《高考數(shù)學 考前3個月知識方法專題訓練 第一部分 知識方法篇 專題5 數(shù)列、推理與證明 第21練 基本量法——破解等差、等比數(shù)列的法寶 文-人教版高三數(shù)學試題》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學 考前3個月知識方法專題訓練 第一部分 知識方法篇 專題5 數(shù)列、推理與證明 第21練 基本量法——破解等差、等比數(shù)列的法寶 文-人教版高三數(shù)學試題(10頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第21練 基本量法——破解等差、等比數(shù)列的法寶
[題型分析·高考展望] 等差數(shù)列、等比數(shù)列是高考的必考點,經(jīng)常以一個選擇題或一個填空題,再加一個解答題的形式考查,題目難度可大可小,有時為中檔題,有時解答題難度較大.解決這類問題的關(guān)鍵是熟練掌握基本量,即通項公式、前n項和公式及等差、等比數(shù)列的常用性質(zhì).
體驗高考
1.(2016·課標全國乙)已知等差數(shù)列{an}前9項的和為27,a10=8,則a100等于( )
A.100 B.99
C.98 D.97
答案 C
解析 由等差數(shù)列性質(zhì),知S9===9a5=27,得a5=3,而a10=8,因此公差d==1,
∴a100=a
2、10+90d=98,故選C.
2.(2015·福建)若a,b是函數(shù)f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的兩個不同的零點,且a,b,-2這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列,也可適當排序后成等比數(shù)列,則p+q的值等于( )
A.6 B.7
C.8 D.9
答案 D
解析 由題意知:a+b=p,ab=q,∵p>0,q>0,∴a>0,b>0.在a,b,-2這三個數(shù)的6種排序中,成等差數(shù)列的情況有a,b,-2;b,a,-2;-2,a,b;-2,b,a;成等比數(shù)列的情況有a,-2,b;b,-2,a.
∴或解得或
∴p=5,q=4,∴p+q=9,故選D.
3.(2016·北京)已
3、知{an}為等差數(shù)列,Sn為其前n項和.若a1=6,a3+a5=0,則S6=________.
答案 6
解析 ∵a3+a5=2a4=0,∴a4=0.
又a1=6,∴a4=a1+3d=0,∴d=-2.
∴S6=6×6+×(-2)=6.
4.(2015·安徽)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,a1+a4=9,a2a3=8,則數(shù)列{an}的前n項和等于________.
答案 2n-1
解析 由等比數(shù)列的性質(zhì)知a2a3=a1a4,又a2a3=8,
a1+a4=9,∴聯(lián)立方程
解得或
又數(shù)列{an}為遞增數(shù)列,
∴a1=1,a4=8,
從而a1q3=8,∴q=2.
∴數(shù)列{
4、an}的前n項和為Sn==2n-1.
5.(2016·課標全國乙)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2…an的最大值為__________.
答案 64
解析 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,
∴
即解得
∴a1a2…an=(-3)+(-2)+…+(n-4)
=n(n-7)=,
當n=3或4時,取到最小值-6,
此時取到最大值26,
∴a1a2…an的最大值為64.
高考必會題型
題型一 等差、等比數(shù)列的基本運算
例1 已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a3=11,S3=24.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=,求
5、數(shù)列{bn}中的最小的項.
解 (1)∵a3=a1+2d,S3=3a1+d=3a1+3d,
∴?
∴an=5+(n-1)×3=3n+2.
(2)bn==
=n++≥2 +=.
當且僅當n=,即n=2時,bn取得最小值,
∴數(shù)列{bn}中的最小的項為.
點評 等差(比)數(shù)列基本運算的關(guān)注點
(1)基本量:在等差(比)數(shù)列中,首項a1和公差d(公比q)是兩個基本的元素.
(2)解題思路:①設(shè)基本量a1和公差d(公比q);
②列、解方程(組):把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d(q)的方程(組),然后求解,注意整體計算,以減少計算量.
變式訓練1 (1)等比數(shù)列{an}前n項和為Sn,
6、已知S1,2S2,3S3成等差數(shù)列,則數(shù)列{an}的公比為________.
(2)(2015·課標全國Ⅱ)已知等比數(shù)列{an}滿足a1=3,a1+a3+a5=21,則a3+a5+a7等于( )
A.21 B.42 C.63 D.84
答案 (1) (2)B
解析 (1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則當q=1時,
S1=a1,2S2=4a1,3S3=9a1,S1,2S2,3S3不成等差數(shù)列;
當q≠1時,∵S1,2S2,3S3成等差數(shù)列,
∴4S2=S1+3S3,即4×=a1+3×,
即3q2-4q+1=0,∴q=1(舍)或q=.
(2)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q
7、,則由a1=3,a1+a3+a5=21,得3(1+q2+q4)=21,解得q2=-3(舍去)或q2=2,于是a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=2×21=42,故選B.
題型二 等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及應用
例2 (1)(2015·廣東)在等差數(shù)列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,則a2+a8=________.
(2)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若27a3-a6=0,則=________.
答案 (1)10 (2)28
解析 (1)因為{an}是等差數(shù)列,所以a3+a7=a4+a6=a2+a8=2a5,a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,即
8、a5=5,a2+a8=2a5=10.
(2)由題可知{an}為等比數(shù)列,設(shè)首項為a1,公比為q,所以a3=a1q2,a6=a1q5,
所以27a1q2=a1q5,所以q=3,
由Sn=,得S6=,S3=,
所以=·=28.
點評 等差(比)數(shù)列的性質(zhì)盤點
類型
等差數(shù)列
等比數(shù)列
項的
性質(zhì)
2ak=am+al(m,k,l∈N*,且m,k,l成等差數(shù)列)
a=am·al(m,k,l∈N*,且m,k,l成等差數(shù)列)
am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q)
am·an=ap·aq(m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q)
和的
性質(zhì)
當n
9、為奇數(shù)時:Sn=na
當n為偶數(shù)時:=q(公比)
依次每k項的和:Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…構(gòu)成等差數(shù)列
依次每k項的和:Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…構(gòu)成等比數(shù)列(k不為偶數(shù)且公比q≠-1)
變式訓練2 (1){an}為等差數(shù)列,若<-1,且它的前n項和Sn有最大值,那么當Sn取得最小正值時,n等于( )
A.11 B.17 C.19 D.21
(2)在正項等比數(shù)列{an}中,3a1,a3,2a2成等差數(shù)列,則等于( )
A.3或-1 B.9或1
C.1 D.9
答案 (1)C (2)D
解析 (1)∵Sn有最大值,∴d<0,
10、又<-1,∴a11<00,∴S19為最小正值.
(2)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q(q>0),依題意,a3=3a1+2a2,
∴a1q2=3a1+2a1q,整理得:q2-2q-3=0,
解得q=3或q=-1(舍),
∴==q2=9.
題型三 等差、等比數(shù)列的綜合應用
例3 已知等比數(shù)列{an}中,首項a1=3,公比q>1,且3(an+2+an)-10an+1=0(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè){bn+an}是首項為1,公差為2的等差數(shù)列,求
11、數(shù)列{bn}的通項公式和前n項和Sn.
解 (1)∵3(an+2+an)-10an+1=0,
∴3(anq2+an)-10anq=0,
即3q2-10q+3=0,
∵公比q>1,∴q=3.
又∵首項a1=3,∴數(shù)列{an}的通項公式為an=3n.
(2)∵{bn+an}是首項為1,公差為2的等差數(shù)列,
∴bn+an=1+2(n-1),
即數(shù)列{bn}的通項公式為bn=2n-1-3n-1.
前n項和Sn=-(1+3+32+…+3n-1)+[1+3+…+(2n-1)]=-(3n-1)+n2.
點評 (1)對數(shù)列{an},首先弄清是等差還是等比,然后利用相應的公式列方程組求相關(guān)基
12、本量,從而確定an、Sn.
(2)熟練掌握并能靈活應用等差、等比數(shù)列的性質(zhì),也是解決此類題目的主要方法.
變式訓練3 (2015·北京)已知等差數(shù)列{an}滿足a1+a2=10,a4-a3=2.
(1)求{an}的通項公式;
(2)設(shè)等比數(shù)列{bn}滿足b2=a3,b3=a7,問:b6與數(shù)列{an}的第幾項相等?
解 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.
因為a4-a3=2,所以d=2.
又因為a1+a2=10,所以2a1+d=10,故a1=4.
所以an=4+2(n-1)=2n+2(n=1,2,…).
(2)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q.
因為b2=a3=8,b3=a7=
13、16,
所以q=2,b1=4.
所以b6=4×26-1=128.
由128=2n+2,得n=63,
所以b6與數(shù)列{an}的第63項相等.
高考題型精練
1.設(shè){an}是首項為a1,公差為-1的等差數(shù)列,Sn為其前n項和.若S1,S2,S4成等比數(shù)列,則a1等于( )
A.2 B.-2 C. D.-
答案 D
解析 因為等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn=na1+d,所以S1,S2,S4分別為a1,2a1-1,4a1-6.
因為S1,S2,S4成等比數(shù)列,所以(2a1-1)2=a1·(4a1-6).解得a1=-.
2.已知無窮等差數(shù)列{an},前n項和Sn中,S6<
14、S7,且S7>S8,則( )
A.在數(shù)列{an}中a7最大
B.在數(shù)列{an}中,a3或a4最大
C.前三項之和S3必與前10項之和S10相等
D.當n≥8時,an<0
答案 D
解析 由于S6S8,
所以S7-S6=a7>0,S8-S7=a8<0,
所以數(shù)列{an}是遞減的等差數(shù)列,最大項為a1,
所以A,B均錯,D正確.
S10-S3=a4+a5+…+a10=7a7>0,
故C錯誤.
3.已知{an}為等差數(shù)列,其公差為-2,且a7是a3與a9的等比中項,Sn為{an}的前n項和,n∈N*,則S10的值為( )
A.-110 B.-90 C.
15、90 D.110
答案 D
解析 ∵a3=a1+2d=a1-4,a7=a1+6d=a1-12,
a9=a1+8d=a1-16,
又∵a7是a3與a9的等比中項,
∴(a1-12)2=(a1-4)·(a1-16),
解得a1=20.∴S10=10×20+×10×9×(-2)=110.
4.(2016·哈爾濱六中期中)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,且S6>S7>S5,給出下列五個命題:①d<0;②S11>0;③使Sn>0的最大n值為12;④數(shù)列{Sn}中的最大項為S11;⑤|a6|>|a7|,其中正確命題的個數(shù)是( )
A.5 B.4 C.3 D.1
答案 B
16、
解析 ∵S6>S7>S5,∴a7<0,a6>0,a6+a7>0,
因此|a6|>|a7|;d=a7-a6<0;
S11==11a6>0;
S12==6(a6+a7)>0,
而S13=13a7<0,
因此滿足Sn>0的最大n值為12;
由于a7<0,a6>0,數(shù)列{Sn}中的最大項為S6,
∴④錯,①②③⑤正確,故選B.
5.在正項等比數(shù)列{an}中,a1=1,前n項和為Sn,且-a3,a2,a4成等差數(shù)列,則S7的值為( )
A.125 B.126 C.127 D.128
答案 C
解析 設(shè)正項等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0),
且a1=1,由-a3,a2
17、,a4成等差數(shù)列,得2a2=a4-a3,
即2a1q=a1q3-a1q2.
因為q>0,所以q2-q-2=0.
解得q=-1(舍)或q=2.
則S7===127.
6.已知兩個等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別為An和Bn,且=,則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是( )
A.2 B.3
C.4 D.5
答案 D
解析 由等差數(shù)列的前n項和及等差中項,
可得=
==
==
==7+ (n∈N*),
故當n=1,2,3,5,11時,為整數(shù).
即正整數(shù)n的個數(shù)是5.
7.(2016·江蘇)已知{an}是等差數(shù)列,Sn是其前n項和.若a1+a=-3,S5=1
18、0,則a9的值是________.
答案 20
解析 設(shè)等差數(shù)列{an}公差為d,由題意可得:
解得
則a9=a1+8d=-4+8×3=20.
8.已知{an}為等差數(shù)列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示{an}的前n項和,則使得Sn達到最大值的n是________.
答案 20
解析 等差數(shù)列{an}的公差為d,則
即∴
∴Sn=39n+×(-2)=-n2+40n
=-(n-20)2+400,
當n=20時,Sn取得最大值.
9.公差不為0的等差數(shù)列{an}的部分項…構(gòu)成等比數(shù)列,且k1=1,k2=2,k3=6,則k4=________.
19、
答案 22
解析 根據(jù)題意可知等差數(shù)列的a1,a2,a6項成等比數(shù)列,設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則有(a1+d)2=a1(a1+5d),解得d=3a1,故a2=4a1,a6=16a1?=a1+(n-1)·(3a1)=64a1,解得n=22,即k4=22.
10.若數(shù)列{an}對任意的正整數(shù)n和m等式a=an×an+2m都成立,則稱數(shù)列{an}為m階梯等比數(shù)列.若{an}是3階梯等比數(shù)列有a1=1,a4=2,則a10=________.
答案 8
解析 由題意有,當{an}是3階梯等比數(shù)列,a=anan+6,a=a1a7,所以a7=4,
由a=a4a10,有a10==8.
11.(20
20、16·北京)已知{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.
(1)求{an}的通項公式;
(2)設(shè)cn=an+bn,求數(shù)列{cn}的前n項和.
解 (1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,{bn}的公比為q,
由得
∴{bn}的通項公式bn=b1qn-1=3n-1,
又a1=b1=1,a14=b4=34-1=27,
∴1+(14-1)d=27,解得d=2.
∴{an}的通項公式an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1(n=1,2,3,…).
(2)設(shè)數(shù)列{cn}的前n項和為Sn.
∵cn=an+bn=2n-1+3n-1,
21、
∴Sn=c1+c2+c3+…+cn
=2×1-1+30+2×2-1+31+2×3-1+32+…+2n-1+3n-1=2(1+2+…+n)-n+
=2×-n+
=n2+.
即數(shù)列{cn}的前n項和為n2+.
12.在等差數(shù)列{an}中,a2+a7=-23,a3+a8=-29.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列{an+bn}是首項為1,公比為q的等比數(shù)列,求{bn}的前n項和Sn.
解 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差是d,
∵a3+a8-(a2+a7)=2d=-6,
∴d=-3.
∴a2+a7=2a1+7d=-23,解得a1=-1.
∴數(shù)列{an}的通項公式為an=-3n+2.
(2)∵數(shù)列{an+bn}是首項為1,公比為q的等比數(shù)列,
∴an+bn=qn-1,即-3n+2+bn=qn-1,
∴bn=3n-2+qn-1.
∴Sn=[1+4+7+…+(3n-2)]+(1+q+q2+…+qn-1)
=+(1+q+q2+…+qn-1),
故當q=1時,Sn=+n=;
當q≠1時,Sn=+.