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1、分式方程與無(wú)理方程(非常規(guī))
練習(xí):
例1、求方程x+ Xx =4+6的實(shí)數(shù)解
例 2、解方程也 x+x b = a a b (a >b)
例3、解方程
例 4、解方程 xx +2jy +3，z =- (x+y+z)
例5、解方程x x+J x = V +4
例6、求方程的整數(shù)解 2 Jx +，y = V
x x x 一
例 7、已知實(shí)數(shù) xi, x2, ???xn滿足 = =???=一n—
x x xn
xi +x2+???xn+ — + — +???+ —=— 。 求 xi
x x x
、一 lx .
1、方程 x - — =-L的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為 個(gè)
x
2、x
2、如果 a+b-2 於-4 Vb =3^C- - c-5 ,貝U a+b+c 的值為
3、若方程Jx p =x有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù) p的取值范圍是
4、若實(shí)數(shù) x, y, z 滿足 x+ — =4, y+—=1, z+—=—,則 xyz 的值為
5、滿足x、；y + Jx y- J x - J y +J xy =2003的正整數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)
是
6、已知一-|a =1,那么代數(shù)式 一+ a的值為
7、對(duì)于x的哪些實(shí)數(shù)值，等式 Jx J2x 1 +
3、a+ — =b+ - =c+ — =d+ — =x,
試求x的值
例9、已知關(guān)于x的方程(a2-1 ) ( )2-(2a+7)( )+1=0有實(shí)數(shù)根
(1)求a的取值范圍
(2)若原方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為 xi,x 2,且-^― + ——=一,求a的值
x x
例3、解方程
分式方程與無(wú)理方程
解：顯然x> 1.方程兩邊乘以2后，移項(xiàng)配方，有
解分式方程與無(wú)理方程時(shí)，主要用到的技巧有觀察法、配方法、換元法、 數(shù)形結(jié)合法、韋
4、達(dá)定理法、方程的不等式解法等。解題時(shí)，要注意從方法技巧 的角度去提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。
例1、求方程x+JX =4+、廠的實(shí)數(shù)解
解：顯然x>2,觀察方程兩邊，取 x _ 得x=4
=(x ? l；x 7 + (x )
.x
令y= xx ,則原方程變形為 y +y —(2 + J )=0 ,此方程有兩個(gè)異號(hào)
=(,x — -1 ) 2+ ( Jx
\ x
的實(shí)根，從而有唯一的非負(fù)根。
經(jīng)檢驗(yàn)知，x=4是原方程的實(shí)數(shù)解.
由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，得
例 2、解方程"a x + Jx b=Ja—b (a >b)
解：顯然有bwxwa,
觀察知，xi=a, x2=b是原
5、方程的解.
平方得，x2-x-1=0 ,取不小于1的根，得x=
當(dāng) bvxva 時(shí)，有 Ja x >0, vx b >0
V
經(jīng)檢驗(yàn)知，x= 是原方程的解
以da x、Jx7行為直角邊作直角三角形，則斜邊為 7a b
由三角形任意兩邊之和大于第三邊得， Ja x+"x b > Va b
所以除xi=a, x2=b外，原方程再無(wú)實(shí)數(shù)解
例 4、解方程 Jx +2《y +3/z =- (x+y+z)
經(jīng)檢驗(yàn)知，xi=a, x2=b是原方程的解
解：配方得，(Vx-1)2+( 6-2)2+ ( vz -3 )
2=0
說(shuō)明：觀察法解方程的缺點(diǎn)是有時(shí)會(huì)減根， 因此在用觀察法初
6、步得出方程
的解之后，還要全面考慮，找到方程的全部解。
,X x
由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得， Vy — ,得y
z z
X
經(jīng)檢驗(yàn)知， y 是原方程的解.
z
例 5、解方程 X X+J X=J + y!~
解：平方得，, X? X =
??? 7―X、X―X是二次方程t2-（ 6 +『）t+
7、<2b2<8, ?1. b2只能取 0, 1, 4 當(dāng)b2=0時(shí)，xi=0，代入①，得yi=16 當(dāng)b2=1時(shí)，X2=2，代入①，得y2=4 當(dāng)b2=4時(shí)，X3=8，代入①，得y3=0 經(jīng)檢驗(yàn)知，它們是原方程的解
例 7、已知實(shí)數(shù) X1, X2, ???Xn滿足一X—=—X一=???= Xn , X X Xn
X1+X2+???Xn+ 1 +???+ =
X X X n
求X1
解：—X—=—X—=???= Xn ,
X X Xn
X X - Xn -
= =???= X1+——=X2+—— =???=Xn+ ——
X X Xn X X Xn
又「 X1 +X2+
8、???Xn+ + +??? + =
X X Xn
1- n(X 1+——)=一 1- nX12- — X1+n=0
X
X1 為實(shí)數(shù)，，△ = (- - ) -4n > 0, 解得 nW —,又「 n R1
??? 16+2X-y為整數(shù)，，G 為整數(shù)，設(shè)X=2b2 （b為整數(shù)），代入②得,
「?取 n=1 X1+——=
X
解得X1=3或一
經(jīng)檢驗(yàn)知，它們是原方程的解
即a>-— 且aw12] 時(shí)，原方程有實(shí)數(shù)解
解：— =x-a , b=x--
同理得(x-c)( x- - )=1
整理得，x+acx=a+c
又「(x-a)
9、( x- -)=1
把①代入②得，cx2=2c
例8、已知實(shí)數(shù) a, b, c, d互不相等，且 a+ —=b+_ =c+— =d+_ =x,
試求x的值
(x-a)( x- - )=1
? ?(x-a)( x- 一 )=(x-c)( x- -)
①
x2- - —ax+ a =1 ②
c c
. cw0, ? . x2=2, x=
例9、已知關(guān)于x的方程(a2-1 ) ( —x- )2-(2a+7)( —x- )+1=0有實(shí)數(shù)根
(1)求a的取值范圍
(2)若原方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為 x1,x 2,且-x— + —x一 =—,求a的值
x x
解：(1)若 x
10、w1,則原方程可轉(zhuǎn)化為(a2-1 ) x2-(2a+7)x(x-1)+(x-1) 2=0
整理得，(a2-2a-7 ) x2+(2a+5)x+1=0
①若 a2-2a-7=0 ,即 a=12 4 時(shí)，有 x=-
a
顯然2a+5=7 4w 0,同時(shí)xw1,
由①、②知，當(dāng)a>-一時(shí)，原方程有實(shí)數(shù)解
(2)由題設(shè)知， —x一，—x一 是方程(a2-1 ) t2-(2a+7)t+ 1=0 的兩個(gè)根,
a o
由韋達(dá)定理，得 ——=— 「? 3a2-22a-80=0
a
解得 a1=10 a 2=—— 又由(1)知 a> ,而-- v ，a2=--應(yīng)舍去，只取 a=10
鞏
11、固練習(xí)：
」 |x
1、方程 x - — =L的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為 個(gè)
x x
答：1
2、如果 a+b-2 JO --4 Jb =3VC - - - c-5 ,貝U a+b+c 的值為
答：20
3、若方程卜 P =x有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù) p的取值范圍是
答：0W pv —
當(dāng)a=1 2 V時(shí)，原方程有實(shí)數(shù)解
②若 a2-2a-7 W0,當(dāng)^ = (2a+5) 2-4(a 2-2a-7 ) >0,
4、若實(shí)數(shù) x, y, z滿足 x+ —=4, y+ — =1, z+ — =—,則 xyz 的值為
答：1
5、滿足xy + xx y-j x - y +、 xy =2003的正整數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)
是
答：2
6、已知一-a =1,那么代數(shù)式 一+ a的值為
答：?
7、對(duì)于x的哪些實(shí)數(shù)值，等式 &+Jx x x =qL成立?
答：一WxWl
答：x=
分式方程與無(wú)理方程(非常規(guī))
