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1、二次根式
1.二次根式:式子(≥0)叫做二次根式。
2.最簡二次根式:必須同時滿足下列條件:
⑴被開方數(shù)中不含開方開的盡的因數(shù)或因式; ⑵被開方數(shù)中不含分母;⑶分母中不含根式。
3.同類二次根式:
二次根式化成最簡二次根式后,若被開方數(shù)相同,則這幾個二次根式就是同類二次根式。
(>0)
(<0)
0 (=0);
4.二次根式的性質(zhì):
(1)()2= (≥0); (2)
5.二次根式的運算:
(1)因式的外移和內(nèi)移:如果被開方數(shù)中有的因式能夠開得盡方,那么,就可以用它的算術(shù)根代替而移到根號外面;如果被開方數(shù)是代數(shù)和的形式,那么先解因式,變
2、形為積的形式,再移因式到根號外面,反之也可以將根號外面的正因式平方后移到根號里面.
(2)二次根式的加減法:先把二次根式化成最簡二次根式再合并同類二次根式.
(3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),將被開方數(shù)相乘(除),所得的積(商)仍作積(商)的被開方數(shù)并將運算結(jié)果化為最簡二次根式.
=(a≥0,b≥0); (b≥0,a>0).
(4)有理數(shù)的加法交換律、結(jié)合律,乘法交換律及結(jié)合律,乘法對加法的分配律以及多項式的乘法公式,都適用于二次根式的運算.
【典型例題】
(2)、平方法
當時,①如果,則;②如果,則。
例1、比較與的大小。 例2、比較與的大
3、小。
(3)、分母有理化法通過分母有理化,利用分子的大小來比較。
例3、比較與的大小。
一. 利用二次根式的雙重非負性來解題((a≥0),即一個非負數(shù)的算術(shù)平方根是一個非負數(shù)。)
1.下列各式中一定是二次根式的是( )。 A、; B、; C、; D、
2.x取何值時,下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義。
(1) (2) (3) (6)(7)若,則x的取值范圍是
3.若有意義,則m能取的最小整數(shù)值是 ;若是一個正整數(shù),則正整數(shù)m的最小值是________.
4.當x為何整數(shù)時,有最小整數(shù)值,這個最小整數(shù)值為
4、 。
5. 若,則=_____________;若,則
6.設(shè)m、n滿足,則= 。
8. 若三角形的三邊a、b、c滿足=0,則第三邊c的取值范圍是
二.利用二次根式的性質(zhì)=|a|=(即一個數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個數(shù)的絕對值)來解題
1.已知=-x,則( ) A.x≤0 B.x≤-3 ?。?x≥-3 D.-3≤x≤0
2..已知a
5、 C、x≥1 D、x≤4
4.已知a,b,c為三角形的三邊,則=
5. 當-3
6、
5. +++…+
(二)先化簡,后求值:
1. 直接代入法:已知 求(1) (2)
2.變形代入法:
(1)變條件:已知:,求的值。
(2)變結(jié)論:
已知,,(1)求的值 (2)求的值
五.關(guān)于求二次根式的整數(shù)部分與小數(shù)部分的問題
1.估算-2的值在哪兩個數(shù)之間( )A.1~2 B.2~3 C. 3~4 D.4~5
2.若的整數(shù)部分是a,小數(shù)部分是b,則
六.二次根式的比較大小
(1) (2)-5 (3)
七.實數(shù)范圍內(nèi)因式分解: 1. 9x2-5y2 2. 4x4-4x2+1 3. x4+x2-6
19. 已知:,求的值。
20. 已知:為實數(shù),且,化簡:。
21. 已知的值。
5