河南省八校高三上學(xué)期第一次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題及答案

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1、河南省八校2015屆高三（上）第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（理科） 　 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1． 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（　?。? 　 A．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 2． 若sin2t=﹣cosxdx，其中t∈（0，π），則t=（　?。? 　 A． B． C． D． π 3． 在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N（2，σ2）（σ＞0），若ξ在（0，2）內(nèi)取值的概率為0.4，則ξ在（0，+∞）內(nèi)取值的概率為（　?。? 　 A． 0.2 B． 0.4 C． 0.8 D

2、． 0.9 4． 設(shè)p：f（x）=x3﹣2x2﹣mx+1在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞增；q：m＞，則p是q的（　?。? 　 A．充要條件 B． 充分不必要條件 C． 必要不充分條件 D． 以上都不對(duì) 5． 將函數(shù)y=cosx+sinx（x∈R）的圖象向左平移m（m＞0）個(gè)長(zhǎng)度單位后，所得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則m的最小值是（　?。? 　 A． B． C． D． 6． x、y滿足約束條件，若z=y﹣ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù)a的值為（　?。? 　 A． 或﹣1 B． 2或 C． 2或1 D． 2或﹣1 　 7． 若[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸

3、出的S值為（　　） 　 A． 4 B． 5 C． 7 D． 9 8． 等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1+a2=10，a3+a4=26，則過(guò)點(diǎn)P（n，an）和Q（n+1，an+1）（n∈N*）的直線的一個(gè)方向向量是（　　） 　 A．（﹣，﹣2） B． （﹣1，﹣2） C． （﹣，﹣4） D． （2，） 9． 在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，sin=，a=b=3，點(diǎn)P是邊AB上的一個(gè)三等分點(diǎn)，則?+?=（　　） 　 A． 0 B． 6 C． 9 D． 12 10．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個(gè)正三角形，則這個(gè)幾何體的外接球的表面積為（　?。?

4、 　 A． B． C． D． 11． 已知y=f（x）為R上的可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x≠0時(shí)，，則關(guān)于x的函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　?。? 　 A． 1 B． 2 C． 0 D． 0或2 12． 已知函數(shù)f（x）=，若存在實(shí)數(shù)x1，x2，x3，x4，滿足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），則的取值范圍是（　?。? 　 A．（0，12） B． （4，16） C． （9，21） D． （15，25） 　 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分． 13． 已知雙曲線=1的右焦點(diǎn)為（3，0），則該雙曲線的離心率等于　_________?。? 14．

5、若（2x﹣3）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，則a1+2a2+3a3+4a4+5a5等于　_________　． 15． 已知函數(shù)f（x）=esinx+cosx﹣sin2x（x∈R），則函數(shù)f（x）的最大值與最小值的差是　_________?。? 16．下列說(shuō)法： ①“?x∈R，使2x＞3”的否定是“?x∈R，使2x≤3”； ②函數(shù)y=sin（2x+）sin（﹣2x）的最小正周期是π， ③命題“函數(shù)f（x）在x=x0處有極值，則f′（x0）=0”的否命題是真命題； ④f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，x＞0時(shí)的解析式是f（x）=2x，則x＜0時(shí)

6、的解析式為f（x）=﹣2﹣x 其中正確的說(shuō)法是　_________?。? 　 三、解答題：本大題共5小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． 17．（12分）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且2cosAcosC（tanAtanC﹣1）=1． （Ⅰ）求B的大小； （Ⅱ）若，，求△ABC的面積． 　 18．（12分）現(xiàn)有4個(gè)人去參加娛樂(lè)活動(dòng)，該活動(dòng)有甲、乙兩個(gè)游戲可供參加者選擇．為增加趣味性，約定：每個(gè)人通過(guò)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個(gè)游戲，擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參加乙游戲． （1）求這4個(gè)人中恰有2人去參

7、加甲游戲的概率； （2）求這4個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率； （3）用X，Y分別表示這4個(gè)人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記ξ=|X﹣Y|，求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望Eξ． 　 19．（12分）（2015?惠州模擬）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥側(cè)面A1ABB1，且AA1=AB=2． （1）求證：AB⊥BC； （2）若直線AC與平面A1BC所成的角為，求銳二面角A﹣A1C﹣B的大?。? 　 20．（12分）已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，離心率等于，它的一個(gè)短軸端點(diǎn)點(diǎn)恰好是拋物線x2=8y的焦點(diǎn)． （1）求橢圓C的方程； （2）已知

8、P（2，3）、Q（2，﹣3）是橢圓上的兩點(diǎn)，A，B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)， ①若直線AB的斜率為，求四邊形APBQ面積的最大值； ②當(dāng)A、B運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足∠APQ=∠BPQ，試問(wèn)直線AB的斜率是否為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由． 　 21．（12分）已知函數(shù)f（x）=（a+1）lnx+ax2+1 （1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性； （2）設(shè)a＜﹣1．如果對(duì)任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，求a的取值范圍． 　 四、選考題（請(qǐng)考生在第22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做第一題記分．）選修4-1：幾何證明選講 22．（10分

9、）已知AB為半圓O的直徑，AB=4，C為半圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作半圓的切線CD，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥CD于D，交半圓于點(diǎn)E，DE=1． （Ⅰ）求證：AC平分∠BAD； （Ⅱ）求BC的長(zhǎng)． 　 五、選考題（請(qǐng)考生在第22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做第一題記分．）選修4-4：坐標(biāo)素與參數(shù)方程 23．已知在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2﹣4ρcosθ=0． （Ⅰ）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程； （Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l的距離d的取值范圍．

10、　 六、選考題（請(qǐng)考生在第22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做第一題記分．）選修4-5：不等式選講 24．關(guān)于x的不等式lg（|x+3|﹣|x﹣7|）＜m． （Ⅰ）當(dāng)m=1時(shí)，解此不等式； （Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）=lg（|x+3|﹣|x﹣7|），當(dāng)m為何值時(shí)，f（x）＜m恒成立？ 　 參 考 答 案 一、選擇題 DCDCD DCCBB CA 二、填空題 13、 14、10 15、 16、①④ 17.解：（Ⅰ）由得： ， ，又 ……………6分 （Ⅱ）由余弦定理得： ， 又，，

11、…………12分 18.解：依題意，這4個(gè)人中，每個(gè)人去參加甲游戲的概率為，去參加乙游戲的概率為.設(shè)“這4個(gè)人中恰有i人去參加甲游戲”為事件(i＝0,1,2,3,4)，則 （1）這4個(gè)人中恰有2人去參加甲游戲的概率 3分 （2）設(shè)“這4個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”為事件B，則， 由于與互斥，故 所以，這4個(gè)人去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率為……… 7分 （3）ξ的所有可能取值為0,2,4. 由于與互斥，與互斥，故 ， 。 所以ξ的分布列是 ξ 0 2 4 P 隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望

12、 12分 19.解（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，因，則 由平面?zhèn)让?，且平面?zhèn)让妫? 得，又平面， 所以. 因?yàn)槿庵侵比庵?，則，所以. 又，從而側(cè)面 ，又側(cè)面，故. -------6分 （2） 解法一：連接，由（1）可知，則是在內(nèi)的射影 ∴ 即為直線與所成的角，則 在等腰直角中，，且點(diǎn)是中點(diǎn)，∴ ，且， ∴ 過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)，連，由（1）知，則，且 ∴ 即為二面角的一個(gè)平面角 且直角中：，又， ∴ ， 且二面角為銳二面角 ∴ ，即二面角的大小為

13、----12分 解法二（向量法）：由（1）知且，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，且設(shè)，則，，，，，，， 設(shè)平面的一個(gè)法向量，由， 得： 令 ，得 ，則 設(shè)直線與所成的角為，則 得，解得，即 又設(shè)平面的一個(gè)法向量為，同理可得，設(shè)銳二面角的大小為，則 ，且，得 ∴ 銳二面角的大小為. ------------12分 20.解：(1）設(shè)橢圓的方程為，則.由，得 ∴橢圓C的方程為. ……2分 (2)（i）解：設(shè)，直線的方程為， 代入， 得 由，解得 由韋達(dá)

14、定理得. 四邊形的面積 ∴當(dāng)，. …… 4分 （ii）解：當(dāng)，則、的斜率之和為0，設(shè)直線的斜率為 則的斜率為，的直線方程為 由…………6分 （1）代入（2）整理得 同理的直線方程為，可得 ∴ 所以的斜率為定值. …………12分 21、解：（1）的定義域?yàn)? 當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，令，解得 即時(shí)，；時(shí)，； 故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；…………（6分） （2）不妨設(shè)，而，由（1）

15、知在單調(diào)遞減，從而對(duì)任意，恒有 …..（8分） 令，則 等價(jià)于在單調(diào)遞減， 即，從而， 故的取值范圍為…………….(12分) 另解： 設(shè)， 則 當(dāng)，。 ∴ ∴ 22、（1）連接，因?yàn)椋?． 為半圓的切線，∴． ∵，． ．平分． 5分 （2）連接，由（1）得，∴． ∵四點(diǎn)共圓．∴．∵AB是圓O的直徑，∴是直角．∴∽， ．∴． 10分 23.（I）直線的普通方程為：；曲線的直角坐標(biāo)方程為---4分 （II）設(shè)點(diǎn)， 則 所以的取值范圍是.---------10分 24．解：解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，原不等式可變?yōu)?，可得其解集? （Ⅱ）設(shè)，則由對(duì)數(shù)定義及絕對(duì)值的幾何意義知， 因在上為增函數(shù)， 則，當(dāng)時(shí)，， 故只需即可，即時(shí)，恒成立．