天津市七校高三4月聯(lián)考 理科數(shù)學(xué)試題及答案

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1、學(xué)校___________ 班 級___________ 姓 名___________ 考 號___________ 座位號___________ -------------------------------------密------------------------------封------------------------------線------------------------------------ 七校聯(lián)考高三數(shù)學(xué)(理)試卷 2015.04. 1、 選擇題（每題5分，共8道） 1、設(shè)復(fù)數(shù)z1=1+i,z2=2+bi,若為純虛數(shù),則實數(shù)b=(　　) A

2、. -2　 　B.2　　 C.-1　 　D.1 2、不等式組表示的平面區(qū)域是(　　) 3、已知, ,則(　　) A. a> b> c　 　B. a> c> b　　 C. c> a> b　　 D. c> b> a 4、閱讀如下程序框圖,運行相應(yīng)的程序,則程序運行后輸出的結(jié)果為(　　) A.7　　 B.9　　 C.10　　 D.11 5、已知雙曲線C的離心率為2,焦點為,點A在C上.若||=2||,則cos∠=(　　) A.　 　B. 　C.　　 D.

3、 6、已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示,則四棱錐P-ABCD的四個側(cè)面中的最大面積是(　　) A.3　 　B.8　　 C.　　 D.6； 7、已知正項等比數(shù)列{an}滿足,若存在兩項,使得,則的最小值為(　　) A.　　 B.　　 C.　 　D.不存在 8、已知定義在R上的函數(shù)y=f(x) 對于任意的x都滿足f(x+1) =-f(x), 當(dāng) -1≤x< 1時, , 若函數(shù)至少有6個零點, 則a的取值范圍是(　　) A.∪(5, +∞)　　B.∪[5,

4、 +∞)　　C. ∪(5,7)　　D.∪[5,7) 二、填空題（每題5分，共6道） 9、某地區(qū)有小學(xué)150所，中學(xué)75所，大學(xué)25所。現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取60所學(xué)校對學(xué)生進行視力調(diào)查，應(yīng)從小學(xué)中抽取 所學(xué)校，中學(xué)中抽取 所學(xué)校. 10、如圖,在圓O中,直徑AB與弦CD垂直,垂足為E,EF⊥DB,垂足為F,若AB=6,AE=1,則DFDB=________. 11、若,則二項式 的展開式中常數(shù)項是________. 12、已知直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，

5、圓的極坐標(biāo)方程為，則直線被圓所截得的弦長等于 . 13、已知，，當(dāng)“x” 是“x”的充分不必要條件，則的取值范圍是 . 14、在的邊、上分別取、，使，，與交于點，若，，則 . 三、解答題 15、（13分）已知△ABC的內(nèi)角為A、B、C, 其對邊分別為a、b、c, B為銳角, 向量 , 且. (1) 求角B的大小; (2) 如果b=2, 求S△ABC的最大值. 16、（13分）PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物,也稱為可入肺顆粒物.我國PM2.5標(biāo)準(zhǔn)采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最

6、寬限值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級;在35微克/立方米~75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級;在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo). 某市環(huán)保局從該市市區(qū)2011年全年每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機抽取15天的數(shù)據(jù)作為樣本,監(jiān)測值如莖葉圖所示(十位為莖,個位為葉). (1)從這15天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中,隨機抽取三天,求恰有一天空氣質(zhì)量達到一級的概率; (2)從這15天的數(shù)據(jù)中任取三天數(shù)據(jù),記ξ表示抽取PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù),求ξ的分布列; (3)以這15天的PM2.5日均值來估計一年的空氣質(zhì)量情況,則一年(按360天計算)中平均有多少天的空氣質(zhì)量達到

7、一級或二級? 　 PM2.5日均值(微克/立方米) 2 8 5 　 　 　 　 　 3 7 1 4 3 4 4 5 6 3 8 7 9 8 6 3 9 2 5 17、（13分）如圖,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,側(cè)棱PA=PD=,PA⊥PD,底面ABCD為直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,O為AD中點. (1)求直線PB與平面POC所成角的余弦值; (2)求

8、B點到平面PCD的距離; (3)線段PD上是否存在一點Q,使得二面角Q-AC-D的余弦值為?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由. 18、（13分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設(shè),數(shù)列{cn}的前n項和為Tn,求使不等式Tn>對一切n∈N*都成立的最大正整數(shù)k的值; (3)設(shè),是否存在m∈N*,使得f(m+15)=5f(m)成立?若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由. 19、（14分）橢圓E:(a>b>0)的焦點到直線x-3y=0的距離為,離心率為;拋物線G:y2=2px(p>0)的焦點與橢圓E的

9、焦點重合;斜率為k的直線l過G的焦點,與E交于A,B,與G交于C,D. (1)求橢圓E及拋物線G的方程; (2)是否存在常數(shù)λ,使為常數(shù),若存在,求出λ的值,若不存在,請說明理由. 20、（14分）已知函數(shù)f(x) =elnx, g(x) =lnx-x-1, h(x) =x2. (1) 求函數(shù)g(x) 的極大值; (2) 求證: 存在x0∈(1, +∞), 使g(x0) =g; (3) 對于函數(shù)f(x) 與h(x) 定義域內(nèi)的任意實數(shù)x, 若存在常數(shù)k, b, 使得f(x) ≤k x+b和h(x) ≥k x+b都成立, 則稱直線y=k

10、 x+b為函數(shù)f(x) 與h(x) 的分界線. 試探究函數(shù)f(x) 與h(x) 是否存在“分界線”? 若存在, 請給予證明, 并求出k, b的值; 若不存在, 請說明理由. 高三年級七校聯(lián)考 理科數(shù)學(xué) 答案（2015.4） 一、選擇題： 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C B A D A A 二、填空題： 9、36，18 10、5 11、 12、4 13、 14、12 三、解答題： 15、[解析]（1）// （為銳角） （2）由 得

11、 ∵，∴. ∴ 即的最大值為. 16、[解析] （1）記“從15天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽取三天，恰有一天空氣質(zhì)量達到一級”為事件， （4分） （2）依據(jù)條件，服從超幾何分布：其中，，，的可能值為0,1,2,3, （0，1,2,3） （7分） 其分布列為： 0 1 2 3 （10分） （3）依題意可知，一年中每天空氣質(zhì)量達到一級或二級的概率為（11分） 設(shè)一年中空氣質(zhì)量達到一級或二級的天數(shù)為，則. ∴，∴一年中平均有240天的空氣質(zhì)量達到一級或二級

12、.（13分） 17、[解析]（1）在中, ,為中點，所以，又側(cè)面底面，平面平面，平面，所以平面. 又在直角梯形中，連結(jié)，易得，所以以為坐標(biāo)原點，直線為軸，直線為軸，直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則 ，，，， ∴，易證平面， ∴是平面的法向量，. ∴直線與平面所成角的余弦值為. （2）, 設(shè)平面的一個法向量為， 則，取，得. ∴點到平面的距離. （3）存在.設(shè)（）, ∵,∴， ∴，∴. 設(shè)平面的一個法向量為， 則，取，得. 又平面的一個法向量為， ∵二面角的余弦值為，∴， 得，解得或（舍）, ∴存在點，使得二面角的余弦值為，且. 18、[解析]（1）

13、設(shè)、的公共焦點為，由題意得， 故，，.（2分） ∴橢圓：，拋物線：.（4分） （2）存在.設(shè)，，，. 直線的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立得 化簡得， . ， （6分） （7分）. 直線的方程為與拋物線的方程聯(lián)立得 化簡得， （9分） . （11分） , 要使為常數(shù)，則，得, 故存在,使為常數(shù). （14分） 19、[解析]（1）當(dāng)時，，（1分） 當(dāng)時， （2分） 而當(dāng)時，， ∴（）. （4分） （2）， ∴.（7分） ∵， ∴單調(diào)遞增，. （8分） 令，得，所以. （10分） （3） 當(dāng)為奇數(shù)時，為偶數(shù)，

14、∴，. （12分） 當(dāng)為偶數(shù)時，為奇數(shù)，∴， （舍去） 綜上，存在唯一正整數(shù)，使得成立. （14分） 20、[解析]（1）（）. （1分） 令，解得； 令，解得. （2分） ∴函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減. （3分） ∴的極大值為 （4分） （2）由（1）知在上單調(diào)遞減， 令，則在上單調(diào)遞減. ， （5分） 取，則.（6分） 故存在，使，即存在，使.（7分） （說明: 的取法不唯一, 只要滿足, 且即可） （3）設(shè)（）, 則， 當(dāng)時, , 函數(shù)單調(diào)遞減； 當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增. ∴是函數(shù)的極小值點，也是最小值點，即. ∴函數(shù)與的圖象在處有公共點. （9分） 設(shè)與存在“分界線”且其方程為， 令函數(shù)， ①由，得在上恒成立， 即在上恒成立， ∴，即， ∴，故. （11分） ②下面說明：，即（）恒成立. 設(shè)，則. ∵當(dāng)時, ，函數(shù)單調(diào)遞增， 當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減, ∴當(dāng)時，取得最大值，. ∴（）恒成立. （13分） 綜合①②知，且，故函數(shù)與存在“分界線”, 且，. （14分） 、 理科數(shù)學(xué)試卷第 17 頁（共20 頁） 理科數(shù)學(xué)試卷第 18 頁（共20頁）