高考數學 考前3個月知識方法專題訓練 第一部分 知識方法篇 專題8 概率與統(tǒng)計 第34練 概率的兩類模型 文-人教版高三數學試題

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1、第34練　概率的兩類模型 [題型分析·高考展望]　概率是高中數學的重要內容，也是高考的必考知識點．在高考中，概率部分的命題主要有三個方面的特點：一是以古典概型的概率公式為考查對象，二是以幾何概型的概率公式為考查對象，三是古典概型與其他知識相交匯，題目多以選擇題或填空題的形式出現． 體驗高考 1．(2015·課標全國Ⅰ)如果3個正整數可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數為一組勾股數，從1,2,3,4,5中任取3個不同的數，則這3個數構成一組勾股數的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　從1,2,3,4,5中任取3個不同的數共有如下10個不同的結果：(1,

2、2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股數只有(3,4,5)，所以概率為.故選C. 2．(2015·山東)在區(qū)間[0,2]上隨機地取一個數x，則事件“－1≤log≤1”發(fā)生的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由－1≤log≤1，得≤x＋≤2， ∴0≤x≤.∴由幾何概型的概率計算公式得所求概率 P＝＝. 3．(2015·福建)如圖，矩形ABCD中，點A在x軸上，點B的坐標為(1,0)，且點C與點D在函數f(x)＝的圖象上．若在矩形ABCD

3、內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由圖形知C(1,2)，D(－2,2)， ∴S四邊形ABCD＝6，S陰＝×3×1＝. ∴P＝＝. 4．(2016·課標全國乙)某公司的班車在7：00,8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　如圖所示，畫出時間軸： 小明到達的時間會隨機的落在圖中線段AB中，而當他的到達時間落在線段AC或DB時，才能保證他等車的時間不超過10分

4、鐘，根據幾何概型得所求概率P＝＝，故選B. 5．(2016·天津)甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　事件“甲不輸”包含“和棋”和“甲獲勝”這兩個互斥事件，所以甲不輸的概率為＋＝. 高考必會題型 題型一　古典概型問題 例1　(1)(2016·課標全國丙)小敏打開計算機時，忘記了開機密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個數字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　第一位是M，I，N中的一個字母

5、，第二位是1,2,3,4,5中的一個數字，所以總的基本事件的個數為15，密碼正確只有一種，概率為，故選C. (2)某班級的某一小組有6位學生，其中4位男生，2位女生，現從中選取2位學生參加班級志愿者小組，求下列事件的概率： ①選取的2位學生都是男生； ②選取的2位學生一位是男生，另一位是女生． 解　①設4位男生的編號分別為1,2,3,4,2位女生的編號分別為5,6.從6位學生中任取2位學生的所有可能結果為(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共1

6、5種． 從6位學生中任取2位學生，所取的2位全是男生的方法數，即從4位男生中任取2個的方法數，共有6種， 即(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)． 所以選取的2位學生全是男生的概率為P1＝＝. ②從6位學生中任取2位，其中一位是男生，而另一位是女生，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8種． 所以選取的2位學生一位是男生，另一位是女生的概率為P2＝. 點評　求解古典概型問題的三個步驟 (1)判斷本次試驗的結果是不是等可能的，設出所求事件A. (2)分別計算基本事件的總數n和

7、所求事件A所包含的基本事件的個數m. (3)利用古典概型的概率公式P(A)＝求出事件A的概率．若直接求解比較困難，則可以利用間接的方法，如逆向思維，先求其對立事件的概率，進而再求所求事件的概率． 變式訓練1　(2016·北京)從甲，乙等5名學生中隨機選出2人，則甲被選中的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　從甲，乙等5名學生中隨機選2人共有10種情況，甲被選中有4種情況，則甲被選中的概率為＝. 題型二　幾何概型問題 例2　(1)設不等式組表示的平面區(qū)域為D，在區(qū)域D內隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離大于2的概率是(　　) A. B. C. D. (

8、2)在區(qū)間[0，π]內隨機取兩個數分別記為a，b，則使得函數f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零點的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　(1)D　(2)B 解析　(1)如圖所示，正方形OABC及其內部為不等式組表示的區(qū)域D，且區(qū)域D的面積為4，而陰影部分表示的是區(qū)域D內到坐標原點的距離大于2的區(qū)域．易知該陰影部分的面積為4－π.因此滿足條件的概率是， 所以選D. (2)所求概率為幾何概型，測度為面積， 則Δ＝4a2＋4b2－4π≥0?a2＋b2≥π得所求概率為 1－＝. 點評　(1)幾何概型并不限于向平面(或直線、空間)投點的試驗，如果一個隨機試驗有無限多個等可能的

9、基本結果，每個基本結果可以用平面(或直線、空間)中的一點來表示，而所有基本結果對應于一個區(qū)域Ω，這時，與試驗有關的問題即可利用幾何概型來解決． (2)幾何概型的概率求解，一般要將問題轉化為長度、面積或體積等幾何問題．在轉化中，面積問題的求解常常用到線性規(guī)劃知識，也就是用二元一次不等式(或其他簡單不等式)組表示區(qū)域．幾何概型的試驗中事件A的概率P(A)只與其所表示的區(qū)域的幾何度量(長度、面積或體積)有關，而與區(qū)域的位置和形狀無關． 變式訓練2　(1)已知P是△ABC所在平面內一點，＋＋2＝0，現將一粒黃豆隨機撒在△ABC內，則黃豆落在△PBC內的概率是(　　) A. B. C. D.

10、 (2)在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD－A1B1C1D1內隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為________． 答案　(1)D　(2)1－ 解析　(1)由＋＋2＝0， 可得＋＝－2， 由向量加法的幾何意義可知點P在△ABC的中線AD上，且＋＝， 如圖所示，由共線向量定理知＝2＝－2， 所以＝－，所以P為AD的中點， 所以△PBC的面積是△ABC面積的， 根據幾何概型可知黃豆落在△PBC內的概率是P＝＝，故選D. (2)V正＝23＝8，V半球＝×π×13＝π， ＝＝， 故點P到O的距離大于1的概率

11、為1－. 高考題型精練 1．從1,2,3,4中任取2個不同的數，則取出的2個數之差的絕對值為2的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　從1,2,3,4中任取2個不同的數共有6(種)不同取法，其中取出的2個數之差的絕對值為2的有2種不同取法， 故所求概率為＝，選B. 2．擲兩顆均勻的骰子，則點數之和為5的概率等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　擲兩顆骰子，點數有以下情況： (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2

12、)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36種，其中點數之和為5的有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4種，故所求概率為＝. 3．(2016·課標全國甲)某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現，紅燈持續(xù)時間為40秒．若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現綠燈的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　至少需

13、要等待15秒才出現綠燈的概率為＝，故選B. 4．在區(qū)間[0,10]內隨機取出兩個數，則這兩個數的平方和在區(qū)間[0,10]內的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　設這兩個數為x，y，則0≤x≤10,0≤y≤10， 構成一個正方形，面積為102， 這兩個數的平方和x2＋y2∈[0,10]， 在正方形中形成的陰影面積為， 因此所求概率為＝，選A. 5．如圖，已知點A在坐標原點，點B在直線y＝1上，點C(3,4)，若AB≤，則△ABC的面積大于5的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　設B(x,1)，由AB≤，知≤，解得x∈[－3,

14、3]． 根據題意知點D(，1)，若△ABC的面積小于或等于5，則×DB×4≤5，即DB≤，此時點B的橫坐標x∈[－，]，又x∈[－3,3]， 所以點B的橫坐標x∈[－，3]，所以△ABC的面積小于或等于5的概率為P＝＝， 所以△ABC的面積大于5的概率是1－P＝. 6．一只螞蟻在三邊長分別為3,4,5的三角形的內部爬行，某時間該螞蟻距離三角形的三個頂點的距離均超過1的概率為(　　) A．6－ B．6－ C．1－ D．2－ 答案　C 解析　因為三角形的面積為×3×4＝6，離三角形的三個頂點的距離不超過1的面積為×π×12＝， 所以某時間該螞蟻距離三角形的三個頂點的距離均超過1的

15、概率P＝＝1－，故選C. 7．(2016·四川)從2、3、8、9任取兩個不同的數字，分別記為a，b，則logab為整數的概率是________． 答案　 解析　從2、3、8、9任取兩個數分別為記為(a，b)，則有(2,3)，(3,2)，(2,8)，(8,2)，(2,9)，(9,2)，(3,8)，(8,3)，(3,9)，(9,3)，(8,9)，(9,8)，共有12種情況，其中符合logab為整數的有l(wèi)og3 9和log2 8兩種情況，所以P＝＝. 8．若袋中5個外形相同的小球，其中紅球2個，白球3個，現從中任取2個球，則取出的球中有紅球的概率為________． 答案　 解析　5個外

16、形相同的小球，記其中的2個紅球為1,2,3個白球為a，b，c.從中任取2個球，共有10種可能的結果，其中沒有紅球有3種可能的結果． 所以有紅球的概率為1－＝. 9．在區(qū)間[1,5]和[2,4]上分別各取一個數，記為m和n，則方程＋＝1表示焦點在x軸上的橢圓的概率是________． 答案　 解析　∵方程＋＝1表示焦點在x軸上的橢圓， ∴m>n.如圖， 由題意知，在矩形ABCD內任取一點Q(m，n)，點Q落在陰影部分的概率即為所求的概率，易知直線m＝n恰好將矩形平分， ∴所求的概率為P＝. 10．連續(xù)2次拋擲一枚骰子(六個面上分別標有數字1,2,3,4,5,6)，記“兩次向上

17、的數字之和等于m”為事件A，則P(A)最大時，m＝________. 答案　7 解析　1＋1＝2,1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5,1＋5＝6，1＋6＝7，2＋1＝3,2＋2＝4,2＋3＝5,2＋4＝6,2＋5＝7,2＋6＝8…依次列出m的可能的值，知7出現次數最多． 11．甲、乙、丙三人組成一組，參加一個闖關游戲團體賽，三人各自獨立闖關，其中甲闖關成功的概率為，甲、乙都闖關成功的概率為，乙、丙闖關成功的概率為，每人闖關成功得2分，三人得分之和記為小組團體總分． (1)求乙、丙各自闖關成功的概率； (2)求團體總分為4分的概率； (3)若團體總分不小于4分，則小組可參加復賽，求該

18、小組可參加復賽的概率． 解　記甲、乙、丙三人各自獨立闖關成功的事件依次為A、B、C， 則由已知條件得P(A)＝，P(A·B)＝， P(B·C)＝. (1)∵P(A·B)＝P(A)·P(B)， ∴P(B)＝.同理，P(C)＝. (2)∵每人闖關成功記2分，要使團體總分為4分， 則需要兩人闖關成功， ∴兩人都闖關成功的概率 P1＝··＋··＋··＝， 即團體總分為4分的概率P1＝. (3)團體總分不小于4分， 則團體總分可能為4分，可能為6分，團體總分為6分，需要三人都闖關成功， 三人闖關都成功的概率P2＝··＝. 由(2)知團體總分為4分的概率P1＝， ∴團體總分不

19、小于4分的概率 P＝P1＋P2＝＋＝. 12．如圖是一個方形迷宮，甲、乙兩人分別位于迷宮的A、B兩處，兩人同時以每一分鐘一格的速度向東、西、南、北四個方向行走，已知甲向東、西行走的概率都為，向南、北行走的概率為和p，乙向東、西、南、北四個方向行走的概率均為q. (1)求p和q的值； (2)問最少幾分鐘，甲乙二人相遇？并求出最短時間內可以相遇的概率． 解　(1)∵＋＋＋p＝1，∴p＝， 又∵4q＝1，∴q＝. (2)最少需要2分鐘，甲乙二人可以相遇(如圖，在C、D、E三處相遇)． 設在C、D、E三處相遇的概率分別為pC、pD、pE， 則pC＝(×)×(×)＝， pD＝2(×)×2(×)＝， pE＝(×)×(×)＝， ∴pC＋pD＋pE＝(＋＋)＝， 即所求的概率為.