分式方程與無理方程(非常規(guī))

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1、分式方程與無理方程(非常規(guī)) 練習(xí): 例1、求方程x+ Xx =4+6的實(shí)數(shù)解 例 2、解方程也 x+x b = a a b (a >b) 例3、解方程 例 4、解方程 xx +2jy +3，z =- (x+y+z) 例5、解方程x x+J x = V +4 例6、求方程的整數(shù)解 2 Jx +，y = V x x x 一 例 7、已知實(shí)數(shù) xi, x2, ???xn滿足 = =???=一n— x x xn xi +x2+???xn+ — + — +???+ —=— 。 求 xi x x x 、一 lx . 1、方程 x - — =-L的實(shí)數(shù)根的個數(shù)為 個 x

2、x 2、如果 a+b-2 於-4 Vb =3^C- - c-5 ,貝U a+b+c 的值為 3、若方程Jx p =x有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù) p的取值范圍是 4、若實(shí)數(shù) x, y, z 滿足 x+ — =4, y+—=1, z+—=—,則 xyz 的值為 5、滿足x、；y + Jx y- J x - J y +J xy =2003的正整數(shù)對的個數(shù) 是 6、已知一-|a =1,那么代數(shù)式 一+ a的值為 7、對于x的哪些實(shí)數(shù)值，等式 Jx J2x 1 +

3、a+ — =b+ - =c+ — =d+ — =x, 試求x的值 例9、已知關(guān)于x的方程(a2-1 ) ( )2-(2a+7)( )+1=0有實(shí)數(shù)根 (1)求a的取值范圍 (2)若原方程的兩個實(shí)數(shù)根為 xi,x 2,且-^― + ——=一,求a的值 x x 例3、解方程 分式方程與無理方程 解：顯然x> 1.方程兩邊乘以2后，移項(xiàng)配方，有 解分式方程與無理方程時，主要用到的技巧有觀察法、配方法、換元法、 數(shù)形結(jié)合法、韋

4、達(dá)定理法、方程的不等式解法等。解題時，要注意從方法技巧 的角度去提高分析問題、解決問題的能力。 例1、求方程x+JX =4+、廠的實(shí)數(shù)解 解：顯然x>2,觀察方程兩邊，取 x _ 得x=4 =(x ? l；x 7 + (x ) .x 令y= xx ,則原方程變形為 y +y —(2 + J )=0 ,此方程有兩個異號 =(,x — -1 ) 2+ ( Jx \ x 的實(shí)根，從而有唯一的非負(fù)根。 經(jīng)檢驗(yàn)知，x=4是原方程的實(shí)數(shù)解. 由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，得 例 2、解方程"a x + Jx b=Ja—b (a >b) 解：顯然有bwxwa, 觀察知，xi=a, x2=b是原

5、方程的解. 平方得，x2-x-1=0 ,取不小于1的根，得x= 當(dāng) bvxva 時，有 Ja x >0, vx b >0 V 經(jīng)檢驗(yàn)知，x= 是原方程的解 以da x、Jx7行為直角邊作直角三角形，則斜邊為 7a b 由三角形任意兩邊之和大于第三邊得， Ja x+"x b > Va b 所以除xi=a, x2=b外，原方程再無實(shí)數(shù)解 例 4、解方程 Jx +2《y +3/z =- (x+y+z) 經(jīng)檢驗(yàn)知，xi=a, x2=b是原方程的解 解：配方得，(Vx-1)2+( 6-2)2+ ( vz -3 ) 2=0 說明：觀察法解方程的缺點(diǎn)是有時會減根， 因此在用觀察法初

6、步得出方程 的解之后，還要全面考慮，找到方程的全部解。 ,X x 由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得， Vy — ,得y z z X 經(jīng)檢驗(yàn)知， y 是原方程的解. z 例 5、解方程 X X+J X=J + y!~ 解：平方得，, X? X = ??? 7―X、X―X是二次方程t2-（ 6 +『）t+

7、<2b2<8, ?1. b2只能取 0, 1, 4 當(dāng)b2=0時，xi=0，代入①，得yi=16 當(dāng)b2=1時，X2=2，代入①，得y2=4 當(dāng)b2=4時，X3=8，代入①，得y3=0 經(jīng)檢驗(yàn)知，它們是原方程的解 例 7、已知實(shí)數(shù) X1, X2, ???Xn滿足一X—=—X一=???= Xn , X X Xn X1+X2+???Xn+ 1 +???+ = X X X n 求X1 解：—X—=—X—=???= Xn , X X Xn X X - Xn - = =???= X1+——=X2+—— =???=Xn+ —— X X Xn X X Xn 又「 X1 +X2+

8、???Xn+ + +??? + = X X Xn 1- n(X 1+——)=一 1- nX12- — X1+n=0 X X1 為實(shí)數(shù)，，△ = (- - ) -4n > 0, 解得 nW —,又「 n R1 ??? 16+2X-y為整數(shù)，，G 為整數(shù)，設(shè)X=2b2 （b為整數(shù)），代入②得, 「?取 n=1 X1+——= X 解得X1=3或一 經(jīng)檢驗(yàn)知，它們是原方程的解 即a>-— 且aw12] 時，原方程有實(shí)數(shù)解 解：— =x-a , b=x-- 同理得(x-c)( x- - )=1 整理得，x+acx=a+c 又「(x-a)

9、( x- -)=1 把①代入②得，cx2=2c 例8、已知實(shí)數(shù) a, b, c, d互不相等，且 a+ —=b+_ =c+— =d+_ =x, 試求x的值 (x-a)( x- - )=1 ? ?(x-a)( x- 一 )=(x-c)( x- -) ① x2- - —ax+ a =1 ② c c . cw0, ? . x2=2, x= 例9、已知關(guān)于x的方程(a2-1 ) ( —x- )2-(2a+7)( —x- )+1=0有實(shí)數(shù)根 (1)求a的取值范圍 (2)若原方程的兩個實(shí)數(shù)根為 x1,x 2,且-x— + —x一 =—,求a的值 x x 解：(1)若 x

10、w1,則原方程可轉(zhuǎn)化為(a2-1 ) x2-(2a+7)x(x-1)+(x-1) 2=0 整理得，(a2-2a-7 ) x2+(2a+5)x+1=0 ①若 a2-2a-7=0 ,即 a=12 4 時，有 x=- a 顯然2a+5=7 4w 0,同時xw1, 由①、②知，當(dāng)a>-一時，原方程有實(shí)數(shù)解 (2)由題設(shè)知， —x一，—x一 是方程(a2-1 ) t2-(2a+7)t+ 1=0 的兩個根, a o 由韋達(dá)定理，得 ——=— 「? 3a2-22a-80=0 a 解得 a1=10 a 2=—— 又由(1)知 a> ,而-- v ，a2=--應(yīng)舍去，只取 a=10 鞏

11、固練習(xí)： 」 |x 1、方程 x - — =L的實(shí)數(shù)根的個數(shù)為 個 x x 答：1 2、如果 a+b-2 JO --4 Jb =3VC - - - c-5 ,貝U a+b+c 的值為 答：20 3、若方程卜 P =x有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù) p的取值范圍是 答：0W pv — 當(dāng)a=1 2 V時，原方程有實(shí)數(shù)解 ②若 a2-2a-7 W0,當(dāng)^ = (2a+5) 2-4(a 2-2a-7 ) >0, 4、若實(shí)數(shù) x, y, z滿足 x+ —=4, y+ — =1, z+ — =—,則 xyz 的值為 答：1 5、滿足xy + xx y-j x - y +、 xy =2003的正整數(shù)對的個數(shù) 是 答：2 6、已知一-a =1,那么代數(shù)式 一+ a的值為 答：? 7、對于x的哪些實(shí)數(shù)值，等式 &+Jx x x =qL成立? 答：一WxWl 答：x=