四川省瀘州市2024屆高三教學(xué)情況調(diào)研 數(shù)學(xué)試題【含答案】

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1、2024四川高考瀘州高三教學(xué)情況調(diào)研數(shù)學(xué)試題 注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上. 2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效. 3．本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.考試結(jié)束后，將答題卡交回. 一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1．某籃球興趣小組7名學(xué)生參加投籃比賽，每人投10個(gè)，投中的個(gè)數(shù)分別為8，5，7，5，8，6，8，則這組數(shù)據(jù)的

2、眾數(shù)和中位數(shù)分別為（????）． A．5，7 B．6，7 C．8，5 D．8，7 2．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（ ） A． B． C． D． 3．若，則（ ） A． B． C． D． 4．一般來(lái)說(shuō)，輸出信號(hào)功率用高斯函數(shù)來(lái)描述，定義為，其中為輸出信號(hào)功率最大值（單位：），為頻率（單位：），為輸出信號(hào)功率的數(shù)學(xué)期望，為輸出信號(hào)的方差，帶寬是光通信中一個(gè)常用的指標(biāo)，是指當(dāng)輸出信號(hào)功率下降至最大值一半時(shí)，信號(hào)的頻率范圍，即對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象的寬度?，F(xiàn)已知輸出信號(hào)功率為（如圖所示），則其帶寬為（???） A． B． C． D． 5．“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)”的（

3、????） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 6．已知是兩個(gè)單位向量，若向量在向量上的投影向量為，則向量與向量的夾角為（????） A．30° B．60° C．90° D．120° 7．已知某六名同學(xué)在CMO競(jìng)賽中獲得前六名（無(wú)并列情況），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，則這六名同學(xué)獲得的名次情況可能有（????） A．72種 B．96種 C．144種 D．288種 8．已知數(shù)列滿足，對(duì)任意都有，且對(duì)任意都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（????） A． B． C． D． 二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選

4、項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分. 9．下列說(shuō)法正確的是（????） A．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則 B．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則 C．已知一組數(shù)據(jù)為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，則它的第70百分位數(shù)為7 D．若事件滿足，則事件相互獨(dú)立 10．已知 的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，下列結(jié)論正確的是（????） A． B．若 ，則 有兩解 C．當(dāng)時(shí)， 為直角三角形 D．若 為銳角三角形，則 的取值范圍是 11．正方體的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)，G分別為BC，的中點(diǎn)，則（????） A．直線與直線AF垂直 B

5、．直線與平面AEF平行 C．平面AEF截正方體所得的截面面積為 D．點(diǎn)與點(diǎn)D到平面AEF的距離相等 三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分. 12．已知集合，若集合恰有兩個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 . 13．已知圓與圓相切，則 . 14．已知，，是雙曲線C：的左右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線左支交于點(diǎn)A，與右支交于點(diǎn)B，與內(nèi)切圓的圓心分別為，，半徑分別為，，若，則雙曲線離心率為 ．的取值范圍為 ． 四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟. 15．已知函數(shù). (1)若的圖象在點(diǎn)處的切線與直線

6、垂直，求的值; (2)討論的單調(diào)性與極值. 16．如圖，在三棱柱中，側(cè)面底面，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn). (1)求證：平面； (2)若，求二面角的余弦值. 17．某地區(qū)為了解居民體育鍛煉達(dá)標(biāo)情況與性別之間的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了600位居民，得到如下數(shù)據(jù)： 不達(dá)標(biāo) 達(dá)標(biāo) 合計(jì) 男 300 女 100 300 合計(jì) 450 600 (1)完成列聯(lián)表.根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為體育鍛煉達(dá)標(biāo)與性別有關(guān)聯(lián)？ (2)若體育鍛煉達(dá)標(biāo)的居民體能測(cè)試合格的概率為，體育鍛煉未達(dá)標(biāo)的居民體能測(cè)試合格的概率為.用上表中居民體育達(dá)標(biāo)的頻率估計(jì)該地區(qū)居民體育達(dá)標(biāo)的概

7、率，從該地區(qū)居民中隨機(jī)抽取3人參加體能測(cè)試，求3人中合格的人數(shù)的分布列及期望.（對(duì)應(yīng)值見(jiàn)下表.，） 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 18．設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項(xiàng)和． (1)若，求的通項(xiàng)公式； (2)若為等差數(shù)列，且，求． 19．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓左?右焦點(diǎn)分別為，短軸長(zhǎng)為，過(guò)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8． (1)求的方程； (2)若直線l與Ω交于A，B兩點(diǎn)，且，求|AB|的最小值； (3)已知點(diǎn)P是橢圓Ω上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在定圓O：x2＋y2＝r2（r＞0），使得當(dāng)過(guò)點(diǎn)P能作圓O的兩條切線PM，

8、PN時(shí)（其中M，N分別是兩切線與C的另一交點(diǎn)），總滿足|PM|＝|PN|?若存在，求出圓O的半徑r：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 1．D 【分析】先將數(shù)據(jù)從小到大排列，結(jié)合數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)的概念，即可求解. 【詳解】數(shù)據(jù)由小到大排列為5，5，6，7，8，8，8， 因此，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為8，中位數(shù)為7． 故選：D． 2．B 【分析】設(shè)復(fù)數(shù)，根據(jù)題意，列出方程求得，進(jìn)而求得復(fù)數(shù)的虛部，得到答案. 【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)， 因?yàn)?，可得，可得? 解得，所以復(fù)數(shù)的虛部為. 故選：B. 3．B 【分析】根據(jù)兩角差的正切公式求出，再利用二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)求得答案. 【詳解】由，得， .

9、 故選：B. 4．D 【分析】根據(jù)給定信息，列出方程并求解即可作答. 【詳解】依題意，由，，得，即， 則有，解得，， 所以帶寬為. 故選：D 5．A 【分析】若函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，根據(jù)正切函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可得，再根據(jù)充分、必要條件結(jié)合包含關(guān)系分析求解. 【詳解】若函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)， 則，解得， 因?yàn)槭堑恼孀蛹? 所以“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)”的充分不必要條件. 故選：A. 6．B 【分析】由條件結(jié)合投影向量的定義可求，再根據(jù)向量夾角余弦公式求結(jié)論. 【詳解】因?yàn)橄蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄繛?，是兩個(gè)單位向量， 所以， 所以，又， 所以， 所以， 又， 所以

10、，又， 所以向量與向量的夾角為，即. 故選：B. 7．C 【分析】根據(jù)題意分別求出甲是第一，乙是第一的可能情況，再利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可. 【詳解】由題意，丙可能是4，5，6名，有3種情況， 若甲是第一名，則獲得的名次情況可能是種， 若乙是第一名，則獲得的名次情況可能是種， 所以所有符合條件的可能是種. 故選：C. 8．C 【分析】由題意可得數(shù)列在上是遞減數(shù)列，數(shù)列在上是遞增數(shù)列，再根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可得解. 【詳解】因?yàn)閷?duì)任意都有， 所以數(shù)列在上是遞減數(shù)列， 因?yàn)閷?duì)任意都有， 所以數(shù)列在上是遞增數(shù)列， 所以，解得， 所以實(shí)數(shù)的取值范圍是. 故選：

11、C. 9．AD 【分析】根據(jù) 根據(jù)二項(xiàng)分布知識(shí)可判斷A，根據(jù)正態(tài)分布知識(shí)可判斷B，根據(jù)百分位數(shù)可判斷C，根據(jù)條件概率知識(shí)可判斷D. 【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則，故A正確； 因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，則對(duì)稱(chēng)軸為，，故B錯(cuò)誤； 這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為，故C錯(cuò)誤； 因?yàn)?，所以，所以事件相互?dú)立. 故選：AD. 10．ACD 【分析】通過(guò)正弦定理、誘導(dǎo)公式、二倍角公式及輔助角公式即可判斷A；通過(guò)余弦定理即可判斷B；通過(guò)余弦定理及可得或，即可判斷C；通過(guò)求的取值范圍，并將即可判斷D. 【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋? 所以由及正弦定理得，， 由誘導(dǎo)公式得，， 因?yàn)?，故，?/p>

12、以， 化解得，即， 所以或，即（舍）或，故A正確； 對(duì)于B，由余弦定理得，即，得， 由，所以(負(fù)值舍)，即有一解，故B錯(cuò)誤； 對(duì)于C，因?yàn)?，兩邊平方得? 由余弦定理得， 由兩式消得，，解得或， 由解得， 由解得; 故為直角三角形，故C正確； 對(duì)于D，因?yàn)闉殇J角三角形，且， 所以， 即， 所以，所以，故D正確. 故選：ACD. 11．BCD 【分析】根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征，建立以為原點(diǎn)，以、、所在的直線為軸、軸、軸的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可判斷A，根據(jù)線線平行即可判斷B,根據(jù)梯形面積即可判斷C,根據(jù)中點(diǎn)關(guān)系即可判斷D. 【詳解】在棱長(zhǎng)為1的正方體中，建立以為

13、原點(diǎn)，以、、所在的直線為軸、軸、軸的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示： 、、分別為、、的中點(diǎn)，則，，， ， 對(duì)于A,，， ，故A錯(cuò)誤； 對(duì)于B：連接,， ，,,,四點(diǎn)共面， 由于,,所以四邊形 為平行四邊形， 故，又平面，平面， 平面，故B正確， 對(duì)于C，連接，， ，四邊形為平面截正方體所得的截面， ，，， 四邊形為等腰梯形，高為， 則四邊形的面積為，故C正確； 對(duì)于D,連接交于點(diǎn)，故是的中點(diǎn)，且是線段與平面的交點(diǎn)，因此點(diǎn)和點(diǎn)到平面的距離相等，故D正確． 故選：BCD． 12． 【分析】解二次不等式化簡(jiǎn)集合，再利用二次不等式解的形式與交集的結(jié)果即可得解. 【

14、詳解】因?yàn)椋? ， 又集合恰有兩個(gè)元素， 所以恰有兩個(gè)元素1和2，所以. 故答案為：. 13．1或3##3或1 【分析】由已知可得兩個(gè)圓的圓心和半徑，求出圓心距，分兩圓內(nèi)切和外切兩種情況討論，求出的值即可． 【詳解】圓的圓心為，半徑， 圓的圓心為，半徑， 其圓心距． 若兩圓內(nèi)切，則有，即，可得或（舍）； 若兩圓外切，則有，即，解可得． 故答案為：1或3． 14． 2 【分析】設(shè)內(nèi)切圓分別與三邊相切于，可求得的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為a，同理可得的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為，進(jìn)而由，可得，求解可得雙曲線的離心率；由已知可得，利用三角恒等變換可求的取值范圍. 【

15、詳解】設(shè)內(nèi)切圓分別與三邊相切于， 由切線長(zhǎng)定理可得 所以 ，所以， 所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為， 的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為a， 同理可得，的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為， 又，則， 即，解得． 由已知可得由， 所以， ， 因?yàn)?，所以，所以一條漸近線的傾斜角為，所以， 所以，所以. 故答案：①；②． 【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查雙曲線中三角形內(nèi)切圓和離心率相關(guān)問(wèn)題的求解，解題關(guān)鍵是能夠利用三角形內(nèi)切圓的知識(shí)點(diǎn)結(jié)合雙曲線的性質(zhì)，求得之間的等量關(guān)系從而求得結(jié)果. 15．(1) (2)答案見(jiàn)解析. 【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)直線垂直可得，即可求解， （2）求導(dǎo)

16、，對(duì)進(jìn)行討論，判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，即可得函數(shù)的單調(diào)性和極值. 【詳解】（1）由題得，的定義域?yàn)? .???????? 的圖象在點(diǎn)處的切線與直線l:垂直， ，???????? 解得. （2）由（1）知. ①當(dāng)時(shí)，恒成立. 在上為減函數(shù)，此時(shí)無(wú)極值;???????????? ②當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，???????? 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 故的極小值為，無(wú)極大值.???????? 綜上可得，當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，無(wú)極值; 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增. 的極小值為，無(wú)極大值. 16．(1)證明見(jiàn)詳解 (2) 【分析】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，利用線面平行

17、的判定定理證明； （2）由已知可知，為等邊三角形，故，利用面面垂直的性質(zhì)定理可證得底面，進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求二面角余弦值. 【詳解】（1）連接，交于點(diǎn)，連接， 因?yàn)閭?cè)面是平行四邊形， 所以為的中點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)， 所以， 因?yàn)槊?，面? 所以面. （2）連接，，因?yàn)?，? 所以為等邊三角形，， 因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)， 所以， 因?yàn)閭?cè)面底面，平面平面，平面， 所以底面， 過(guò)點(diǎn)在底面內(nèi)作，如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分布以，，的方向?yàn)檩S正方向建立空間直角坐標(biāo)系， 則，，， 所以，， 設(shè)平面的法向量為， 則，令，則， 所以平面的法向量為，

18、又因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛椋? 則， 經(jīng)觀察，二面角的平面角為鈍角， 所以二面角的余弦值為. 17．(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析，能 (2)分布列見(jiàn)解析， 【分析】（1）由已知數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，計(jì)算，與臨界值比較得結(jié)論； （2）根據(jù)題意，結(jié)合條件概率以及全概率公式求出隨機(jī)抽取一人體能測(cè)試合格的概率，利用二項(xiàng)分布求出對(duì)應(yīng)概率以及分布列及期望. 【詳解】（1）列聯(lián)表如下表 不達(dá)標(biāo) 達(dá)標(biāo) 合計(jì) 男 50 250 300 女 100 200 300 合計(jì) 150 450 600 零假設(shè)為體育鍛煉達(dá)標(biāo)與性別獨(dú)立，即體育鍛煉達(dá)標(biāo)與性別無(wú)關(guān). . 根據(jù)小概率值的獨(dú)立性

19、檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為體育鍛煉達(dá)標(biāo)與性別有關(guān)聯(lián)，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01. （2）方法一：設(shè)事件“隨機(jī)抽取一人體育鍛煉達(dá)標(biāo)”，事件“隨機(jī)抽取一人體能測(cè)試合格”，則，，，. 所以； 的可能取值為：0，1，2，3 ， ， ， ， 所以的分布列為 X 0 1 2 3 P 所以. 方法二：設(shè)事件“隨機(jī)抽取一人體育鍛煉達(dá)標(biāo)”，事件“隨機(jī)抽取一人體能測(cè)試合格”，則，，，. 所以. 因?yàn)? 所以，. 所以. 18．(1) (2) 【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程求解即可； （2）由為等差數(shù)列得出或，再由等差數(shù)列的性質(zhì)可

20、得，分類(lèi)討論即可得解. 【詳解】（1），，解得， ， 又， ， 即，解得或（舍去）， . （2）為等差數(shù)列， ，即， ，即，解得或， ，， 又，由等差數(shù)列性質(zhì)知，，即， ，即，解得或（舍去） 當(dāng)時(shí)，，解得，與矛盾，無(wú)解； 當(dāng)時(shí)，，解得. 綜上，. 19．(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）由已知可得，，求解即可； （2）分直線斜率是否存在兩種情況討論，若直線斜率存在，設(shè)方程為．設(shè)，，聯(lián)立方程組可得，由可得，進(jìn)而可得弦長(zhǎng)，利用換元法可求最小值； （3）r為點(diǎn)O到直線PM的距離，結(jié)合（2）的結(jié)論，可求. 【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，

21、 由雙曲線定義可得，， 故，又． 所以，． 所以的方程為． （2）①若直線斜率不存在，則設(shè)，則， 因?yàn)?，所以? 所以，所以． 所以． ②若直線斜率存在，設(shè)方程為．設(shè)，． 聯(lián)立，消去y整理得，， 則． 由韋達(dá)定理，得， 于是，即． 故． 令，則，． 所以． 因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，． 綜上，的最小值為． （3）如圖所示，設(shè)PM、PN與圓O的切點(diǎn)分別為E、F，則． 又，則． 所以，所以． 取MN中點(diǎn)Q，若O和Q不重合，則． 所以． 又因?yàn)镸、N在橢圓上， 則，所以， 所以，所以， 又，，所以．矛盾．所以O(shè)和Q重合，即M、N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．所以． 設(shè)直線的方程為，則r為點(diǎn)O到直線PM的距離， 所以．由（2）可知，， 故，即． 又當(dāng)MN斜率不存在時(shí)，也成立． 綜上，． 所以存在存在定圓滿足條件，此時(shí). 【點(diǎn)睛】解析幾何承載著考查數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的功能，“多想少算”絕非“空想不算”．用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題是解析幾何的核心，適度地挖掘幾何性質(zhì)可減少一定的計(jì)算．