線性代數(shù)課件黃六

《線性代數(shù)課件黃六》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《線性代數(shù)課件黃六（23頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,第六章 歐幾里得空間,前面介紹的線性空間，是n維向量空間R的抽象與深化,到目前為止我們在線性空間中只涉及到向量的加法與數(shù)乘,然而在三維空間中還有許多重要的幾何概念和運算，例如,向量的長度，向量之間的夾角等概念以及向量的內(nèi)積在線,性空間中都沒有涉及及討論,第一節(jié) 歐幾里得空間,一、幾何空間中向量的內(nèi)積,1.空間向量及兩向量的夾角(回顧),實際問題中,既有大小又有方向的物理量稱為,向量,.,幾何上用有向線段表示一個向量,線段的長度表示向量的大小.,空間向量為,自由向量.,在直角坐標系下,將向量的起點移至原點,稱

2、之為,向徑,.,向量,M,(,x,y,z,),OM=,(,x,y,z,),向量,=(,x,y,z,),的,長度,向量的,方向角,將空間兩向量,的起點移至一點,o,兩有向線段的夾角,(0,)，,稱為向量,與,的,夾角,當,時，稱,與,垂直(正交)，,記作,.,當,=0 或,時，稱,與,平行(共線)，,記作,/,.,o,記為(,a,b,),例如,常力,f,作用于物體,使之產(chǎn)生位移,s,s,f,2.空間向量的內(nèi)積.,這個力所作的功為,定義:,設(shè),R,3,記,與,的夾角為,稱數(shù),為向量,與,的,內(nèi)積(數(shù)量積),記為,即,(1),(勾股定理)設(shè),1,2,k,是,n,維歐氏空間,R,n,中的向量,且,i,

3、j,時,(,i,j,)=0,則,證,與,的夾角,的長度,因為,=,x,1,2,+,y,1,2,+,z,1,2,(,0,).,所以,4.用內(nèi)積表示向量的長度及向量的夾角,定義:,二、,n,維向量的內(nèi)積,1.,R,n,中向量內(nèi)積定義,設(shè),R,n,=(,x,1,x,2,x,n,),=(,y,1,y,2,y,n,),稱數(shù),x,1,y,1,+,x,2,y,2,+,+,x,n,y,n,為,與,的,內(nèi)積.,記為(,),即,(,)=,x,1,y,1,+,x,2,y,2,+,+,x,n,y,n,(3),2、內(nèi)積的性質(zhì),設(shè),則,R,n,k,R,則上面定義的內(nèi)積滿足以下性質(zhì)：,當且僅當,=0 時,等號成立.,性質(zhì)(

4、1)到(4)的證明可由內(nèi)積定義直接推得.,(1),(2),(3),(4),定義:,定義:,三、歐氏空間,R,n,稱定義了內(nèi)積的,n,維實向量空間,R,n,為,n,維歐幾里得(Euclid)空間,簡稱歐氏空間,仍記作,R,n,.,三維歐氏空間,R,3,具有直觀性,習(xí)慣上稱之為,幾何空間.,R,3,中向量長度及兩向量的夾角等概念通過內(nèi)積可平行推廣到,R,n,使,n,維歐氏空間,具有可度量性.,設(shè),=(,x,1,x,2,x,n,),R,n,的,長度,|,|定義為,即,(4),特別地,時,稱,為,單位向量.,當,故稱,為,的,單位化向量.,=1,定義：,四、標準正交基的概念及意義,1.正交向量組:,如

5、果歐氏空間中的向量組,1,2,m,中任意兩個向量都是相互正交的,即,(,i,j,)=0,i,j,i,j,=1,2,m,則稱,1,2,m,為,正交向量組(簡稱正交組.),定理：,歐氏空間中不含零向量的正交向量組是線性無關(guān)的.,證,設(shè),1,2,m,是一個正交的向量組,又設(shè),k,1,1,+,k,2,2,+,k,m,m,=0,則,由于,故,k,i,=0,故,1,2,m,線性無關(guān).,定義2,2.標準正交基,設(shè),1,2,n,R,n,如果,則稱,1,2,n,是,R,n,的一組,標準正交基.,顯然,是,R,n,的標準正交基,.,在,R,3,中,分別為三個坐標軸正向的單位矢量.,五、施密特(Schmit),正交

6、化方法求標準正交基,下面討論由,R,n,的一組基構(gòu)造,R,n,的標準正交基的方法,為直觀起見,先從,R,3,開始討論.,o,R,3,在,上的投影為：,在,上的投影向量為：,為了便于討論,首先介紹一個向量在另一向量上的投影及投影向量.,設(shè),1,2,3,是,R,3,的一組基,令,1,=,1,將,2,在,1,上的投影向量記為,2,則,2,=,k,12,1,其中,2,2,o,再取,則,2,1,.,1,=,1,2,2,o,將,在,1,2,上的投影向量分別記為,3,在,1,2,所在平面上的投影向量為,3,.,則,其中,3,取,則,因此,是兩兩正交的非零向量組.,再將,單位化,即取,則,就是,R,3,的一組

7、標準正交基.,3,一般地,設(shè),是,R,n,中的一個線性無關(guān)組,取,容易驗證,兩兩正交,上述由,得到,的過程稱之為,向量組的正交化,將這 個正交化的向量組再單位化,即取,就得到正交的單位向量組,稱之為,標準正交組.,上述從線性無關(guān)組求得標準正交組的方法稱為,施密特(Schmit),正交化方法.,例 1,解,設(shè),R,3,的一組基為,1,=(1,2,1),2,=,(1,3,1),3,=(4,1,0),試用施密特正交化方法構(gòu)造,R,3,的一組標準正交基.,取,1,=,1,取,便為所求的一組標準正交基.,R,3,中內(nèi)積,兩向量夾角向量長度三角不等式余弦定理勾股定理,幾何空間,R,3,中向量積與混合積直線、平面及其方程曲線、曲面及其方程,R,n,中內(nèi)積,歐氏空間,R,n,標準正交基,內(nèi)積公理化定義,歐氏空間,V,歐氏空間的正交分解,上一頁,