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1、返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年10月16日星期六1第二節(jié)第二節(jié) 二重積分的計算方法二重積分的計算方法 第八章第八章 (Calculation of Double Integral)一、利用直角坐標(biāo)計算二重積分一、利用直角坐標(biāo)計算二重積分二、利用極坐標(biāo)計算二重積分二、利用極坐標(biāo)計算二重積分三、小結(jié)與思考練習(xí)三、小結(jié)與思考練習(xí)返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年10月16日星期六2解法解法: 類似定積分解決問題的思想:復(fù)習(xí)復(fù)習(xí).求曲頂柱體的體積求曲頂柱體的體積 I給定曲頂柱體:0),(yxfz底：底： xoy 面上的閉區(qū)域 D頂頂: 連續(xù)曲面?zhèn)葌?cè)面：面：以 D 的邊界為準(zhǔn)線 ,
2、母線平行于 z 軸的柱面求體積.“大化小, 常代變, 近似和, 求極限” D),(yxfz ( , )dDf x ynkkkkfI10),(lim記作( , )d.Df x yxdy記作返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年10月16日星期六3復(fù)習(xí)：直角坐標(biāo)系情形復(fù)習(xí)：直角坐標(biāo)系情形 : 若積分區(qū)域為)()(,),(21xyyxybxayxD則)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若積分區(qū)域為)()(,),(21yxxyxdycyxD則xy)(1yxx Ddc)(2yxx )()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xyb
3、aD返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年10月16日星期六4,dDyx其中D 是拋物線xy 2所圍成的閉區(qū)域. 解解: 為計算簡便, 先對 x 后對 y 積分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy845Dxy22 xy214oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直線則 例例1 計算返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年10月16日星期六5一、利用極坐標(biāo)計算二重積分一、利用極坐標(biāo)計算二重積分xyokkkrrkkkkkkrrsin,cos對應(yīng)有在極坐標(biāo)系下, 用同心圓 r =常數(shù)則除包含邊界點的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積kkkkkkrrrr
4、)(21),2, 1(nkk在k),(kkrkkkkrrkkkr221內(nèi)取點kkkrr221)(及射線 =常數(shù), 分劃區(qū)域D 為krkrkkkr返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年10月16日星期六6kkkkkkknkrrrrf)sin,cos(lim10kknkkf),(lim10Dyxfd),(ddrr即Drrf)sin,cos(Do)(1r)(2r)(1ro)(2r)()(21d)sin,cos(rrrrf,)()(:21rD則Drrrrfdd)sin,cos(d設(shè)設(shè)返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年10月16日星期六7222ln(1)d dln(1)d d ,DDxyx
5、y 21200dln(1)d122100 (1)ln(1)2d (2ln21)返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年10月16日星期六83261sin4 ryxyxDdd)(22sin4sin22drrr)32(15yyx422yyx22203 yx其中D 為由圓所圍成的,dd)(22yxyxD,222yyxyyx42203 xy及直線, 03yx解：解：平面閉區(qū)域.03 xysin2 roxy2436d例例3. 計算返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年10月16日星期六9特別地特別地, 對20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)
6、(roD若 f 1 則可求得D 的面積d)(21202Dd返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年10月16日星期六10思考思考: 下列各圖中域 D 分別與 x , y 軸相切于原點,試答答: ;0) 1 ()(rDoyx)(rDoyx問 的變化范圍是什么?(1)(2)22)2(返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年10月16日星期六11,dd22Dyxyxe其中.:222ayxD解解: 在極坐標(biāo)系下0:,02raD原式Drerard02are02212)1(2ae2xe的原函數(shù)不是初等函數(shù) ,故本題無法用直角2reddrr20d由于故坐標(biāo)計算.例例4 計算返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目
7、錄2021年10月16日星期六12利用例利用例4可得到一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及工程上可得到一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及工程上非常有用的反常積分公式非常有用的反常積分公式2d02xex事實上事實上, 當(dāng)當(dāng)D 為為 R2 時時,Dyxyxedd22yexeyxdd2220d42xex利用例利用例6的結(jié)果的結(jié)果, 得得)1 (limd42220aaxexe故故式成立式成立 .注注:返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年10月16日星期六1322224azyx被圓柱面xayx222)0( a所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積. 解解: 設(shè)由對稱性可知20,cos20:arDdd4422rrraVD20
8、d4cos2022d4arrrad)sin1 (3322033a)322(3323aoxyza2例例5 求球體2 cosra2a返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年10月16日星期六14內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)直角坐標(biāo)系情形直角坐標(biāo)系情形 : 若積分區(qū)域為)()(,),(21xyyxybxayxD則)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若積分區(qū)域為)()(,),(21yxxyxdycyxD則xy)(1yxx Ddc)(2yxx )()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaD返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年10月16日星期六15Do)(1r)(2r)()(,),(21rrD( , )dDf x y則極坐標(biāo)系情形極坐標(biāo)系情形: 若積分區(qū)域為( cos , sin)Df rr)()(21d)sin,cos(drrrrfddrr返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年10月16日星期六16課外練習(xí)課外練習(xí)習(xí)題習(xí)題82 第二次第二次作業(yè)作業(yè) 7（1）（）（2）(4)； 8； 11; 12(選選做做)
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