，當n＝1時，a2＝9a1＋10＝100，
故＝10.
當n≥2時，an＋1＝9Sn＋10，an＝9Sn－1＋10，
兩式相減，得an＋1－an＝9an，即an＋1＝10an，＝10，
故{an}為等比數(shù)列，且an＝a1qn－1＝10n(n∈N*)，
∴l(xiāng)g an＝n.∴l(xiāng)g an＋1－lg an＝(n＋1)－n＝1，
即{lg an}是等差數(shù)列．
(2)解：由(1)知，
Tn＝3
＝3
＝3－.
(3)解：∵Tn＝3－，
∴當n＝1時，Tn取最小值.
依題意有>(m2－5m)，解得－1
（課標通用）高考數(shù)學一輪復習 課時跟蹤檢測35 理-人教版高三全冊數(shù)學試題
