《(課標(biāo)通用)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時跟蹤檢測35 理-人教版高三全冊數(shù)學(xué)試題》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(課標(biāo)通用)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時跟蹤檢測35 理-人教版高三全冊數(shù)學(xué)試題(7頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、課時跟蹤檢測(三十五)
[高考基礎(chǔ)題型得分練]
1.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且對任意的n∈N*有an+Sn=n.
(1)設(shè)bn=an-1,求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;
(2)設(shè)c1=a1且cn=an-an-1(n≥2),求{cn}的通項(xiàng)公式.
(1)證明:由a1+S1=1及a1=S1,得a1=.
又由an+Sn=n及an+1+Sn+1=n+1,
得an+1-an+an+1=1,∴2an+1=an+1.
∴2(an+1-1)=an-1,即2bn+1=bn.
∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)b1=a1-1=-,公比為的等比數(shù)列.
(2)解:由(1)知,2an+1=an+1,∴
2、2an=an-1+1(n≥2),
∴2an+1-2an=an-an-1(n≥2),
即2cn+1=cn(n≥2),
又c1=a1=,2a2=a1+1,∴a2=.
∴c2=-=,即c2=c1.
∴數(shù)列{cn}是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列.
∴cn=·n-1=.
2.已知數(shù)列{an}與{bn},若a1=3且對任意正整數(shù)n滿足an+1-an=2,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn=n2+an.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.
解:(1)因?yàn)閷θ我庹麛?shù)n滿足an+1-an=2,
所以{an}是公差為2的等差數(shù)列.
又因?yàn)閍1=3,所以an=2n
3、+1.
當(dāng)n=1時,b1=S1=4;
當(dāng)n≥2時,bn=Sn-Sn-1=(n2+2n+1)-[(n-1)2+2(n-1)+1]=2n+1,對b1=4不成立.
所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=
(2)由(1)知,當(dāng)n=1時,T1==.
當(dāng)n≥2時,=
=,
所以Tn=+
=+=+.
當(dāng)n=1時仍成立,
所以Tn=+.
3.[2017·山東青島模擬]已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,Sn為{an}的前n項(xiàng)和,且a10=28,S8=92;數(shù)列{bn}對任意n∈N*,總有b1b2b3·…·bn-1bn=3n+1成立.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)記cn=,求
4、數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.
解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,
則a10=a1+9d=28,S8=8a1+×d=92,
解得a1=1,d=3,所以an=1+3(n-1)=3n-2.
因?yàn)閎1b2b3·…·bn-1bn=3n+1,
所以b1b2b3·…·bn-1=3n-2(n≥2),
兩式相除,得bn=(n≥2).
因?yàn)楫?dāng)n=1時,b1=4適合上式,
所以bn=(n∈N*).
(2)由(1)知,cn==,
則Tn=+++…+,①
Tn=+++…++,②
①-②,得Tn=2+-,
從而Tn=2+3×-
=-,即Tn=7-.
4.?dāng)?shù)列{an}滿足a1=1,an+
5、1=2an(n∈N*),Sn為其前n項(xiàng)和.?dāng)?shù)列{bn}為等差數(shù)列,且滿足b1=a1,b4=S3.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)cn=,數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn,求證:≤Tn<.
(1)解:由題意知,{an}是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列,
∴an=a1·2n-1=2n-1.∴Sn=2n-1.
設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d,
則b1=a1=1,b4=1+3d=7,∴d=2,
∴bn=1+(n-1)×2=2n-1.
(2)證明:∵log2a2n+2=log222n+1=2n+1,
∴cn==
=,
∴Tn=
==.
∵n∈N*,∴Tn<,
當(dāng)
6、n≥2時,
Tn-Tn-1=-=>0,
∴數(shù)列{Tn}是一個遞增數(shù)列,∴Tn≥T1=.
綜上知,≤Tn<.
[沖刺名校能力提升練]
1.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足Sn+2an=3(n∈N*),設(shè)數(shù)列{bn}滿足b1=a1,bn=(n≥2).
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)cn=,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.
解:(1)∵Sn+2an=3(n∈N*),∴當(dāng)n≥2時,Sn-1+2an-1=3,兩式相減,得3an=2an-1,即=.
又當(dāng)n=1時,a1+2a1=3,∴a1=1,
∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列,
則an=n-1.
7、
∵當(dāng)n≥2時,bn=,
兩邊取倒數(shù),得=+,
∴-=,b1=a1=1,
∴數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為的等差數(shù)列,
則=1+(n-1)×=,
∴bn=.
(2)由(1)可知,cn==nn-1,
Tn=1+2×+3×2+4×3+…+(n-1)×n-2+n×n-1,①
Tn=+2×2+3×3+…+(n-1)×n-1+n×n.②
①-②,得-Tn=1++2+…+n-1-n×n=-2+(2-n)×n,
∴Tn=4+2(n-2)×n.
2.[2017·山東臨沂八校聯(lián)考]已知數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列,a1=2,且a2,a4,a8成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
8、
(2)若{bn-(-1)nan}是等比數(shù)列,且b2=7,b5=71,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
解:(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d(d≠0),
因?yàn)閍1=2,且a2,a4,a8成等比數(shù)列,
所以(3d+2)2=(d+2)(7d+2),解得d=2,
故an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n.
(2)令cn=bn-(-1)nan,設(shè)數(shù)列{cn}的公比為q,
因?yàn)閎2=7,b5=71,an=2n,
所以c2=b2-a2=7-4=3,c5=b5+a5=71+10=81,
所以q3===27,故q=3,
所以cn=c2·qn-2=3×3n-2=3n-1,
即bn-(
9、-1)nan=3n-1,
所以bn=3n-1+(-1)n·2n.
故Tn=b1+b2+b3+…+bn=(30+31+…+3n-1)+[-2+4-6+…+(-1)n·2n].
當(dāng)n為偶數(shù)時,Tn=+2×=;
當(dāng)n為奇數(shù)時,Tn=+2×-2n=.
所以Tn=
3.函數(shù)f(x)對任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=.
(1)數(shù)列{an}滿足:an=f(0)+f+f+…+f+f(1),數(shù)列{an}是等差數(shù)列嗎?若是,給予證明;若不是,請說明理由;
(2)令bn=,Tn=b+b+b+…+b,Sn=32-,試比較Tn與Sn的大?。?
解:(1)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,證明如下:
令x=
10、,得f+f=,
即f+f=.
an=f(0)+f+…+f+f(1),
又an=f(1)+f+…+f+f(0),
兩式相加,得2an=[f(0)+f(1)]+
+…+[f(1)+f(0)]=.
所以an=,n∈N*.
又an+1-an=-=,
故數(shù)列{an}是等差數(shù)列.
(2)bn==,
Tn=b+b+…+b=16
≤16
=16
=16=32-=Sn,
所以Tn≤Sn.
4.[2017·江蘇南通模擬]設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=10,an+1=9Sn+10.
(1)求證:{lg an}是等差數(shù)列;
(2)設(shè)Tn是數(shù)列的前n項(xiàng)和,求Tn;
(3)求使
11、Tn>(m2-5m)對所有的n∈N*恒成立的整數(shù)m的取值集合.
(1)證明:依題意,當(dāng)n=1時,a2=9a1+10=100,
故=10.
當(dāng)n≥2時,an+1=9Sn+10,an=9Sn-1+10,
兩式相減,得an+1-an=9an,即an+1=10an,=10,
故{an}為等比數(shù)列,且an=a1qn-1=10n(n∈N*),
∴l(xiāng)g an=n.∴l(xiāng)g an+1-lg an=(n+1)-n=1,
即{lg an}是等差數(shù)列.
(2)解:由(1)知,
Tn=3
=3
=3-.
(3)解:∵Tn=3-,
∴當(dāng)n=1時,Tn取最小值.
依題意有>(m2-5m),解得-1