《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)》線性代數(shù)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)及典型例題解析

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1、《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)》線性代數(shù)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)及典型例題解析 第1-2章 行列式和矩陣 　?、绷私饩仃嚨母拍?，熟練掌握矩陣的運算。 矩陣的運算滿足以下性質(zhì) 　?、擦私饩仃囆辛惺降倪f歸定義，掌握計算行列式（三、四階）的方法；掌握方陣乘積行列式定理。 是同階方陣，則有： 若 是 階行列式， 為常數(shù)，則有： 　?、沉私饬憔仃嚕瑔挝痪仃?，數(shù)量矩陣，對角矩陣，上（下）三角矩陣，對稱矩陣，初等矩陣的定義及性質(zhì)。 　　⒋理解可逆矩陣和逆矩陣的概念及性質(zhì)，掌握矩陣可逆的充分必要條件。 若 為 階方陣，則下列結(jié)論等價 可逆 滿秩 存在 階方

2、陣 使得 　?、凳炀氄莆涨竽婢仃嚨某醯刃凶儞Q法，會用伴隨矩陣法求逆矩陣，會解簡單的矩陣方程。 用初等行變換法求逆矩陣： 用伴隨矩陣法求逆矩陣： （其中 是 的伴隨矩陣） 可逆矩陣具有以下性質(zhì)： 　?、读私饩仃囍鹊母拍?，會求矩陣的秩。 將矩陣用初等行變換化為階梯形后，所含有的非零行的個數(shù)稱為矩陣的秩。 典型例題解析 例1 設(shè) 均為3階矩陣，且 ，則 。 解：答案：72 因為 ，且 所以 例2 設(shè) 為 矩陣， 為 矩陣，則矩陣運算（ ）有意義。 解：答案：A 因為 ，所以A可進(jìn)行。 關(guān)于B，因為矩陣 的列數(shù)不等于矩陣 的行數(shù)，所

3、以錯誤。 關(guān)于C，因為矩陣 與矩陣 不是同形矩陣，所以錯誤。 關(guān)于D，因為矩陣 與矩陣 不是同形矩陣，所以錯誤。 例3 已知 求 。 分析：利用矩陣相乘和矩陣相等求解。 解：因為 得 。 例4 設(shè)矩陣 求 。 解：方法一：伴隨矩陣法 可逆。 且由 得伴隨矩陣 則 = 方法二：初等行變換法 注意：矩陣的逆矩陣是唯一的，若兩種結(jié)果不相同，則必有一個結(jié)果是錯誤的或兩個都是錯誤的。 例4 設(shè)矩陣 求 的秩。 分析：利用矩陣初等行變換求矩陣的秩。 解： 。 例5若 是 階矩陣，且

4、，試證 證明： 注意：在證明中用到了已知條件和轉(zhuǎn)置行列式相等的結(jié)論。 第三章 線性方程組 一、本章主要內(nèi)容 主要概念：齊次線性方程組 非齊次線性方程組 方程組的矩陣表示 系數(shù)矩陣 增廣矩陣 一般解 通解（全部解） 特解 基礎(chǔ)解系 自由元（自由未知量） 維向量 線性組合（線性表出）線性相關(guān) 線性無關(guān) 極大線性無關(guān)組 向量組的秩 向量空間 向量空間的基和維數(shù) 主要性質(zhì)：齊次線性方程組解的性質(zhì) 非齊次線性方程組解的性質(zhì) 主要定理： 線性方程組的理論 齊次線性方程組有非零解的充分必要條件 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 非齊次線性方程組有解的充分必要條件 非齊次

5、線性方程組解的結(jié)構(gòu) 向量組線性相關(guān)性的有關(guān)定理（教材中第三章第三節(jié)）定理1、2、3及有關(guān)推論； 極大無關(guān)向量組的有關(guān)定理（教材中第三章第四節(jié)）定理1、2、3 主要方法：高斯消元法 齊次線性方程組解的情況判別 非齊次線性方程組解的情況判別 基礎(chǔ)解系的求法 通解的求法 向量組線性相關(guān)（無關(guān)）的判別法 極大線性無關(guān)組的求法 二、本章重點：向量組相關(guān)性的概念及判別，線性方程組相容性定理，齊次線性方程組基礎(chǔ)解系幾通解的求法，非齊次線性方程組特解和全部解的求法。

6、 三、典型例題解析 例1 向量組，若向量組線性相關(guān)則= 。 解：答案：2 因為由有關(guān)定理，向量組線性相關(guān)的充要條件是向量組的秩數(shù)小于向量組向量個數(shù)，所以 求向量組的秩，決定的取值，使其秩數(shù)小于3。具體解法是 當(dāng)時，，故向量組線性相關(guān)。 例2 設(shè)向量組為 求它的一個極大無關(guān)組，并判斷向量組的相關(guān)性。 分析： 解： 是向量組的一個極大無關(guān)組，，此向量組線性相關(guān)。 例3 線性方程組 當(dāng)為何值時方程組有解，有解時解的情況如何？ 分析：因為增廣矩陣的秩與的取值有關(guān)，所以選擇的值，使 解 時，有，方程組有解且有無窮多解。 例4 設(shè)線性方程組的增廣矩陣經(jīng)初等行變換后化為 求方程組的通解。 分析：將階梯形矩陣?yán)^續(xù)化為行簡化階梯形矩陣，求出方程組的一般解，然后求特解，相應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系，寫出方程組的通解。 解： 得到方程組的一般解為 （其中是自由元） 令，得的一個特解 再由相應(yīng)齊次方程組的一般解 （其中是自由元） 令，得的一個解向量 令，得的另一個解向量 是的一個基礎(chǔ)解系，于是方程組的通解為 其中為任意常數(shù)。