2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理學(xué)案【含解析】新人教A版必修4

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1、 2．3.1　平面向量基本定理 平面向量基本定理 　　[提出問題] 問題1：在物理中，我們學(xué)習(xí)了力的分解，即一個力可以分解為兩個不同方向的力，試想：平面內(nèi)的任一向量是否可以分解為其他兩個向量的和？ 提示：可以． 問題2：如果e1，e2是兩個不共線的確定向量，那么與e1，e2在同一平面內(nèi)的任一向量a能否用e1，e2表示？根據(jù)是什么？ 提示：可以．根據(jù)是數(shù)乘向量和平行四邊形法則． 問題3：如果e1，e2是共線向量，那么向量a能否用e1，e2表示？為什么？ 提示：不一定．當(dāng)a與e1共線時可以表示，否則不能表示． [導(dǎo)入新知] 平面向量基本定理 條件 e1，e2是同一

2、平面內(nèi)的兩個不共線向量 結(jié)論 這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 基底 不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底 [化解疑難] 理解平面向量基本定理應(yīng)關(guān)注的三點 (1)只要是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量都可作為一組基底，所以基底的選取不唯一． (2)零向量與任一向量都共線，因此零向量不能作為基底． (3)λ1，λ2是唯一的. 兩向量的夾角 [提出問題] 問題1：平面中的任意兩個向量都可以平移至公共起點，它們存在夾角嗎？ 提示：存在． 問題2：若上題中的結(jié)論為存在夾角，向量的夾角與直線的夾角一樣嗎？ 提示

3、：不一樣． [導(dǎo)入新知] 向量的夾角 條件 兩個非零向量a和b 產(chǎn)生過程 作向量＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角 范圍 [0，π] 特殊 情況 θ＝0 a與b同向 θ＝90 a與b垂直，記作a⊥b θ＝180 a與b反向 [化解疑難] 正確理解向量的夾角 (1)向量夾角的幾何表示： 依據(jù)向量夾角的定義，兩非零向量的夾角是將兩個向量的起點移到同一點，這樣它們所成的角才是兩向量的夾角．如圖①②③④⑤，已知兩向量a，b，作＝a，＝b，則∠AOB為a與b的夾角． (2)注意事項： ①向量的夾角是針對非零向量定義的． ②向量的夾角和直線

4、的夾角范圍是不同的，它們分別是[0，π]和. 用基底表示向量 [例1]　如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分別是DC，AB的中點，若＝a，＝b，試用a，b表示，，. [解]　如圖所示，連接CN，則四邊形ANCD是平行四邊形． 則＝＝＝a； ＝－＝－＝b－a； ＝－＝－－ ＝－－＝a－b. [類題通法] 用基底表示向量的方法 將兩個不共線的向量作為基底表示其他向量，基本方法有兩種：一種是運用向量的線性運算法則對待求向量不斷進行轉(zhuǎn)化，直至用基底表示為止；另一種是通過列向量方程或方程組的形式，利用基底表示向量的唯一性求解． [活學(xué)活用]

5、如圖所示，已知在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC， DC邊的中點．若＝a，＝b，試用a，b為基底表示向量，. 答案：＝a－b；＝b－a 向量夾角的簡單求解 [例2]　已知|a|＝|b|＝2，且a與b的夾角為60，則a＋b與a的夾角是多少？a－b與a的夾角又是多少？ [解]　如圖所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60. 以，為鄰邊作平行四邊形OACB，則＝a＋b，＝a－b. 因為|a|＝|b|＝2，所以平行四邊形OACB是菱形．又因為∠AOB＝60，所以與的夾角為30，與的夾角為60. 即a＋b與a的夾角是30，a－b與a的夾角是60. [類題通法] 求兩個向量夾角的方法

6、 求兩個向量的夾角，關(guān)鍵是利用平移的方法使兩個向量的起點重合，根據(jù)向量夾角的概念確定夾角，再依據(jù)平面圖形的知識求解向量的夾角．過程簡記為“一作二證三算”． [活學(xué)活用] 如圖，已知△ABC是等邊三角形． (1)求向量與向量的夾角； (2)若E為BC的中點，求向量與的夾角． 答案：(1)120　(2)90 平面向量基本定理的唯一性及其應(yīng)用 [例3]　(1)設(shè)向量e1與e2不共線，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，則實數(shù)x，y的值分別為(　　) A．0,0　　　　　　　　　 　B．1,1 C．3,0 D．3,4 (2)在?ABCD中，E和F

7、分別是邊CD和BC的中點．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，求λ＋μ的值． [解]　(1)D (2)設(shè)＝a，＝b，則＝a＋b，＝b＋a，＝a＋b，所以＝λ＋μ＝λ＋μ＝b＋a＝a＋b.又因為a，b不共線，所以解得λ＝μ＝，所以λ＋μ＝. [類題通法] 1．平面向量基本定理唯一性的應(yīng)用 設(shè)a，b是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，則 2．重要結(jié)論 設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基底， 當(dāng)λ1e1＋λ2e2＝0時 恒有λ1＝λ2＝0 若a＝λ1e1＋λ2e2 當(dāng)λ2＝0時，a與e1共線 當(dāng)λ1＝0時，a與e2共線 λ1＝λ2＝0時，a＝0 [活學(xué)活用

8、] 若向量a，b不共線，且c＝2a－b，d＝3a－2b，試判斷c，d能否作為基底． 答案：c，d能作為基底． 　　　　5．平面向量基本定理的應(yīng)用　　 [典例]　(12分)如圖，在△ABC中，點M是邊BC的中點，點N在邊AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點P，求AP∶PM的值． [解題流程] [規(guī)范解答] 設(shè)＝e1，＝e2， 則＝＋＝－3e2－e1， ＝＋＝2e1＋e2.(2分) ∵A，P，M和B，P，N分別共線， ∴存在實數(shù)λ，μ， 使得＝λ＝－λe1－3λe2，(4分) ＝μ＝2μe1＋μe2.(6分) 故＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋

9、μ)e2. 而＝＋＝2e1＋3e2，(8分) 由平面向量基本定理， 得 解得(10分) ∴＝，∴AP∶PM＝4∶1.(12分) [名師批注] 選取恰當(dāng)?shù)幕资墙鉀Q此類問題的前提．若不能根據(jù)題意選出基底或設(shè)出基向量，則后續(xù)推導(dǎo)無法進行． 利用A，P，M和B，P，N分別共線建立＝λ，＝μ是解決本題的關(guān)鍵，也是解決此類問題的常用方法． 由平面向量基本定理的唯一性建立關(guān)于λ，μ的方程組，求出λ，μ的值，即可求出與的關(guān)系，進而求出AP∶PM的值． [活學(xué)活用] 如圖，△ABC中，D為BC的中點，G為AD的中點，過點G任作一直線MN分別交AB，AC于

10、M，N兩點，若＝x，＝y(tǒng)，試問：＋是否為定值？ 答案：＋＝4，為定值． [隨堂即時演練] 1．設(shè)O是平行四邊形ABCD兩對角線的交點，下列向量組：①與；②與；③與；④與，其中可作為這個平行四邊形所在平面的基底的是(　　) A．①②　　　　　　　　 　B．①③ C．①④ D．③④ 答案：B 2．已知?ABCD中，∠DAB＝30，則與的夾角為(　　) A．30 B．60 C．120 D．150 答案：D 3．如圖，C，D是△AOB中邊AB的三等分點，設(shè)＝e1，＝e2，以e1，e2為基底來表示＝________，＝________. 答案：e1＋e2　e1

11、＋e2 4．已知e1，e2不共線，且a＝ke1－e2，b＝e2－e1，若a，b不能作為基底，則k等于________． 答案：1 5．梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分別是DA，BC的中點，且＝k，設(shè)＝e1，＝e2，以e1，e2為基底表示向量. 答案：＝e1＋(k－1)e2 [課時達標(biāo)檢測] 一、選擇題 1．如果e1，e2是平面α內(nèi)兩個不共線的向量，那么下列說法中不正確的是(　　) ①λe1＋μ e2(λ，μ∈R)可以表示平面α內(nèi)的所有向量； ②對于平面α內(nèi)任一向量a，使a＝λe1＋μ e2的實數(shù)對(λ，μ)有無窮多個； ③若向量λ1e1＋μ1e2與λ2e1＋μ2e2共線

12、，則有且只有一個實數(shù)λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)； ④若實數(shù)λ，μ使得λe1＋μe2＝0，則λ＝μ＝0. A．①②　　　　　　 　B．②③ C．③④ D．② 答案：B 2．已知e1，e2是表示平面內(nèi)所有向量的一組基底，那么下面四組向量中，不能作為一組基底的是(　　) A．e1，e1＋e2 B．e1－2e2，e2－2e1 C．e1－2e2,4e2－2e1 D．e1＋e2，e1－e2 答案：C 3．如圖，在矩形ABCD中，若＝5e1，＝3e2，則＝(　　) A.(5e1＋3e2) B.(5e1－3e2) C.(3e2－5e1) D.(5

13、e2－3e1) 答案：A 4．AD與BE分別為△ABC的邊BC，AC上的中線，且＝a，＝b，則＝(　　) A.a＋b B.a＋b C.a－b D．－a＋b 答案：B 5．A，B，O是平面內(nèi)不共線的三個定點，且＝a，＝b，點P關(guān)于點A的對稱點為Q，點Q關(guān)于點B的對稱點為R，則PR―→等于(　　) A．a(chǎn)－b B．2(b－a) C．2(a－b) D．b－a 答案：B 二、填空題 6．已知非零向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，向量a，b的夾角為120，且|b|＝2|a|，則向量a與c的夾角為________． 答案：90 7．如圖，在△ABC中，AB＝2，BC＝3

14、，∠ABC＝60，AH⊥BC于點H，M為AH的中點．若＝λ＋μ，則λ＋μ＝________. 答案： 8．設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，則向量e1＋e2可以表示為另一組基向量a，b的線性組合，即e1＋e2＝________. 答案：a－b 三、解答題 9．設(shè)e1，e2是不共線的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)證明：a，b可以作為一組基底； (2)以a，b為基底，求向量c＝3e1－e2的分解式； (3)若 4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值． 解：(1)證明：若a，b共線，則存在λ∈R，使a＝λb，

15、則e1－2e2＝λ(e1＋3e2)． 由e1，e2不共線，得? ∴λ不存在，故a與b不共線，可以作為一組基底． (2)設(shè)c＝ma＋nb(m，n∈R)，則 3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2) ＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2. ∴? ∴c＝2a＋b. (3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得 4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2) ＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2. ∴? 故所求λ，μ的值分別為3和1. 10．如圖，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E、F分別是DC、AB的中點，設(shè)＝a，＝b，試用a，b表示，，. 解：∵DC∥AB，AB＝2DC，E、F分別是DC、AB的中點， ∴＝＝a，＝＝＝b. ＝＋＋ ＝－－＋ ＝－b－a＋b＝b－a. 11.如圖，平面內(nèi)有三個向量，，，其中與的夾角為120，與的夾角為30，且||＝||＝1， ||＝2，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，求λ＋μ的值． 解：如圖，以O(shè)A，OB所在射線為鄰邊，OC為對角線作平行四邊形ODCE，則＝＋. 在Rt△OCD中， ∵||＝2， ∠COD＝30，∠OCD＝90， ∴||＝4，||＝2， 故＝4，＝2， 即λ＝4，μ＝2， ∴λ＋μ＝6. - 10 -