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1、河南省八校2015屆高三(上)第一次聯(lián)考數(shù)學試卷(理科)
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1. 在復平面內(nèi),復數(shù)對應的點位于( ?。?
A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 若sin2t=﹣cosxdx,其中t∈(0,π),則t=( ?。?
A. B. C. D. π
3. 在某項測量中,測量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2)(σ>0),若ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.4,則ξ在(0,+∞)內(nèi)取值的概率為( )
A. 0.2 B. 0.4 C. 0.8 D
2、. 0.9
4. 設(shè)p:f(x)=x3﹣2x2﹣mx+1在(﹣∞,+∞)上單調(diào)遞增;q:m>,則p是q的( ?。?
A.充要條件 B. 充分不必要條件 C. 必要不充分條件 D. 以上都不對
5. 將函數(shù)y=cosx+sinx(x∈R)的圖象向左平移m(m>0)個長度單位后,所得到的圖象關(guān)于原點對稱,則m的最小值是( ?。?
A. B. C. D.
6. x、y滿足約束條件,若z=y﹣ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一,則實數(shù)a的值為( ?。?
A. 或﹣1 B. 2或 C. 2或1 D. 2或﹣1
7. 若[x]表示不超過x的最大整數(shù),執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸
3、出的S值為( ?。?
A. 4 B. 5 C. 7 D. 9
8. 等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1+a2=10,a3+a4=26,則過點P(n,an)和Q(n+1,an+1)(n∈N*)的直線的一個方向向量是( ?。?
A.(﹣,﹣2) B. (﹣1,﹣2) C. (﹣,﹣4) D. (2,)
9. 在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,sin=,a=b=3,點P是邊AB上的一個三等分點,則?+?=( ?。?
A. 0 B. 6 C. 9 D. 12
10.一個幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖是一個正三角形,則這個幾何體的外接球的表面積為( )
4、
A. B. C. D.
11. 已知y=f(x)為R上的可導函數(shù),當x≠0時,,則關(guān)于x的函數(shù)的零點個數(shù)為( ?。?
A. 1 B. 2 C. 0 D. 0或2
12. 已知函數(shù)f(x)=,若存在實數(shù)x1,x2,x3,x4,滿足x1<x2<x3<x4,且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),則的取值范圍是( ?。?
A.(0,12) B. (4,16) C. (9,21) D. (15,25)
二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.
13. 已知雙曲線=1的右焦點為(3,0),則該雙曲線的離心率等于 _________?。?
14.
5、若(2x﹣3)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,則a1+2a2+3a3+4a4+5a5等于 _________ .
15. 已知函數(shù)f(x)=esinx+cosx﹣sin2x(x∈R),則函數(shù)f(x)的最大值與最小值的差是 _________?。?
16.下列說法:
①“?x∈R,使2x>3”的否定是“?x∈R,使2x≤3”;
②函數(shù)y=sin(2x+)sin(﹣2x)的最小正周期是π,
③命題“函數(shù)f(x)在x=x0處有極值,則f′(x0)=0”的否命題是真命題;
④f(x)是(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數(shù),x>0時的解析式是f(x)=2x,則x<0時
6、的解析式為f(x)=﹣2﹣x
其中正確的說法是 _________?。?
三、解答題:本大題共5小題,共70分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.(12分)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,且2cosAcosC(tanAtanC﹣1)=1.
(Ⅰ)求B的大小;
(Ⅱ)若,,求△ABC的面積.
18.(12分)現(xiàn)有4個人去參加娛樂活動,該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇.為增加趣味性,約定:每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲,擲出點數(shù)為1或2的人去參加甲游戲,擲出點數(shù)大于2的人去參加乙游戲.
(1)求這4個人中恰有2人去參
7、加甲游戲的概率;
(2)求這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率;
(3)用X,Y分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數(shù),記ξ=|X﹣Y|,求隨機變量ξ的分布列與數(shù)學期望Eξ.
19.(12分)(2015?惠州模擬)如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,平面A1BC⊥側(cè)面A1ABB1,且AA1=AB=2.
(1)求證:AB⊥BC;
(2)若直線AC與平面A1BC所成的角為,求銳二面角A﹣A1C﹣B的大?。?
20.(12分)已知橢圓C的中心在原點,離心率等于,它的一個短軸端點點恰好是拋物線x2=8y的焦點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知
8、P(2,3)、Q(2,﹣3)是橢圓上的兩點,A,B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的動點,
①若直線AB的斜率為,求四邊形APBQ面積的最大值;
②當A、B運動時,滿足∠APQ=∠BPQ,試問直線AB的斜率是否為定值,請說明理由.
21.(12分)已知函數(shù)f(x)=(a+1)lnx+ax2+1
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)設(shè)a<﹣1.如果對任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)﹣f(x2)|≥4|x1﹣x2|,求a的取值范圍.
四、選考題(請考生在第22、23、24題中任選一題作答,如果多做,則按所做第一題記分.)選修4-1:幾何證明選講
22.(10分
9、)已知AB為半圓O的直徑,AB=4,C為半圓上一點,過點C作半圓的切線CD,過點A作AD⊥CD于D,交半圓于點E,DE=1.
(Ⅰ)求證:AC平分∠BAD;
(Ⅱ)求BC的長.
五、選考題(請考生在第22、23、24題中任選一題作答,如果多做,則按所做第一題記分.)選修4-4:坐標素與參數(shù)方程
23.已知在直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρ2﹣4ρcosθ=0.
(Ⅰ)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程;
(Ⅱ)設(shè)點P是曲線C上的一個動點,求它到直線l的距離d的取值范圍.
10、
六、選考題(請考生在第22、23、24題中任選一題作答,如果多做,則按所做第一題記分.)選修4-5:不等式選講
24.關(guān)于x的不等式lg(|x+3|﹣|x﹣7|)<m.
(Ⅰ)當m=1時,解此不等式;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)=lg(|x+3|﹣|x﹣7|),當m為何值時,f(x)<m恒成立?
參 考 答 案
一、選擇題 DCDCD DCCBB CA
二、填空題
13、 14、10 15、 16、①④
17.解:(Ⅰ)由得:
,
,又 ……………6分
(Ⅱ)由余弦定理得: ,
又,,
11、…………12分
18.解:依題意,這4個人中,每個人去參加甲游戲的概率為,去參加乙游戲的概率為.設(shè)“這4個人中恰有i人去參加甲游戲”為事件(i=0,1,2,3,4),則
(1)這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率 3分
(2)設(shè)“這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”為事件B,則,
由于與互斥,故
所以,這4個人去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率為……… 7分
(3)ξ的所有可能取值為0,2,4. 由于與互斥,與互斥,故
,
。
所以ξ的分布列是
ξ
0
2
4
P
隨機變量ξ的數(shù)學期望
12、 12分
19.解(1)證明:如圖,取的中點,連接,因,則
由平面?zhèn)让?,且平面?zhèn)让妫?
得,又平面, 所以.
因為三棱柱是直三棱柱,則,所以.
又,從而側(cè)面 ,又側(cè)面,故. -------6分
(2) 解法一:連接,由(1)可知,則是在內(nèi)的射影
∴ 即為直線與所成的角,則 在等腰直角中,,且點是中點,∴ ,且,
∴ 過點A作于點,連,由(1)知,則,且 ∴ 即為二面角的一個平面角 且直角中:,又, ∴ ,
且二面角為銳二面角 ∴ ,即二面角的大小為
13、----12分
解法二(向量法):由(1)知且,所以以點為原點,以所在直線分別為軸建立空間直角坐標系,如圖所示,且設(shè),則,,,,,,,
設(shè)平面的一個法向量,由, 得:
令 ,得 ,則 設(shè)直線與所成的角為,則 得,解得,即
又設(shè)平面的一個法向量為,同理可得,設(shè)銳二面角的大小為,則
,且,得
∴ 銳二面角的大小為. ------------12分
20.解:(1)設(shè)橢圓的方程為,則.由,得
∴橢圓C的方程為. ……2分
(2)(i)解:設(shè),直線的方程為, 代入,
得 由,解得
由韋達
14、定理得. 四邊形的面積
∴當,. …… 4分
(ii)解:當,則、的斜率之和為0,設(shè)直線的斜率為
則的斜率為,的直線方程為 由…………6分
(1)代入(2)整理得
同理的直線方程為,可得
∴
所以的斜率為定值. …………12分
21、解:(1)的定義域為.
當時,,故在單調(diào)遞增;
當時,,故在單調(diào)遞減;
當時,令,解得
即時,;時,;
故在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;…………(6分)
(2)不妨設(shè),而,由(1)
15、知在單調(diào)遞減,從而對任意,恒有 …..(8分)
令,則 等價于在單調(diào)遞減,
即,從而,
故的取值范圍為…………….(12分)
另解: 設(shè),
則
當,。
∴ ∴
22、(1)連接,因為,所以 .
為半圓的切線,∴. ∵,.
.平分. 5分
(2)連接,由(1)得,∴.
∵四點共圓.∴.∵AB是圓O的直徑,∴是直角.∴∽,
.∴. 10分
23.(I)直線的普通方程為:;曲線的直角坐標方程為---4分
(II)設(shè)點,
則
所以的取值范圍是.---------10分
24.解:解:(Ⅰ)當時,原不等式可變?yōu)?,可得其解集?
(Ⅱ)設(shè),則由對數(shù)定義及絕對值的幾何意義知,
因在上為增函數(shù), 則,當時,,
故只需即可,即時,恒成立.