高中數(shù)學(xué)課件 第二章 《第4節(jié) 函數(shù)的奇偶性》

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1、 結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義. 1 .奇偶性的定義 思考探究(1 )奇偶函數(shù)的定義域有何特點(diǎn)？(2 )是否存在既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)？提示：奇偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.提示：存在.該函數(shù)的特點(diǎn)是定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，且解析式化簡(jiǎn)后等于0 . 2 .奇偶函數(shù)的性質(zhì)(1 )奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性(填“相同”、“相反”).(2 )在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)奇函數(shù)的和函數(shù)是，兩個(gè)奇函數(shù)的積函數(shù)是；兩個(gè)偶函數(shù)的和函數(shù)、積函數(shù)是.一個(gè)奇函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)的積函數(shù)是.(3 )若f(x)是奇函數(shù)且在x0處有定義，則f(0 ).相反奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇

2、函數(shù)0相同 1 .設(shè)f(x)是R上的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是()A.f(x)f(x)是奇函數(shù)B.f(x)|f(x)|是奇函數(shù)C.f(x)f(x)是偶函數(shù)D.f(x)f(x)是偶函數(shù)解析：令F(x)f(x)f(x).F(x)f(x)f(x)為偶函數(shù)，故D正確.答案：D 2 .對(duì)任意實(shí)數(shù)x，下列函數(shù)中的奇函數(shù)是()A.y2 x3 B.y3 x2C.yln5 xD.y|x|cosx解析：若f(x)ln5 x，則f(x)ln5xln(5 x)1ln5 xf(x).函數(shù)yln5 x為奇函數(shù).答案：C 3 .已知f(x)ax2bx是定義在a1 ,2 a上的偶函數(shù)，那么a b的值是()A.B.C.D.解

3、析：函數(shù)f(x)ax2bx在x a1 ,2 a上為偶函數(shù)， b0，且a12 a0，即b0，a. ab.答案：B 4 .已知函數(shù)yf(x)為奇函數(shù)，若f(3 )f(2 )1，則f(2 )f(3 ).解析：由題意得f(2 )f(3 )f(2 )f(3 )f(3 )f(2 )1 .答案：1 5 .設(shè)函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則a.解析： f(x)為奇函數(shù)，由f(1 )f(1 )得a1 .答案：1 判斷函數(shù)奇偶性的一般方法(1 )首先確定函數(shù)的定義域，看其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的.否則，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).(2 )若定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則可用下述方法進(jìn)行判斷：定義判斷：f(x)f(x) f(x)為偶函數(shù)，

4、f(x)f(x) f(x)為奇函數(shù). 等價(jià)形式判斷：f(x)f(x)0 f(x)為偶函數(shù)，f(x)f(x)0 f(x)為奇函數(shù).或等價(jià)于：，則f(x)為偶函數(shù)；1，則f(x)為奇函數(shù).(3 )對(duì)于分段函數(shù)的奇偶性的判斷應(yīng)分段進(jìn)行.特別警示分段函數(shù)的奇偶性判定，要注意定義域內(nèi)x取值的任意性，應(yīng)分段討論，討論時(shí)可依據(jù)x范圍取相應(yīng)的解析式化簡(jiǎn).此類問題也可利用圖象作判斷. 判斷下列函數(shù)的奇偶性：思路點(diǎn)撥(1 )f(x)=x();(2 )f(x)=log2 (x+);(3 )f(x)=;(4 )f(x)=(5 )f(x)=x2 -|x-a|+2 . 課堂筆記(1 )函數(shù)定義域?yàn)?，0 ) (0，).

5、f(x)是偶函數(shù). f(-x)=-x()=f(x). (2 )函數(shù)定義域?yàn)镽. f(x)是奇函數(shù). f(-x)=log2 (-x+)=log2 =-log2 (x+)=-f(x), (3 )由得x，或x.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?又對(duì)任意的x ，x ，且f(x)f(x)f(x)0， f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù). (4 )函數(shù)定義域?yàn)?，0 ) (0，).當(dāng)x0時(shí)，x0，則f(x)(x)2x(x2x)f(x)；當(dāng)x0時(shí)，x0，則f(x)(x)2xx2x(x2x)f(x).對(duì)任意x (，0 ) (0，)都有f(x)f(x).故f(x)為奇函數(shù). (5 )函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.當(dāng)a0時(shí)，f(x

6、)f(x)， f(x)是偶函數(shù)；當(dāng)a0時(shí)，f(a)a22，f(a)a22 |a|2 .f(a)f(a)，且f(a)f(a)2 (a2|a|2 )2 (|a|)20， f(x)是非奇非偶函數(shù). 判斷(或證明)抽象函數(shù)的奇偶性的步驟(1 )利用函數(shù)奇偶性的定義，找準(zhǔn)方向(想辦法出現(xiàn)f(x)，f(x)；(2 )巧妙賦值，合理、靈活變形配湊；(3 )找出f(x)與f(x)的關(guān)系，得出結(jié)論. 已知函數(shù)f(x)對(duì)一切x、y R，都有f(xy)f(x)f(y).(1 )試判斷f(x)的奇偶性；(2 )若f(3 )a，用a表示f(1 2 ).思路點(diǎn)撥 課堂筆記(1 )顯然f(x)的定義域是R，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.又

7、函數(shù)f(x)對(duì)一切x、y R都有f(xy)f(x)f(y).令xy0，得f(0 )2 f(0 )， f(0 )0 .再令yx，得f(0 )f(x)f(x)， f(x)f(x)， f(x)為奇函數(shù).(2 ) f(3 )a且f(x)為奇函數(shù)， f(3 )f(3 )a.又 f(xy)f(x)f(y)，x、y R， f(1 2 )f(66 )f(6 )f(6 )2 f(6 )2 f(33 )4 f(3 )4 a. (1 )對(duì)抽象函數(shù)解不等式問題，應(yīng)充分利用函數(shù)的單調(diào)性，將“f ”脫掉，轉(zhuǎn)化為我們會(huì)求的不等式；(2 )奇偶函數(shù)的不等式求解時(shí)，要注意到：奇函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在對(duì)稱

8、的單調(diào)區(qū)間上有相反的單調(diào)性. 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈x|x R且x0 ，且滿足對(duì)于任意x1，x2 D，有f(x1 x2 )f(x1 )f(x2 ).(1 )求f(1 )的值；(2 )判斷f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論；(3 )如果f(4 )1，f(3 x1 )f(2 x6 )3，且f(x)在(0，)上是增函數(shù)，求x的取值范圍.思路點(diǎn)撥 課堂筆記(1 )對(duì)于任意x1，x2 D，有f(x1 x2 )f(x1 )f(x2 )，令x1x21，得f(1 )2 f(1 )， f(1 )0 .(2 )令x1x21，有f(1 )f(1 )f(1 )， f(1 )f(1 )0 .令x11，x2x有f(x)f(

9、1 )f(x)， f(x)f(x)， f(x)為偶函數(shù). (3 )依題設(shè)有f(44 )=f(4 )+f(4 )=2 .f(1 64 )=f(1 6 )+f(4 )=3 , f(3 x+1 )+f(2 x-6 )3 ,即f(3 x+1 )(2 x-6 )f(6 4 ).（*） 法一： f(x)為偶函數(shù)， f(|(3 x1 )(2 x6 )|)f(6 4 ).又 f(x)在(0，)上是增函數(shù)， 0|(3 x1 )(2 x6 )|6 4 .解上式，得3x5或x或x3 . x的取值范圍為x|x或x3或3x5 . 法二： f(x)在(0，)上是增函數(shù)， (*)等價(jià)于不等式組或或 3x5或x或x3 . x

10、的取值范圍為x|x或x3或3x5 . 將本例中的條件f(x1 x2 )f(x1 )f(x2 )改為f(x1x2 )f(x1 )f(x2 )，定義域Dx|x0 改為DR，求解第(2 )，(3 )問. f(x)為奇函數(shù).解：(2 )令x1x20，得f(0 )0；令x1x，x2x，得f(0 )f(x)f(x)，即f(x)f(x)， (3 ) f(4 )1， f(8 )f(4 )f(4 )2，f(1 2 )f(48 )f(4 )f(8 )3 .又 f(3 x1 )f(2 x6 )3， f(3 x12 x6 )f(1 2 )，即f(5 x5 )f(1 2 ).又 f(x)在(0，)上為增函數(shù)，f(x)為

11、奇函數(shù)， f(x)在R上是增函數(shù)， 5 x5 1 2， x. 函數(shù)奇偶性的判定以及利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)是高考對(duì)函數(shù)奇偶性的常規(guī)考法，0 9年山東、陜西等省將函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及比較大小等問題綜合出現(xiàn)在高考試題中，這是高考新的一個(gè)考查方向. 考題印證(2 0 0 9 山東高考)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4 )f(x)，且在區(qū)間0 ,2 上是增函數(shù)，則()A.f(2 5 )f(1 1 )f(8 0 )B.f(8 0 )f(1 1 )f(2 5 )C.f(1 1 )f(8 0 )f(2 5 )D.f(2 5 )f(8 0 )f(1 1 ) 【解析】 f(x4 )f(x)， T8

12、.又f(x)是奇函數(shù)， f(0 )0 . f(x)在0 ,2 上是增函數(shù)，且f(x)0， f(x)在2 ,0 上也是增函數(shù)，且f(x)0 .又x 2 ,4 時(shí)，f(x)f(x4 )0，且f(x)為減函數(shù).同理f(x)在4 ,6 為減函數(shù)且f(x)0 .如圖. f(2 5 )f(1 )0，f(1 1 )f(3 )0，f(8 0 )f(0 )0， f(2 5 )f(8 0 )f(1 1 ).【答案】D 自主體驗(yàn)(2 0 0 9 陜西高考)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足：對(duì)任意的x1，x2 (，0 (x1 x2 )，有(x2x1 )(f(x2 )f(x1 )0 .則當(dāng)n N*時(shí)，有()A.f(n)f

13、(n1 )f(n1 )B.f(n1 )f(n)f(n1 )C.f(n1 )f(n)f(n1 )D.f(n1 )f(n1 )f(n) 解析：由(x2x1 )(f(x2 )f(x1 )0得f(x)在x (，0 為增函數(shù).又f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)在x (0，)為減函數(shù).又f(n)f(n)且0 n1nn1， f(n1 )f(n)f(n1 )，即f(n1 )f(n)f(n1 ).答案：C 1 .下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是()A.yx3，x RB.ysinx，x RC.yx，x RD.y()x，x R解析：yx3為奇函數(shù)且為減函數(shù)；ysinx為奇函數(shù)，但不是單調(diào)函數(shù)；yx為增

14、函數(shù)；y()x不是奇函數(shù).答案：A 2 .(2 0 1 0 泉州模擬)若x R、n N*，定義：x(x1 )(x 2 )(xn1 )，例如(5 )(4 )(3 )(2 )(1 )1 2 0，則函數(shù)f(x)的奇偶性為()A.是奇函數(shù)而不是偶函數(shù)B.是偶函數(shù)而不是奇函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù) 解析： x(x1 )(x2 )(xn1 )， (x9 )(x8 )(x7 )(x9 )(x29 2 )(x28 2 )(x21 2 )x. (x29 2 )(x28 2 )(x21 2 )x2， f(x)是偶函數(shù).答案：B 3 .函數(shù)f(x)x3sinx1 (x R)，若f(a)

15、2，則f(a)的值為()A.3 B.0C.1 D.2解析：f(a)a3sina1，f(a)(a)3sin(a)1a3sina1，得f(a)f(a)2， f(a)2f(a)220 .答案：B 4 .已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且f(x)g(x)()x，則f(1 )，g(0 )，g(1 )之間的大小關(guān)系是.解析： f(x)和g(x)分別為奇函數(shù)和偶函數(shù)，且f(x)g(x)()x， f(x)g(x)()x，即f(x)g(x)2 x， f(x)g(x)2 x，由得 答案：f(1 )g(0 )g(1 ) 5 .設(shè)定義在2 ,2 上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0 ,2 上單調(diào)遞減，若f(1m)f(m)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.解析： f(x)是偶函數(shù)， f(x)f(x)f(|x|).不等式f(1m)f(m) f(|1m|)f(|m|).又當(dāng)x 0 ,2 時(shí)，f(x)是減函數(shù).答案：解得 6 .已知函數(shù)f(x) (a、b、c N)是奇函數(shù)，又 f(1 )2，f(2 )3，求a、b、c的值.解： f(x)為奇函數(shù) f(x)f(x)，即. c0，即f(x).又 f(1 )2，f(2 )3，即 4 a13 a3， a2 .又 a N， a0或a1 .當(dāng)a0時(shí)，b，舍去.當(dāng)a1時(shí)，b1， a1，b1，c0 .