2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

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1、2021年高考全國(guó)統(tǒng)一考試（文科數(shù)學(xué)） 一、選擇題:本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1. 已知全集，集合，則（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先進(jìn)行并集運(yùn)算，然后進(jìn)行補(bǔ)集運(yùn)算即可. 【詳解】由題意可得：，則. 故選：A. 2. 設(shè)，則（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可求得z的值. 【詳解】由題意可得：. 故選：C. 3. 已知命題﹔命題﹐，則下列命題中為真命題的是（ ） A. B.

2、 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦函數(shù)的有界性確定命題的真假性，由指數(shù)函數(shù)的知識(shí)確定命題的真假性，由此確定正確選項(xiàng). 【詳解】由于，所以命題為真命題； 由于在上為增函數(shù)，，所以，所以命題為真命題； 所以為真命題，、、為假命題. 故選：A． 4. 函數(shù)的最小正周期和最大值分別是（ ） A. 和 B. 和2 C. 和 D. 和2 【答案】C 【解析】 【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)周期性和值域求得函數(shù)的最小正周期和最大值. 【詳解】由題，，所以的最小正周期為，最大值為. 故選：C． 5. 若滿足約束條件則的最小值為（ ）

3、A. 18 B. 10 C. 6 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由題意作出可行域，變換目標(biāo)函數(shù)為，數(shù)形結(jié)合即可得解. 詳解】由題意，作出可行域，如圖陰影部分所示， 由可得點(diǎn), 轉(zhuǎn)換目標(biāo)函數(shù)為， 上下平移直線，數(shù)形結(jié)合可得當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí),取最小值， 此時(shí). 故選：C. 6. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由題意結(jié)合誘導(dǎo)公式可得，再由二倍角公式即可得解. 【詳解】由題意， . 故選：D. 7. 在區(qū)間隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則取到的數(shù)小于的概率為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析

4、】 【分析】根據(jù)幾何概型的概率公式即可求出. 【詳解】設(shè)“區(qū)間隨機(jī)取1個(gè)數(shù)”，對(duì)應(yīng)集合為： ，區(qū)間長(zhǎng)度為， “取到的數(shù)小于”， 對(duì)應(yīng)集合為：，區(qū)間長(zhǎng)度為， 所以． 故選：B． 8. 下列函數(shù)中最小值為4的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合題意，符合題意． 【詳解】對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為，A不符合題意； 對(duì)于B，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，等號(hào)取不到，所以其最小值不為，B不符合題意； 對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，而，，?dāng)

5、且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為，C符合題意； 對(duì)于D，，函數(shù)定義域?yàn)?，而且，如?dāng)，，D不符合題意． 故選：C． 9. 設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分別求出選項(xiàng)的函數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的定義即可. 【詳解】由題意可得， 對(duì)于A，不是奇函數(shù)； 對(duì)于B，是奇函數(shù)； 對(duì)于C，，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù)； 對(duì)于D，，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù). 故選：B 10. 在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】

6、 【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可. 【詳解】 如圖，連接，因?yàn)椤危? 所以或其補(bǔ)角為直線與所成的角， 因?yàn)槠矫?，所以，又，? 所以平面，所以， 設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則， ，所以. 故選：D 11. 設(shè)B是橢圓上頂點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，則的最大值為（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】設(shè)點(diǎn)，由依題意可知，，，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得到，然后消元，即可利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值． 【詳解】設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，，所? ， 而，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為． 故選：A． 12. 設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則（

7、） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先考慮函數(shù)的零點(diǎn)情況，注意零點(diǎn)左右附近函數(shù)值是否編號(hào)，結(jié)合極大值點(diǎn)的性質(zhì)，對(duì)進(jìn)行分類討論，畫出圖象，即可得到所滿足的關(guān)系，由此確定正確選項(xiàng). 【詳解】若，則為單調(diào)函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn)，不符合題意，故. 有和兩個(gè)不同零點(diǎn)，且在左右附近是不變號(hào)，在左右附近是變號(hào)的.依題意，為函數(shù)的極大值點(diǎn)，在左右附近都是小于零的. 當(dāng)時(shí)，由，，畫出的圖象如下圖所示： 由圖可知，，故. 當(dāng)時(shí)，由時(shí)，，畫出的圖象如下圖所示： 由圖可知，，故. 綜上所述，成立. 故選：D 【點(diǎn)睛】本小題主要考查三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)

8、合的數(shù)學(xué)思想方法可以快速解答. 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分． 13. 已知向量，若，則_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量平行充分必要條件得到關(guān)于的方程，解方程即可求得實(shí)數(shù)的值. 【詳解】由題意結(jié)合向量平行的充分必要條件可得：， 解方程可得：. 故答案為：. 14. 雙曲線右焦點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)_______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出右焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求解. 【詳解】由已知，，所以雙曲線的右焦點(diǎn)為， 所以右焦點(diǎn)到直線的距離為. 故答案為： 15. 記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面

9、積為，，，則________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形面積公式可得，再結(jié)合余弦定理即可得解. 【詳解】由題意，， 所以， 所以，解得（負(fù)值舍去）. 故答案為：. 16. 以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個(gè)三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為_(kāi)________（寫出符合要求的一組答案即可）． 【答案】③④（答案不唯一） 【解析】 【分析】由題意結(jié)合所給圖形確定一組三視圖的組合即可. 【詳解】選擇側(cè)視圖為③，俯視圖為④， 如圖所示，長(zhǎng)方體中，， 分別為棱的中點(diǎn)， 則正視圖①，側(cè)視圖③，俯視圖④對(duì)應(yīng)的幾

10、何體為三棱錐. 故答案為：③④. 三、解答題．共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟，第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答． （一）必考題：共60分． 17. 某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無(wú)提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下： 舊設(shè)備 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新設(shè)備 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 1

11、0.5 10.4 10.5 舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和． （1）求，，，； （2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）． 【答案】（1）；（2）新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高. 【解析】 【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算方法，計(jì)算出平均數(shù)和方差. （2）根據(jù)題目所給判斷依據(jù)，結(jié)合（1）的結(jié)論進(jìn)行判斷. 【詳解】（1）， ， ， . （2）依題意，，， ，所以新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊

12、設(shè)備有顯著提高. 18. 如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點(diǎn)，且． （1）證明：平面平面； （2）若，求四棱錐的體積． 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）由底面可得，又，由線面垂直的判定定理可得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證出平面平面； （2）由（1）可知，，由平面知識(shí)可知，，由相似比可求出，再根據(jù)四棱錐的體積公式即可求出． 【詳解】（1）因?yàn)榈酌妫矫妫? 所以， 又，， 所以平面， 而平面， 所以平面平面． （2）由（1）可知，平面，所以， 從而，設(shè)，， 則，即，解得，所以． 因?yàn)榈酌妫? 故四棱錐的體積為． 1

13、9. 設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列． （1）求和的通項(xiàng)公式； （2）記和分別為和的前n項(xiàng)和．證明：． 【答案】（1），；（2）證明見(jiàn)解析. 【解析】 【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)及得到，解方程即可； 利用公式法、錯(cuò)位相減法分別求出，再作差比較即可. 【詳解】因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列， 所以，所以， 即，解得，所以， 所以. （2）證明：由（1）可得， ，① ，② ①②得 ， 所以， 所以， 所以. 20. 已知拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2． （1）求C的方程; （2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q滿足，求直線斜

14、率的最大值. 【答案】（1）；（2）最大值為. 【解析】 【分析】（1）由拋物線焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離即可得解； （2）設(shè)，由平面向量的知識(shí)可得，進(jìn)而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解. 【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為， 由題意，該拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為， 所以該拋物線的方程為； （2）設(shè)，則， 所以， 由在拋物線上可得，即， 所以直線的斜率， 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋? 此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立； 當(dāng)時(shí)，； 綜上，直線的斜率的最大值為. 21. 已知函數(shù)． （1）討論的單調(diào)性； （2）求曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線的公共點(diǎn)的坐標(biāo)．

15、【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2) 和. 【解析】 【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可確定原函數(shù)的單調(diào)性； (2)首先求得導(dǎo)數(shù)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程，然后將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程求解的問(wèn)題，據(jù)此即可求得公共點(diǎn)坐標(biāo). 【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：， 導(dǎo)函數(shù)的判別式， 當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增， 當(dāng)時(shí)，的解為：， 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增； 綜上可得：當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增， 當(dāng)時(shí)，在，上 單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. (2)由題意可得：，， 則切線方程為：， 切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則：, 整理可得：，即：， 解得：，

16、則， 切線方程為：, 與聯(lián)立得， 化簡(jiǎn)得,由于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)1必然是該方程的一個(gè)根，是的一個(gè)因式，∴該方程可以分解因式為 解得, ， 綜上，曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為和. （二）選考題:共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做．則按所做的第一題計(jì)分． [選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 22. 在直角坐標(biāo)系中，的圓心為，半徑為1． （1）寫出的一個(gè)參數(shù)方程; （2）過(guò)點(diǎn)作的兩條切線．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求這兩條切線的極坐標(biāo)方程． 【答案】（1），（為參數(shù)）；（2）或. 【解析】 【分析】（1）直接利用圓心及半徑

17、可得的圓的參數(shù)方程； （2）先求得過(guò)（4，1）的圓的切線方程，再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式化簡(jiǎn)即可. 【詳解】（1）由題意，的普通方程為， 所以的參數(shù)方程為，（為參數(shù)） （2）由題意，切線的斜率一定存在，設(shè)切線方程為，即， 由圓心到直線的距離等于1可得， 解得，所以切線方程為或， 將，代入化簡(jiǎn)得 或 [選修4—5:不等式選講] 23. 已知函數(shù)． （1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集; （2）若，求a的取值范圍． 【答案】（1）.（2）. 【解析】 【分析】（1）利用絕對(duì)值的幾何意義求得不等式的解集. （2）利用絕對(duì)值不等式化簡(jiǎn)，由此求得的取值范圍. 【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，表示數(shù)軸上的點(diǎn)到和的距離之和， 則表示數(shù)軸上的點(diǎn)到和的距離之和不小于， 當(dāng)或時(shí)所對(duì)應(yīng)的數(shù)軸上的點(diǎn)到所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)距離之和等于6， ∴數(shù)軸上到所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)距離之和等于大于等于6得到所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)的范圍是或， 所以的解集為. （2）依題意，即恒成立， ， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，, 故， 所以或， 解得. 所以的取值范圍是.