四川省瀘州市2024屆高三教學情況調(diào)研 數(shù)學試題【含答案】

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1、2024四川高考瀘州高三教學情況調(diào)研數(shù)學試題 注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上. 2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效. 3．本卷滿分150分，考試時間120分鐘.考試結束后，將答題卡交回. 一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1．某籃球興趣小組7名學生參加投籃比賽，每人投10個，投中的個數(shù)分別為8，5，7，5，8，6，8，則這組數(shù)據(jù)的

2、眾數(shù)和中位數(shù)分別為（????）． A．5，7 B．6，7 C．8，5 D．8，7 2．已知為虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，則的虛部為（ ） A． B． C． D． 3．若，則（ ） A． B． C． D． 4．一般來說，輸出信號功率用高斯函數(shù)來描述，定義為，其中為輸出信號功率最大值（單位：），為頻率（單位：），為輸出信號功率的數(shù)學期望，為輸出信號的方差，帶寬是光通信中一個常用的指標，是指當輸出信號功率下降至最大值一半時，信號的頻率范圍，即對應函數(shù)圖象的寬度?，F(xiàn)已知輸出信號功率為（如圖所示），則其帶寬為（???） A． B． C． D． 5．“”是“函數(shù)的圖象關于對稱”的（

3、????） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 6．已知是兩個單位向量，若向量在向量上的投影向量為，則向量與向量的夾角為（????） A．30° B．60° C．90° D．120° 7．已知某六名同學在CMO競賽中獲得前六名（無并列情況），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，則這六名同學獲得的名次情況可能有（????） A．72種 B．96種 C．144種 D．288種 8．已知數(shù)列滿足，對任意都有，且對任意都有，則實數(shù)的取值范圍是（????） A． B． C． D． 二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選

4、項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分. 9．下列說法正確的是（????） A．已知隨機變量服從二項分布，則 B．設隨機變量服從正態(tài)分布，若，則 C．已知一組數(shù)據(jù)為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，則它的第70百分位數(shù)為7 D．若事件滿足，則事件相互獨立 10．已知 的內(nèi)角的對邊分別為，且，下列結論正確的是（????） A． B．若 ，則 有兩解 C．當時， 為直角三角形 D．若 為銳角三角形，則 的取值范圍是 11．正方體的棱長為1，E，F(xiàn)，G分別為BC，的中點，則（????） A．直線與直線AF垂直 B

5、．直線與平面AEF平行 C．平面AEF截正方體所得的截面面積為 D．點與點D到平面AEF的距離相等 三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分. 12．已知集合，若集合恰有兩個元素，則實數(shù)的取值范圍是 . 13．已知圓與圓相切，則 . 14．已知，，是雙曲線C：的左右焦點，過的直線與雙曲線左支交于點A，與右支交于點B，與內(nèi)切圓的圓心分別為，，半徑分別為，，若，則雙曲線離心率為 ．的取值范圍為 ． 四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 15．已知函數(shù). (1)若的圖象在點處的切線與直線

6、垂直，求的值; (2)討論的單調(diào)性與極值. 16．如圖，在三棱柱中，側面底面，，點為線段的中點. (1)求證：平面； (2)若，求二面角的余弦值. 17．某地區(qū)為了解居民體育鍛煉達標情況與性別之間的關系，隨機調(diào)查了600位居民，得到如下數(shù)據(jù)： 不達標 達標 合計 男 300 女 100 300 合計 450 600 (1)完成列聯(lián)表.根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為體育鍛煉達標與性別有關聯(lián)？ (2)若體育鍛煉達標的居民體能測試合格的概率為，體育鍛煉未達標的居民體能測試合格的概率為.用上表中居民體育達標的頻率估計該地區(qū)居民體育達標的概

7、率，從該地區(qū)居民中隨機抽取3人參加體能測試，求3人中合格的人數(shù)的分布列及期望.（對應值見下表.，） 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 18．設等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項和． (1)若，求的通項公式； (2)若為等差數(shù)列，且，求． 19．已知O為坐標原點，橢圓左?右焦點分別為，短軸長為，過的直線與橢圓交于兩點，的周長為8． (1)求的方程； (2)若直線l與Ω交于A，B兩點，且，求|AB|的最小值； (3)已知點P是橢圓Ω上的動點，是否存在定圓O：x2＋y2＝r2（r＞0），使得當過點P能作圓O的兩條切線PM，

8、PN時（其中M，N分別是兩切線與C的另一交點），總滿足|PM|＝|PN|?若存在，求出圓O的半徑r：若不存在，請說明理由． 1．D 【分析】先將數(shù)據(jù)從小到大排列，結合數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)的概念，即可求解. 【詳解】數(shù)據(jù)由小到大排列為5，5，6，7，8，8，8， 因此，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為8，中位數(shù)為7． 故選：D． 2．B 【分析】設復數(shù)，根據(jù)題意，列出方程求得，進而求得復數(shù)的虛部，得到答案. 【詳解】設復數(shù)， 因為，可得，可得， 解得，所以復數(shù)的虛部為. 故選：B. 3．B 【分析】根據(jù)兩角差的正切公式求出，再利用二倍角的正弦公式化簡求得答案. 【詳解】由，得， .

9、 故選：B. 4．D 【分析】根據(jù)給定信息，列出方程并求解即可作答. 【詳解】依題意，由，，得，即， 則有，解得，， 所以帶寬為. 故選：D 5．A 【分析】若函數(shù)的圖象關于對稱，根據(jù)正切函數(shù)的對稱性可得，再根據(jù)充分、必要條件結合包含關系分析求解. 【詳解】若函數(shù)的圖象關于對稱， 則，解得， 因為是的真子集， 所以“”是“函數(shù)的圖象關于對稱”的充分不必要條件. 故選：A. 6．B 【分析】由條件結合投影向量的定義可求，再根據(jù)向量夾角余弦公式求結論. 【詳解】因為向量在向量上的投影向量為，是兩個單位向量， 所以， 所以，又， 所以， 所以， 又， 所以

10、，又， 所以向量與向量的夾角為，即. 故選：B. 7．C 【分析】根據(jù)題意分別求出甲是第一，乙是第一的可能情況，再利用分類加法計數(shù)原理計算即可. 【詳解】由題意，丙可能是4，5，6名，有3種情況， 若甲是第一名，則獲得的名次情況可能是種， 若乙是第一名，則獲得的名次情況可能是種， 所以所有符合條件的可能是種. 故選：C. 8．C 【分析】由題意可得數(shù)列在上是遞減數(shù)列，數(shù)列在上是遞增數(shù)列，再根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可得解. 【詳解】因為對任意都有， 所以數(shù)列在上是遞減數(shù)列， 因為對任意都有， 所以數(shù)列在上是遞增數(shù)列， 所以，解得， 所以實數(shù)的取值范圍是. 故選：

11、C. 9．AD 【分析】根據(jù) 根據(jù)二項分布知識可判斷A，根據(jù)正態(tài)分布知識可判斷B，根據(jù)百分位數(shù)可判斷C，根據(jù)條件概率知識可判斷D. 【詳解】因為隨機變量服從二項分布，則，故A正確； 因為隨機變量服從正態(tài)分布，則對稱軸為，，故B錯誤； 這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為，故C錯誤； 因為，所以，所以事件相互獨立. 故選：AD. 10．ACD 【分析】通過正弦定理、誘導公式、二倍角公式及輔助角公式即可判斷A；通過余弦定理即可判斷B；通過余弦定理及可得或，即可判斷C；通過求的取值范圍，并將即可判斷D. 【詳解】對于A，因為， 所以由及正弦定理得，， 由誘導公式得，， 因為，故，所

12、以， 化解得，即， 所以或，即（舍）或，故A正確； 對于B，由余弦定理得，即，得， 由，所以(負值舍)，即有一解，故B錯誤； 對于C，因為，兩邊平方得， 由余弦定理得， 由兩式消得，，解得或， 由解得， 由解得; 故為直角三角形，故C正確； 對于D，因為為銳角三角形，且， 所以， 即， 所以，所以，故D正確. 故選：ACD. 11．BCD 【分析】根據(jù)棱柱的結構特征，建立以為原點，以、、所在的直線為軸、軸、軸的空間直角坐標系，利用向量法即可判斷A，根據(jù)線線平行即可判斷B,根據(jù)梯形面積即可判斷C,根據(jù)中點關系即可判斷D. 【詳解】在棱長為1的正方體中，建立以為

13、原點，以、、所在的直線為軸、軸、軸的空間直角坐標系，如圖所示： 、、分別為、、的中點，則，，， ， 對于A,，， ，故A錯誤； 對于B：連接,， ，,,,四點共面， 由于,,所以四邊形 為平行四邊形， 故，又平面，平面， 平面，故B正確， 對于C，連接，， ，四邊形為平面截正方體所得的截面， ，，， 四邊形為等腰梯形，高為， 則四邊形的面積為，故C正確； 對于D,連接交于點，故是的中點，且是線段與平面的交點，因此點和點到平面的距離相等，故D正確． 故選：BCD． 12． 【分析】解二次不等式化簡集合，再利用二次不等式解的形式與交集的結果即可得解. 【

14、詳解】因為， ， 又集合恰有兩個元素， 所以恰有兩個元素1和2，所以. 故答案為：. 13．1或3##3或1 【分析】由已知可得兩個圓的圓心和半徑，求出圓心距，分兩圓內(nèi)切和外切兩種情況討論，求出的值即可． 【詳解】圓的圓心為，半徑， 圓的圓心為，半徑， 其圓心距． 若兩圓內(nèi)切，則有，即，可得或（舍）； 若兩圓外切，則有，即，解可得． 故答案為：1或3． 14． 2 【分析】設內(nèi)切圓分別與三邊相切于，可求得的內(nèi)切圓的圓心橫坐標為a，同理可得的內(nèi)切圓的圓心橫坐標為，進而由，可得，求解可得雙曲線的離心率；由已知可得，利用三角恒等變換可求的取值范圍. 【

15、詳解】設內(nèi)切圓分別與三邊相切于， 由切線長定理可得 所以 ，所以， 所以點的橫坐標為， 的內(nèi)切圓的圓心橫坐標為a， 同理可得，的內(nèi)切圓的圓心橫坐標為， 又，則， 即，解得． 由已知可得由， 所以， ， 因為，所以，所以一條漸近線的傾斜角為，所以， 所以，所以. 故答案：①；②． 【點睛】關鍵點點睛：本題考查雙曲線中三角形內(nèi)切圓和離心率相關問題的求解，解題關鍵是能夠利用三角形內(nèi)切圓的知識點結合雙曲線的性質(zhì)，求得之間的等量關系從而求得結果. 15．(1) (2)答案見解析. 【分析】（1）求導，根據(jù)直線垂直可得，即可求解， （2）求導

16、，對進行討論，判斷導函數(shù)的正負，即可得函數(shù)的單調(diào)性和極值. 【詳解】（1）由題得，的定義域為. .???????? 的圖象在點處的切線與直線l:垂直， ，???????? 解得. （2）由（1）知. ①當時，恒成立. 在上為減函數(shù)，此時無極值;???????????? ②當時，由，得，由，得，???????? 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 故的極小值為，無極大值.???????? 綜上可得，當時，在上為減函數(shù)，無極值; 當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增. 的極小值為，無極大值. 16．(1)證明見詳解 (2) 【分析】（1）連接，交于點，連接，利用線面平行

17、的判定定理證明； （2）由已知可知，為等邊三角形，故，利用面面垂直的性質(zhì)定理可證得底面，進而建立空間直角坐標系，利用向量法即可求二面角余弦值. 【詳解】（1）連接，交于點，連接， 因為側面是平行四邊形， 所以為的中點，又因為點為線段的中點， 所以， 因為面，面， 所以面. （2）連接，，因為，， 所以為等邊三角形，， 因為點為線段的中點， 所以， 因為側面底面，平面平面，平面， 所以底面， 過點在底面內(nèi)作，如圖以為坐標原點，分布以，，的方向為軸正方向建立空間直角坐標系， 則，，， 所以，， 設平面的法向量為， 則，令，則， 所以平面的法向量為，

18、又因為平面的法向量為， 則， 經(jīng)觀察，二面角的平面角為鈍角， 所以二面角的余弦值為. 17．(1)列聯(lián)表見解析，能 (2)分布列見解析， 【分析】（1）由已知數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，計算，與臨界值比較得結論； （2）根據(jù)題意，結合條件概率以及全概率公式求出隨機抽取一人體能測試合格的概率，利用二項分布求出對應概率以及分布列及期望. 【詳解】（1）列聯(lián)表如下表 不達標 達標 合計 男 50 250 300 女 100 200 300 合計 150 450 600 零假設為體育鍛煉達標與性別獨立，即體育鍛煉達標與性別無關. . 根據(jù)小概率值的獨立性

19、檢驗，推斷不成立，即認為體育鍛煉達標與性別有關聯(lián)，該推斷犯錯誤的概率不超過0.01. （2）方法一：設事件“隨機抽取一人體育鍛煉達標”，事件“隨機抽取一人體能測試合格”，則，，，. 所以； 的可能取值為：0，1，2，3 ， ， ， ， 所以的分布列為 X 0 1 2 3 P 所以. 方法二：設事件“隨機抽取一人體育鍛煉達標”，事件“隨機抽取一人體能測試合格”，則，，，. 所以. 因為. 所以，. 所以. 18．(1) (2) 【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式建立方程求解即可； （2）由為等差數(shù)列得出或，再由等差數(shù)列的性質(zhì)可

20、得，分類討論即可得解. 【詳解】（1），，解得， ， 又， ， 即，解得或（舍去）， . （2）為等差數(shù)列， ，即， ，即，解得或， ，， 又，由等差數(shù)列性質(zhì)知，，即， ，即，解得或（舍去） 當時，，解得，與矛盾，無解； 當時，，解得. 綜上，. 19．(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）由已知可得，，求解即可； （2）分直線斜率是否存在兩種情況討論，若直線斜率存在，設方程為．設，，聯(lián)立方程組可得，由可得，進而可得弦長，利用換元法可求最小值； （3）r為點O到直線PM的距離，結合（2）的結論，可求. 【詳解】（1）設橢圓的半焦距為，

21、 由雙曲線定義可得，， 故，又． 所以，． 所以的方程為． （2）①若直線斜率不存在，則設，則， 因為，所以， 所以，所以． 所以． ②若直線斜率存在，設方程為．設，． 聯(lián)立，消去y整理得，， 則． 由韋達定理，得， 于是，即． 故． 令，則，． 所以． 因為，所以當時，． 綜上，的最小值為． （3）如圖所示，設PM、PN與圓O的切點分別為E、F，則． 又，則． 所以，所以． 取MN中點Q，若O和Q不重合，則． 所以． 又因為M、N在橢圓上， 則，所以， 所以，所以， 又，，所以．矛盾．所以O和Q重合，即M、N關于原點對稱．所以． 設直線的方程為，則r為點O到直線PM的距離， 所以．由（2）可知，， 故，即． 又當MN斜率不存在時，也成立． 綜上，． 所以存在存在定圓滿足條件，此時. 【點睛】解析幾何承載著考查數(shù)學運算核心素養(yǎng)的功能，“多想少算”絕非“空想不算”．用代數(shù)方法研究幾何問題是解析幾何的核心，適度地挖掘幾何性質(zhì)可減少一定的計算．