圓錐曲線性質(zhì)的探討與幾何證明的簡(jiǎn)單應(yīng)用

《圓錐曲線性質(zhì)的探討與幾何證明的簡(jiǎn)單應(yīng)用》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《圓錐曲線性質(zhì)的探討與幾何證明的簡(jiǎn)單應(yīng)用（35頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

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2、,1,輪）,文科數(shù)學(xué),湖南,人教版,*,走進(jìn)高考,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),高中新課標(biāo)總復(fù)習(xí)（第,1,輪）,文科數(shù)學(xué),湖南,人教版,*,本節(jié)完，謝謝聆聽,立足教育，開創(chuàng)未來(lái),Copyright 2004-2009,版權(quán)所有 盜版必究,新課標(biāo)高中一輪總復(fù)習(xí),第十單元,幾何證明選講,第,69,講,圓錐曲線性質(zhì)的探討與幾何證明的簡(jiǎn)單應(yīng)用,1.,了解平行投影的含義，通過(guò)圓柱與平面的位置關(guān)系，體會(huì)平行投影；會(huì)證明平面與圓柱截線是橢圓（特殊情形是圓）,.,2.,通過(guò)觀察平面截圓錐的情境，體會(huì)下面定理：在空間中，取直線,l,為軸，直線,l,與,l,相交于,O,點(diǎn)，其夾角為,l

3、,圍繞,l,旋轉(zhuǎn)得到以,O,為頂點(diǎn)，,l,為母線的圓錐面，任取平面,，若它與軸,l,交角為,(,當(dāng),與,l,平行時(shí)，記,=0),，,則,(1),，平面,與圓錐的交線為橢圓；（,2,）,=,，平面,與圓錐的交線為拋物線；（,3,）,，平面,與圓錐的交線為雙曲線,.,3.,通過(guò)丹迪林雙球探求橢圓的性質(zhì)，加深對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識(shí)，理解平面與空間的統(tǒng)一關(guān)系,.,1.,下列對(duì)于半徑為,4,的圓在已知平面,上的射影的說(shuō)法錯(cuò)誤的是,(),D,A.,射影為線段時(shí)，其長(zhǎng)度為,8,B.,射影為橢圓時(shí)，其短軸長(zhǎng)小于,8,C.,射影為橢圓時(shí)，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,8,D.,射影為圓時(shí)，其直徑為,10,利用射影的概念推理可知,A

4、,、,B,、,C,均正確,而,D,選項(xiàng),射影為圓時(shí),其直徑為,8,故選,D.,2.,如果一個(gè)三角形的平行投影還是一個(gè)三角形，則下列結(jié)論正確的是,(),B,A.,內(nèi)心的平行投影還是內(nèi)心,B.,重心的平行投影還是重心,C.,垂心的平行投影還是垂心,D.,外心的平行投影還是外心,在平行投影時(shí)，垂直關(guān)系與線段長(zhǎng)度不一定都能保持不變，但線段的中點(diǎn)投影后仍是線段的中點(diǎn)，所以重心的平行投影還是重心,.,3.,在空間中，取直線,l,為軸，直線,l,與,l,相交于點(diǎn),O,，夾角為,60,，,l,圍繞,l,旋轉(zhuǎn)得到以,O,為頂點(diǎn)，,l,為母線的圓錐面,.,若平面,與,l,的夾角為,45,，則平面,截圓錐面所得的截

5、線為,.,雙曲線,因?yàn)?4560,，所以截線為雙曲線,.,4.,設(shè)圓柱的底面直徑為,2,，圓柱的截面與圓柱的軸所成的角為,60,，則截得的橢圓的焦距為,.,截得的橢圓的離心率為,cos60=,而橢圓的短半軸長(zhǎng),b,=1,而,=,所以,a,=2,c,所以,a,2,=,b,2,+,c,2,即,(2,c,),2,=1+,c,2,，解得,c,=,，故,2,c,=.,1.,平行投影基本定理,:,不平行于投影線的線段,在平面上的投影仍為,線段上的點(diǎn)分線段的比保持,，端點(diǎn)仍為端點(diǎn),.,2.,平面與圓柱面的截線：若一平面,與圓柱面的軸線所成的角為銳角,，則平面,與圓柱面所截得的曲線是,此橢圓的離心率,e,=,

6、.,線段,不變,橢圓,cos,3.,平面與圓錐面的截線：在空間中，取直線,l,為軸，直線,l,與,l,相交于,O,點(diǎn)，其夾角為,l,圍繞,l,旋轉(zhuǎn)得到以,O,為頂點(diǎn)，,l,為母線的圓錐面,.,任取平面,，若它與軸,l,的交角為,(,當(dāng),與,l,平行時(shí)，記,=0),，則平面,與圓錐的交線為,，其離心率,e,=cos,cos,.,平面,與圓錐的交線為,;,=,平面,與圓錐的交線為,;,平面,與圓錐的交線為,.,圓錐曲線,橢圓,拋物線,雙曲線,4.,圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn),M,到定點(diǎn),F,的距離和它到一條定直線的距離之比是常數(shù),e,.,當(dāng),0,e,1,時(shí)，點(diǎn),M,的軌跡是,；當(dāng),e,1,時(shí)

7、，點(diǎn),M,的軌跡是,;,當(dāng),e,=1,時(shí),點(diǎn),M,的軌跡是,其中定點(diǎn),F,為焦點(diǎn),定直線是相應(yīng)的,.,橢圓,雙曲線,11,拋物線,12,準(zhǔn)線,題型一 投影的概念及應(yīng)用,例,1,一個(gè)圓在一個(gè)平面上的平行投影可能是,(),A.,圓,B.,橢圓,C.,線段,D.,圓或橢圓或線段,D,若圓所在平面與已知平面垂直時(shí)，則其平行投影是線段；若圓所在平面與已知平面平行時(shí)，則其正投影是圓；若圓所在平面與已知面相交時(shí)，則其平行投影是橢圓，故選,D.,一個(gè)平面圖形在一個(gè)平面上的投影既與投影的方式有關(guān)，又與平面圖形所在平面與已知平面的位置關(guān)系有關(guān),.,已知,a,、,b,、,c,、,d,是四條互不重合的直線，且,c,、

8、,d,分別為,a,、,b,在平面,上的射影，給出下面兩組判斷：,第一組：,a,b,，,a,b,；,第二組：,c,d,，,c,d,.,分別從兩組中各選出一個(gè)判斷，使一個(gè)作條件，另一個(gè)作結(jié)論，那么寫出的一個(gè)正確命題是,.,兩平行線在一個(gè)平面上的射影可能仍平行,.,填,.,題型二,圓柱截面的性質(zhì)及應(yīng)用,例,2,證明：長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為,a,，短半軸長(zhǎng)為,b,的橢圓的面積為,ab,.,如圖，橢圓在圓柱底面的平行投影為圓面，可知圓面的半徑為,b,，橢圓面與底圓面所成角為,，,則,cos,=,故,=cos,=,，,所以,S,橢圓,=,S,圓,=,b,2,=,ab,.,S,橢圓,S,圓,本例是利用圓柱形物體的斜截口

9、是橢圓這一定理，通過(guò)恰當(dāng)構(gòu)造而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的論證,.,題型三 平面與圓錐截面的截線的性質(zhì)及應(yīng)用,例,3,一圓錐側(cè)面展開圖為半圓，平面,與圓錐的軸成,45,角，則平面,與該圓錐側(cè)面相交的交線為,(),A.,圓,B.,拋物線,C.,雙曲線,D.,橢圓,D,因?yàn)閳A錐側(cè)面展開圖為半圓，所以圓錐的母線與軸成,30,角，而平面,與圓錐的軸成,45,角，故平面,與該圓錐側(cè)面相交的交線為橢圓,.,正確解答本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確記憶和運(yùn)用圓錐的截面與圓錐的軸所成的角與圓錐母線與軸的夾角的大小關(guān)系與圓錐跟截面交線的類型的對(duì)應(yīng)關(guān)系定理,.,一個(gè)軸截面頂角為,120,的圓錐被一個(gè)與其一條母線垂直的平面,(,不過(guò)圓錐面的頂點(diǎn),)

10、,所截，則截面與圓錐側(cè)面的交線的形狀是,(),A.,橢圓的一部分,B.,拋物線的一部分,C.,雙曲線的一部分,D.,圓的一部分,因?yàn)榻痪€的離心率,e,=,所以交線的形狀是雙曲線的一部分,.,選,C.,C,圓柱、圓錐截線問(wèn)題應(yīng)注意,:(1),選擇恰當(dāng)?shù)妮S截面討論,;(2),截面的傾角對(duì)截線性質(zhì)的影響,.,題型四 幾何證明簡(jiǎn)單應(yīng)用,例,4,在一個(gè)底面半徑為,3,，高為,4,的圓錐內(nèi)有一半徑為,1,的球，求球上的點(diǎn)與底面的距離的最大值,.,由于圓錐與球都是旋轉(zhuǎn)體，所以它們的關(guān)系可以用它們的軸截面來(lái)分析,.,要使球上的點(diǎn)到底面的距離最大，則應(yīng)使球與圓錐面相切,.,如圖是軸截面，則,EF,的長(zhǎng)即為所求的

11、最長(zhǎng)距離,.,設(shè)球心為,O,，則設(shè)圓與母線的切點(diǎn)為,C,OC,SB,.,所以,SOC,SBF,則,=,SB,=5,所以,SO,=,所以,EF,=,SF,-,SO,+,OE,=4-+1=,即該球上的點(diǎn)與底面的距離的最大值為,.,與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的接、切問(wèn)題，通?？梢钥紤]它們的軸截面來(lái)解決，這是圓錐面的截線問(wèn)題的常用處理方法,.,一個(gè)頂角為,60,的圓錐面被一平面,所截，,Dandelin,雙球均在頂點(diǎn),S,的下方,且一個(gè)半徑為,1,另一個(gè)半徑為,5,，則截線的形狀是,，其離心率是,.,由,Dandelin,雙球均在,S,的同側(cè)，可知截線是橢圓，可計(jì)算出橢圓中的參數(shù),a,c,，從而求出離心率,.,(,

12、方法一,),如圖所示的軸截面，,F,1,、,F,2,是截線橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，,所以,2,c,=,F,1,F,2,=,EF,1,+,EF,2,.,因?yàn)?O,1,O,2,=2,O,2,D,-2,O,1,C,=8,易證,Rt,O,1,EF,1,Rt,O,2,EF,2,所以,=,即,=,所以,O,1,E,=.,所以,EF,1,=,EF,2,=,故,2,c,=+=2 ,所以,c,=.,又因?yàn)?BF,1,+,BF,2,=,BC,+,BD,=,CD,所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng),2,a,=,CD,=,=4 ,所以,a,=2 ,故橢圓的離心率,e,=.,(,方法二,),因?yàn)?O,1,EF,1,為截面與軸的夾角,.,所以,c

13、os,=cos,O,1,EF,1,=.,又因?yàn)轫斀菫?60,所以,cos,=cos30=,所以截線的離心率,e,=cos,cos,=.,在復(fù)習(xí)中，對(duì)于,Dandelin,雙球與圓錐面的幾何關(guān)系，及它們的運(yùn)算關(guān)系要有所了解，此類問(wèn)題可鍛煉空間想象能力與運(yùn)算能力,.,注意選擇一定方向的軸截面，使空間關(guān)系平面化，是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵,.,在空間中，取直線,l,為軸，直線,l,與,l,相交于,O,點(diǎn)，其夾角為,l,圍繞,l,旋轉(zhuǎn)得到以,O,為頂點(diǎn)，,l,為母線的圓錐面，任取平面,，若它與軸,l,交角為,(,與,l,平行，記,=0),，證明：當(dāng),=,時(shí)，平面,與圓錐的交線為拋物線,.,如圖，設(shè)平面,與圓

14、錐內(nèi)切球相切于點(diǎn),F,1,，球與圓錐的交線為,S,，過(guò)該交線的平面為,，,與,相交于直線,m,在平面,與圓錐的截線上任取一點(diǎn),P,，連接,PF,1,過(guò)點(diǎn),P,作,PA,m,交,m,于點(diǎn),A,過(guò)點(diǎn),P,作,的垂線，垂足為,B,，,接結(jié),AB,則,AB,m,，,所以,PAB,是,與,所成二面角的平面角,.,連接點(diǎn),P,與圓錐的頂點(diǎn)，與,S,相交于點(diǎn),Q,1,連接,BQ,1,，,則,BPQ,1,=,，,APB,=,.,在,Rt,APB,中，,PB,=,PA,cos,.,在,Rt,PBQ,1,中,PB,=,PQ,1,cos,所以,=.,又因?yàn)?PQ,1,=,PF,1,=,=1,即,PF,1,=,PA,

15、動(dòng)點(diǎn),P,到定點(diǎn),F,1,的距離等于它到直線,m,的距離，,故當(dāng),=,時(shí)，平面與圓錐的交線為拋物線,.,定理中的三個(gè)結(jié)論的證明思路如出一轍，證明時(shí)應(yīng)考慮到他們各自的特征，比如此例中只能作出一個(gè),Dandelin,球，而證明結(jié)論,3,（截線為雙曲線）的雙球一個(gè)在圓錐面頂點(diǎn)的上面，另一個(gè)在頂點(diǎn)的下面,.,1.,要善于把圓的有關(guān)性質(zhì)類比推廣到球的一些性質(zhì),.,2.,定理中的兩個(gè)角,、,的確切含義要弄清楚,.,3.,當(dāng),從,0,到,90,變化時(shí)，平面,與圓錐面,S,交出的曲線形狀分析：,當(dāng),=0,時(shí)，截面過(guò)軸線，此時(shí)的截線為兩條母線（可視為退化的雙曲線）,;,當(dāng),從,0,到,變化時(shí)，截面與圓錐面的兩部

16、分均有截線，截線為雙曲線，其離心率,e,=,越來(lái)越小，并趨近于；,當(dāng),=,時(shí)，截面此時(shí)與一條母線平行,截面僅與圓錐面的一部分有截線,截線為拋物線,離心率,e,=1;,當(dāng),從,到,90,變化時(shí)，截面僅與圓錐面的一部分有截線，截線為拋物線，離心率,e,=,越來(lái)越小，得到的橢圓越來(lái)越圓；,當(dāng),=90,時(shí)，截面與軸線垂直，得到的截線為圓（可視為退化的橢圓）,.,從以上過(guò)程可知，圓錐曲線中，拋物線是雙曲線與橢圓的極端位置，也是分界線,.,它既是離心率無(wú)限趨于,1,的雙曲線的極限情況，也是離心率無(wú)限趨于,1,的橢圓的極限情況,.,學(xué)例,1,(2008,浙江卷,),如圖，,AB,是平面,的斜線段，,A,為斜足，若點(diǎn),P,在平面,內(nèi)運(yùn)動(dòng)，使得,ABP,的面積為定值,則動(dòng)點(diǎn),P,的軌跡是（）,B,A.,圓,B.,橢圓,C.,一條直線,D.,兩條平行直線,因?yàn)?ABP,的面積為定值，且,AB,為定長(zhǎng)，所以點(diǎn),P,到,AB,的距離,d,為定值，則點(diǎn),P,的軌跡是以,AB,為軸線，以,d,為半徑的圓柱面被平面,所截得的橢圓，故選,B.,本節(jié)完，謝謝聆聽,立足教育，開創(chuàng)未來(lái),