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1、姜堰區(qū)2015-2016學年度第一學期期中調研測試
高三年級數學試題(理) 2015.11
命題人:史記祥(省姜堰二中) 審核人:王如進 孟太
數學Ⅰ
(本卷考試時間:120分鐘 總分160分)
一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共計70分. 請把答案填寫在答題卡相應位置上.
1.若復數(是虛數單位),則的實部為 ▲ .
2.已知,若,則實數的取值范圍為 ▲ .
3.若樣本數據的平均數為,則數據的平均數為 ▲ .
4.若滿足,則的最大值為 ▲ .
5.根據如圖所示的偽代碼,可知輸出的結果為 ▲ .
S←1
I←
2、1
While I10
S←S+2
I←I+3
End While
Print S
(第5題圖)
6.設 ,則“ ”是“ ”的 ▲ 條件(從“充分不必要”、“必
要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”中選擇).
7.袋中有形狀、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只紅球,2只黃球,從中一次隨機摸出2只球,則這2只球中有黃球的概率為 ▲ .
8.將函數圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),再將所得到的圖像向右平移個單位長度得到函數,則 ▲ .
9.設的內角的對邊分別為,若,則 ▲ .
3、
10.在中,點滿足,若,則 ▲ .
11.若函數的值域是,則實數的取值范圍是 ▲ .
12.過點作曲線的切線,切點為,設在軸上的投影是點,過點再作曲線的切線,切點為,設在軸上的投影是點,依次下去,得到第個切點,則點的坐標為 ▲ .
13.如果函數在區(qū)間單調遞減,則的最大值為 ▲ .
14.設,其中均為實數,下列條件中,使得該三次方程僅有一個實根的有 ▲
(寫出所有正確條件的編號)
①;②;③;④;⑤
二、解答題:本大題共6小題,共計90分.請在答題卡指定區(qū)域內作答,解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(本小題滿分1
4、4分)
已知函數.
(1)求的最小正周期;
(2)求在區(qū)間上的最小值.
16.(本小題滿分14分)
在平面直角坐標系中,已知向量.
(1)若,求的值;
(2)若與的夾角為,求的值.
17.(本小題滿分14分)
已知關于的方程.
(1)若方程的一根在區(qū)間內,另一根在區(qū)間內,求實數的取值范圍;
(2)若方程的兩根都在區(qū)間,求實數的取值范圍.
18.(本小題滿分16分)
強度分別為的兩個光源間的距離為.已知照度與光的強度成正比,與光源距離的平方成反比,比例系數為.線段上有一點,設,點處總照度為.試就時回答下列問題.
5、(注:點處的總照度為受光源的照度之和)
(1)試將表示成關于的函數,并寫出其定義域;
(2)問:為何值時,點處的總照度最?。?
19.(本小題滿分16分)
已知是各項均為正數的等比數列, 是等差數列,且
.
(1)求和的通項公式;
(2)設,其前項和為.
①求;
②若對任意恒成立,求的最大值.
20.(本小題滿分16分)
已知函數.
(1)求函數的單調遞增區(qū)間;
(2)證明:當時,;
(3)確定實數的所有可能取值,使得存在,當時,恒有.
6、
數學Ⅱ
(本卷考試時間:30分鐘 總分40分)
21A.(本小題滿分10分)
已知分別是內角的對邊,已知,,且 求的面積.
21B.(本小題滿分10分)
設數列的前項和,且成等差數列,求數列的通項公式.
22.(本小題滿分10分)
投資生產產品時,每生產需要資金200萬元,需場地200,可獲得利潤300萬元;投資生產產品時,每生產需要資金300萬元,需場地100,可獲得利潤200萬元.現某單位可使用資金1400萬元,場地900,問:應作怎樣的組合投資,可使獲利最大?
23.(本小題滿分10分)
已知函
7、數.
(1)求的單調性;
(2)設曲線與軸正半軸的交點為,曲線在點處的切線方程為,求證:對于任意的正實數,都有.
姜堰區(qū)2015-2016學年度第一學期期中調研測試
高三年級數學試題(理)參考答案
數學Ⅰ
1.2 2. 3.15 4.2 5.7 6.充分不必要 7. 8.
9.或3 10. 11. 12. 13.18 14. ①②③⑤
15. 解:(1)
-----------4分
所以的最小正周期
8、 -----------7分
(2)因為,所以 -----------9分
所以當,即時 -----------11分
取最小值為 -----------14分
16.解:(1)因為,所以
-----------4分
所以
因為,所以 -----
9、------7分
(2)由
-----------10分
因為,所以 -----------12分
所以,即 -----------14分
17.解:(1)令,由題意可知
,即 -----------4分
解得
10、 -----------7分
(2)由題意可知 -----------10分
解得 -----------14分
18.解:(1)由題意可知:
點處受光源的照度為 -----------2分
點處受光源的照度為 -----------4分
從而,點的總照度為,
11、 -----------6分
其定義域為 -----------7分
(2)對函數求導,可得, -----------9分
令,得,
因為,所以,所以,解得 -----------11分
當 -----------13分
因此,時,取得極小值,且是最小值 -----------15
12、分
答:時,點處的總照度最小 -----------16分
19.解:(1)設的公比為,的公差為,由題意,
由已知,有 -----------1分
解得 -----------3分
所以的通項公式為, 的通項公式為----------5分
(2)由(1)有 ,則
13、 ----------7分
兩式相減得
所以 -----------10分
(3)令
由,得,即
解得對任意成立,即數列為單調遞增數列,
所以的最小項為 -----------13分
因為對任意恒成立,所以,
所以的最小值為 -----------16分
20.解:(1)函數
14、的定義域為 -----------1分
對函數求導,得 -----------2分
由,得,解得
故的單調遞增區(qū)間為 -----------4分
證明:(2)令,
則有 -----------5分
當時,,所以在上單調遞減, -----------7分
故當時,,即時,
15、 -----------9分
解:(3)由(2)知,當時,不存在滿足題意; -----------10分
當時,對于,有,
則,從而不存在滿足題意; -----------12分
當時,令
則有
由得,.
解得 -----------14分
所以當時,,故在內單調遞增,
從而當時,,即
綜上,的取值范圍是 -----------16分
數學Ⅱ
21A.解:由題意及正弦
16、定理可知:; -----------3分
因為,由勾股定理得; -----------5分
又,所以解得; -----------7分
所以的面積. -----------10分
21B.解:由已知,
有,
即. -----------5分
從而,
又因為成等差數列,即,
所以,解得;
17、 -----------8分
所以,數列是首項為2,公比為2的等比數列,
故. -----------10分
22.解:設生產A產品百噸,生產B產品百米,利潤為S百萬元,則
約束條件為 ; -----------3分
目標函數為 . -----------5分
作出可行域,將目標函數變形為
這是斜率為,隨S變化的一族直線.是直線在軸
18、上的截距,當最大時,S最大.
由圖象可知,使取得最大值的是兩直線與的交點
此時 -----------9分
答:生產A產品325噸,生產B產品250米時,獲利最大,且最大利潤為1475萬元. --10分
23.解:(1)由,可得, -----------1分
當 ,即 時,函數 單調遞增;
當 ,即 時,函數 單調遞減;
所以函數的單調遞增區(qū)間是 ,單調遞減區(qū)間是. -----------4分
(2)設 ,則 , -----------5分
曲線 在點P處的切線方程為,
即;
令 即 -----------6分
則;由于在 單調遞減,
所以在 單調遞減,又因為,
所以當時,,所以當時,, -----------8分
所以 在單調遞增,在單調遞減,
所以對任意的實數x,,
即對于任意的正實數,都有. ――----10分