函數(shù)的極值與最值

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1、,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第

2、四級(jí),第五級(jí),*,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,*,*,二、最大值與最小值問題,一、函數(shù)的極值及其求法,第五節(jié),函數(shù)的極值與最值,第三章,函數(shù)的極值及其求法,由單調(diào)性的判定法則，結(jié)合函數(shù)的圖形可知，曲線在升、降轉(zhuǎn)折點(diǎn)處形成“峰”、“谷”，函數(shù)在這些點(diǎn)處的函數(shù)值大于或小于兩側(cè)附近各點(diǎn)處的函數(shù)值。函數(shù)的這種性態(tài)以及這種點(diǎn)，無(wú)論在理論上還是在實(shí)際應(yīng)用上都具有重要的意義，值得我們作一般性的討論。,一、函數(shù)極值的定義,定義,函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為,極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為,極值點(diǎn),.,二、函數(shù)極值的求法,定理,1,(,必要條件,),定義,

3、注意,:,例如,注,這個(gè)結(jié)論又稱為,Fermat,定理,如果一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)在所論區(qū)間上沒有駐點(diǎn),則此函數(shù)沒有極值，此時(shí)導(dǎo)數(shù)不改變符號(hào),不可導(dǎo)點(diǎn)也可能是極值點(diǎn),極值可疑點(diǎn)：,駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn),極值可疑點(diǎn)是否是真正的極值點(diǎn)，還須進(jìn)一步,判明。由單調(diào)性判定法則知，若極值可疑點(diǎn)的左、右兩側(cè)鄰近，導(dǎo)數(shù)分別保持一定的符號(hào)，則問題即可得到解決。,定理,2(,第一充分條件,),(,是極值點(diǎn)情形,),求極值的步驟,:,(,不是極值點(diǎn)情形,),例1,解,列表討論,極大值,極小值,圖形如下,定理,3(,第二充分條件,),證,例2,解,圖形如下,注意,:,例3,解,注,:,函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是函數(shù)的極值點(diǎn),.,例,4

4、,證,（不易判明符號(hào)）,而且是一個(gè)最大值點(diǎn)，,利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)證明不等式是一種常用的,技巧,它包含以下幾個(gè)部分,:,利用微分中值定理,利用泰勒公式,(,二階以上的,),利用函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性,利用函數(shù)的極值和最值,充分條件來(lái)判定有無(wú)極值,;,對(duì)于只有駐點(diǎn)而沒有導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),可用第二充分條件判斷有無(wú)極值,.,運(yùn)用極值第一、第二充分條件需要注意,:,若函數(shù)有導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)時(shí),則可用第一,(1),(2),則,最大值、最小值問題,在生產(chǎn)實(shí)踐中，為了提高經(jīng)濟(jì)效益，必須要考慮在一定的條件下，怎樣才能使用料最省，費(fèi)用最低，效率最高，收益最大等問題。這類問題在數(shù)學(xué)上統(tǒng)統(tǒng)歸結(jié)為求函數(shù)的最大值或最小值問題。最值

5、問題主要討論問題的兩個(gè)方面：最值的存在性；最值的求法。,假定,f,(,x,),在,a,b,上連續(xù)，除去有限個(gè)點(diǎn)外處處可導(dǎo)，且至多有有限個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為,0,。我們就在這樣的條件下討論,f,(,x,),在,a,b,上的最值的求法。,一、最值的求法,首先由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),f,(,x,),在,a,b,上必存在最大值和最小值,其次，若最大值（或最小值）在開區(qū)間內(nèi)取得，,則這個(gè)最值一定是 極值，由假定，這個(gè)點(diǎn)一定是駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)；此外最值也可能在區(qū)間的端點(diǎn)處取得，故求連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上最值的方法是,(1),其中最大(小)者,求連續(xù)函數(shù),f,(,x,),在閉區(qū)間,a,b,上的最大,(,小,),值的方法

6、,:,將閉區(qū)間,a,b,內(nèi)所有駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的,區(qū)間端點(diǎn),的,就是,f,(,x,),最值必在端,(2),點(diǎn)處達(dá)到,.,點(diǎn),(,即為,極值可疑點(diǎn),),處的函數(shù)值和,函數(shù)值,f,(,a,),f,(,b,),比較,在閉區(qū)間,a,b,上的最大,(,小,),值,.,當(dāng),f,(,x,),在閉區(qū)間,a,b,上,單調(diào),時(shí),(3),(4),若連續(xù)函數(shù),f,(,x,),在區(qū)間,I,內(nèi)只有,一個(gè)極值點(diǎn),為極大(小)值,區(qū)間,I,上的最大,(,小,),值,.,對(duì)實(shí)際問題常?？墒孪葦喽ㄗ畲?(,小,),值必在,區(qū)間內(nèi)部取得,如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)又僅有,一個(gè)極值可疑點(diǎn),那末這點(diǎn)處的函數(shù)值就是最,大,(,小,),值,.,

7、二、應(yīng)用舉例,例1,解,計(jì)算,例,2,解,得駐點(diǎn),這些點(diǎn)處的函數(shù)值為：,比較以上各點(diǎn)處的函數(shù)值可知：,練習(xí),解,駐點(diǎn),:,導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),:,最大值,最小值,最大值與最小值,.,實(shí)際問題求最值應(yīng)注意,(1),建立目標(biāo)函數(shù),;,(2),求最值,;,若目標(biāo)函數(shù)只有唯一駐點(diǎn),則該點(diǎn)的函數(shù),值即為所求的最大,(,小,),值,.,例,3.,可口可樂公司要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為 的圓柱體易拉罐飲料瓶,試問易拉罐的半徑和高的比例等于多少時(shí)所用材料最?。?則問題歸結(jié)為求,r,h,在條件,解,:,設(shè),r,h,分別表示半徑和高,下圓柱體飲料瓶的表面積,最小,.,為此，將條件 帶入表達(dá)式,中即得：,由條件,故可口可樂易拉罐

8、飲料瓶的半徑與高的比例為,時(shí)所用的材料最省。,令,例,4,某房產(chǎn)開發(fā)商有,50,套公寓要出租，當(dāng)租金定為每月,1800,元時(shí)，公寓會(huì)全部租出去當(dāng)租金每月增加,100,元時(shí)，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每套每月需花費(fèi),200,元的整修維護(hù)費(fèi)試問房租定為多少可獲得最大收入？,解,設(shè)房租為每月 元，,租出去的房子有 套，,每月總收入為,（唯一駐點(diǎn)）,故每月每套租金為,3500,元時(shí)收入最高。,最大收入為,例,5,解,如圖,解得,小結(jié),極值,是函數(shù)的,局部,概念：可有多個(gè),極大值和極小值；可能,有某個(gè),極小值大于,某個(gè),極大值,.,函數(shù)的極值必在,駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn),取得,.,充分性,判別法,第一

9、充分條件,;,第二充分條件,;,(,注意使用條件,),。,最值,是,整體,概念,.,求實(shí)際問題中的最值的步驟,.,思考題,解答,:,不,一定,.,因?yàn)樽钪迭c(diǎn)不一定是內(nèi)點(diǎn),.,例,在 有最小值，但,O,x,y,1,y=x,試問,為何值時(shí),在,時(shí)取得極值,還是極小,.,解,:,由題意應(yīng)有,又,取得極大值為,練習(xí),1,求出該極值,并指出它是極大,練習(xí),2,解,目標(biāo)函數(shù),得,(1),(2),求最大值點(diǎn),半徑為,R.,求內(nèi)接于球的圓柱體的最大體積,設(shè)球的,設(shè)圓柱體的高為,2,h,底半徑為,r,體積為,V,圓柱體的最大體積一定存在,故,唯一駐點(diǎn),就是最大值點(diǎn),最大體積為,令,得,(,舍去負(fù)值,),唯一駐點(diǎn),費(fèi) 馬,Pierre de Fermat,(1601,1665),費(fèi)馬，法國(guó)數(shù)學(xué)家,.,出身于一個(gè)商人,家庭,.,他的祖父、父親、叔父都從商,.,他,的父親是當(dāng)?shù)氐牡诙?zhí)政官,經(jīng)辦著一個(gè),生意興隆的皮革商店,.,費(fèi)馬畢業(yè)于法國(guó)奧爾良大學(xué)，以律師,為職,.,曾任圖盧茲議會(huì)會(huì)員,享有長(zhǎng)袍貴,族特權(quán),.,精通,6,種語(yǔ)言,.,業(yè)余愛好數(shù)學(xué)并,在數(shù)論、幾何、概率論、微積分等領(lǐng)域內(nèi),作出了創(chuàng)造性的工作,.,費(fèi)馬大定理被稱為“會(huì)下金蛋的母雞”,.,