高考數(shù)學(xué) 考前3個月知識方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識方法篇 專題5 數(shù)列、推理與證明 第21練 基本量法——破解等差、等比數(shù)列的法寶 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

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1、第21練 基本量法——破解等差、等比數(shù)列的法寶 [題型分析·高考展望] 等差數(shù)列、等比數(shù)列是高考的必考點(diǎn),經(jīng)常以一個選擇題或一個填空題,再加一個解答題的形式考查,題目難度可大可小,有時為中檔題,有時解答題難度較大.解決這類問題的關(guān)鍵是熟練掌握基本量,即通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及等差、等比數(shù)列的常用性質(zhì). 體驗(yàn)高考 1.(2016·課標(biāo)全國乙)已知等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為27,a10=8,則a100等于(  ) A.100 B.99 C.98 D.97 答案 C 解析 由等差數(shù)列性質(zhì),知S9===9a5=27,得a5=3,而a10=8,因此公差d==1, ∴a100=a

2、10+90d=98,故選C. 2.(2015·福建)若a,b是函數(shù)f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的兩個不同的零點(diǎn),且a,b,-2這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列,也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列,則p+q的值等于(  ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案 D 解析 由題意知:a+b=p,ab=q,∵p>0,q>0,∴a>0,b>0.在a,b,-2這三個數(shù)的6種排序中,成等差數(shù)列的情況有a,b,-2;b,a,-2;-2,a,b;-2,b,a;成等比數(shù)列的情況有a,-2,b;b,-2,a. ∴或解得或 ∴p=5,q=4,∴p+q=9,故選D. 3.(2016·北京)已

3、知{an}為等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和.若a1=6,a3+a5=0,則S6=________. 答案 6 解析 ∵a3+a5=2a4=0,∴a4=0. 又a1=6,∴a4=a1+3d=0,∴d=-2. ∴S6=6×6+×(-2)=6. 4.(2015·安徽)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,a1+a4=9,a2a3=8,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和等于________. 答案 2n-1 解析 由等比數(shù)列的性質(zhì)知a2a3=a1a4,又a2a3=8, a1+a4=9,∴聯(lián)立方程 解得或 又?jǐn)?shù)列{an}為遞增數(shù)列, ∴a1=1,a4=8, 從而a1q3=8,∴q=2. ∴數(shù)列{

4、an}的前n項(xiàng)和為Sn==2n-1. 5.(2016·課標(biāo)全國乙)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2…an的最大值為__________. 答案 64 解析 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q, ∴ 即解得 ∴a1a2…an=(-3)+(-2)+…+(n-4) =n(n-7)=, 當(dāng)n=3或4時,取到最小值-6, 此時取到最大值26, ∴a1a2…an的最大值為64. 高考必會題型 題型一 等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算 例1 已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a3=11,S3=24. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)bn=,求

5、數(shù)列{bn}中的最小的項(xiàng). 解 (1)∵a3=a1+2d,S3=3a1+d=3a1+3d, ∴? ∴an=5+(n-1)×3=3n+2. (2)bn== =n++≥2 +=. 當(dāng)且僅當(dāng)n=,即n=2時,bn取得最小值, ∴數(shù)列{bn}中的最小的項(xiàng)為. 點(diǎn)評 等差(比)數(shù)列基本運(yùn)算的關(guān)注點(diǎn) (1)基本量:在等差(比)數(shù)列中,首項(xiàng)a1和公差d(公比q)是兩個基本的元素. (2)解題思路:①設(shè)基本量a1和公差d(公比q); ②列、解方程(組):把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d(q)的方程(組),然后求解,注意整體計(jì)算,以減少計(jì)算量. 變式訓(xùn)練1 (1)等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn,

6、已知S1,2S2,3S3成等差數(shù)列,則數(shù)列{an}的公比為________. (2)(2015·課標(biāo)全國Ⅱ)已知等比數(shù)列{an}滿足a1=3,a1+a3+a5=21,則a3+a5+a7等于(  ) A.21 B.42 C.63 D.84 答案 (1) (2)B 解析 (1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則當(dāng)q=1時, S1=a1,2S2=4a1,3S3=9a1,S1,2S2,3S3不成等差數(shù)列; 當(dāng)q≠1時,∵S1,2S2,3S3成等差數(shù)列, ∴4S2=S1+3S3,即4×=a1+3×, 即3q2-4q+1=0,∴q=1(舍)或q=. (2)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q

7、,則由a1=3,a1+a3+a5=21,得3(1+q2+q4)=21,解得q2=-3(舍去)或q2=2,于是a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=2×21=42,故選B. 題型二 等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 例2 (1)(2015·廣東)在等差數(shù)列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,則a2+a8=________. (2)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若27a3-a6=0,則=________. 答案 (1)10 (2)28 解析 (1)因?yàn)閧an}是等差數(shù)列,所以a3+a7=a4+a6=a2+a8=2a5,a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,即

8、a5=5,a2+a8=2a5=10. (2)由題可知{an}為等比數(shù)列,設(shè)首項(xiàng)為a1,公比為q,所以a3=a1q2,a6=a1q5, 所以27a1q2=a1q5,所以q=3, 由Sn=,得S6=,S3=, 所以=·=28. 點(diǎn)評 等差(比)數(shù)列的性質(zhì)盤點(diǎn) 類型 等差數(shù)列 等比數(shù)列 項(xiàng)的 性質(zhì) 2ak=am+al(m,k,l∈N*,且m,k,l成等差數(shù)列) a=am·al(m,k,l∈N*,且m,k,l成等差數(shù)列) am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q) am·an=ap·aq(m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q) 和的 性質(zhì) 當(dāng)n

9、為奇數(shù)時:Sn=na 當(dāng)n為偶數(shù)時:=q(公比) 依次每k項(xiàng)的和:Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…構(gòu)成等差數(shù)列 依次每k項(xiàng)的和:Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…構(gòu)成等比數(shù)列(k不為偶數(shù)且公比q≠-1) 變式訓(xùn)練2 (1){an}為等差數(shù)列,若<-1,且它的前n項(xiàng)和Sn有最大值,那么當(dāng)Sn取得最小正值時,n等于(  ) A.11 B.17 C.19 D.21 (2)在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中,3a1,a3,2a2成等差數(shù)列,則等于(  ) A.3或-1 B.9或1 C.1 D.9 答案 (1)C (2)D 解析 (1)∵Sn有最大值,∴d<0,

10、又<-1,∴a11<00,∴S19為最小正值. (2)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q(q>0),依題意,a3=3a1+2a2, ∴a1q2=3a1+2a1q,整理得:q2-2q-3=0, 解得q=3或q=-1(舍), ∴==q2=9. 題型三 等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用 例3 已知等比數(shù)列{an}中,首項(xiàng)a1=3,公比q>1,且3(an+2+an)-10an+1=0(n∈N*). (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè){bn+an}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,求

11、數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和Sn. 解 (1)∵3(an+2+an)-10an+1=0, ∴3(anq2+an)-10anq=0, 即3q2-10q+3=0, ∵公比q>1,∴q=3. 又∵首項(xiàng)a1=3,∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n. (2)∵{bn+an}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列, ∴bn+an=1+2(n-1), 即數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=2n-1-3n-1. 前n項(xiàng)和Sn=-(1+3+32+…+3n-1)+[1+3+…+(2n-1)]=-(3n-1)+n2. 點(diǎn)評 (1)對數(shù)列{an},首先弄清是等差還是等比,然后利用相應(yīng)的公式列方程組求相關(guān)基

12、本量,從而確定an、Sn. (2)熟練掌握并能靈活應(yīng)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì),也是解決此類題目的主要方法. 變式訓(xùn)練3 (2015·北京)已知等差數(shù)列{an}滿足a1+a2=10,a4-a3=2. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)等比數(shù)列{bn}滿足b2=a3,b3=a7,問:b6與數(shù)列{an}的第幾項(xiàng)相等? 解 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d. 因?yàn)閍4-a3=2,所以d=2. 又因?yàn)閍1+a2=10,所以2a1+d=10,故a1=4. 所以an=4+2(n-1)=2n+2(n=1,2,…). (2)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q. 因?yàn)閎2=a3=8,b3=a7=

13、16, 所以q=2,b1=4. 所以b6=4×26-1=128. 由128=2n+2,得n=63, 所以b6與數(shù)列{an}的第63項(xiàng)相等. 高考題型精練 1.設(shè){an}是首項(xiàng)為a1,公差為-1的等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和.若S1,S2,S4成等比數(shù)列,則a1等于(  ) A.2 B.-2 C. D.- 答案 D 解析 因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=na1+d,所以S1,S2,S4分別為a1,2a1-1,4a1-6. 因?yàn)镾1,S2,S4成等比數(shù)列,所以(2a1-1)2=a1·(4a1-6).解得a1=-. 2.已知無窮等差數(shù)列{an},前n項(xiàng)和Sn中,S6<

14、S7,且S7>S8,則(  ) A.在數(shù)列{an}中a7最大 B.在數(shù)列{an}中,a3或a4最大 C.前三項(xiàng)之和S3必與前10項(xiàng)之和S10相等 D.當(dāng)n≥8時,an<0 答案 D 解析 由于S6S8, 所以S7-S6=a7>0,S8-S7=a8<0, 所以數(shù)列{an}是遞減的等差數(shù)列,最大項(xiàng)為a1, 所以A,B均錯,D正確. S10-S3=a4+a5+…+a10=7a7>0, 故C錯誤. 3.已知{an}為等差數(shù)列,其公差為-2,且a7是a3與a9的等比中項(xiàng),Sn為{an}的前n項(xiàng)和,n∈N*,則S10的值為(  ) A.-110 B.-90 C.

15、90 D.110 答案 D 解析 ∵a3=a1+2d=a1-4,a7=a1+6d=a1-12, a9=a1+8d=a1-16, 又∵a7是a3與a9的等比中項(xiàng), ∴(a1-12)2=(a1-4)·(a1-16), 解得a1=20.∴S10=10×20+×10×9×(-2)=110. 4.(2016·哈爾濱六中期中)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且S6>S7>S5,給出下列五個命題:①d<0;②S11>0;③使Sn>0的最大n值為12;④數(shù)列{Sn}中的最大項(xiàng)為S11;⑤|a6|>|a7|,其中正確命題的個數(shù)是(  ) A.5 B.4 C.3 D.1 答案 B

16、 解析 ∵S6>S7>S5,∴a7<0,a6>0,a6+a7>0, 因此|a6|>|a7|;d=a7-a6<0; S11==11a6>0; S12==6(a6+a7)>0, 而S13=13a7<0, 因此滿足Sn>0的最大n值為12; 由于a7<0,a6>0,數(shù)列{Sn}中的最大項(xiàng)為S6, ∴④錯,①②③⑤正確,故選B. 5.在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中,a1=1,前n項(xiàng)和為Sn,且-a3,a2,a4成等差數(shù)列,則S7的值為(  ) A.125 B.126 C.127 D.128 答案 C 解析 設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0), 且a1=1,由-a3,a2

17、,a4成等差數(shù)列,得2a2=a4-a3, 即2a1q=a1q3-a1q2. 因?yàn)閝>0,所以q2-q-2=0. 解得q=-1(舍)或q=2. 則S7===127. 6.已知兩個等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別為An和Bn,且=,則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是(  ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 D 解析 由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及等差中項(xiàng), 可得= == == ==7+ (n∈N*), 故當(dāng)n=1,2,3,5,11時,為整數(shù). 即正整數(shù)n的個數(shù)是5. 7.(2016·江蘇)已知{an}是等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和.若a1+a=-3,S5=1

18、0,則a9的值是________. 答案 20 解析 設(shè)等差數(shù)列{an}公差為d,由題意可得: 解得 則a9=a1+8d=-4+8×3=20. 8.已知{an}為等差數(shù)列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示{an}的前n項(xiàng)和,則使得Sn達(dá)到最大值的n是________. 答案 20 解析 等差數(shù)列{an}的公差為d,則 即∴ ∴Sn=39n+×(-2)=-n2+40n =-(n-20)2+400, 當(dāng)n=20時,Sn取得最大值. 9.公差不為0的等差數(shù)列{an}的部分項(xiàng)…構(gòu)成等比數(shù)列,且k1=1,k2=2,k3=6,則k4=________.

19、 答案 22 解析 根據(jù)題意可知等差數(shù)列的a1,a2,a6項(xiàng)成等比數(shù)列,設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則有(a1+d)2=a1(a1+5d),解得d=3a1,故a2=4a1,a6=16a1?=a1+(n-1)·(3a1)=64a1,解得n=22,即k4=22. 10.若數(shù)列{an}對任意的正整數(shù)n和m等式a=an×an+2m都成立,則稱數(shù)列{an}為m階梯等比數(shù)列.若{an}是3階梯等比數(shù)列有a1=1,a4=2,則a10=________. 答案 8 解析 由題意有,當(dāng){an}是3階梯等比數(shù)列,a=anan+6,a=a1a7,所以a7=4, 由a=a4a10,有a10==8. 11.(20

20、16·北京)已知{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)cn=an+bn,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和. 解 (1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,{bn}的公比為q, 由得 ∴{bn}的通項(xiàng)公式bn=b1qn-1=3n-1, 又a1=b1=1,a14=b4=34-1=27, ∴1+(14-1)d=27,解得d=2. ∴{an}的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1(n=1,2,3,…). (2)設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn. ∵cn=an+bn=2n-1+3n-1,

21、 ∴Sn=c1+c2+c3+…+cn =2×1-1+30+2×2-1+31+2×3-1+32+…+2n-1+3n-1=2(1+2+…+n)-n+ =2×-n+ =n2+. 即數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為n2+. 12.在等差數(shù)列{an}中,a2+a7=-23,a3+a8=-29. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)數(shù)列{an+bn}是首項(xiàng)為1,公比為q的等比數(shù)列,求{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 解 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差是d, ∵a3+a8-(a2+a7)=2d=-6, ∴d=-3. ∴a2+a7=2a1+7d=-23,解得a1=-1. ∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=-3n+2. (2)∵數(shù)列{an+bn}是首項(xiàng)為1,公比為q的等比數(shù)列, ∴an+bn=qn-1,即-3n+2+bn=qn-1, ∴bn=3n-2+qn-1. ∴Sn=[1+4+7+…+(3n-2)]+(1+q+q2+…+qn-1) =+(1+q+q2+…+qn-1), 故當(dāng)q=1時,Sn=+n=; 當(dāng)q≠1時,Sn=+.

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