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1、
數學選修1-2導學案---復數
3-1 數系的擴充和復數的概念
學習目標：
1、了解引進復數的必要性；理解并掌握虛數的單位i
2、理解并掌握虛數單位與實數進行四則運算的規(guī)律
3、理解并掌握復數的有關概念(復數集、代數形式、虛數、純虛數、實部、虛部) 理解并掌握復數相等的有關概念
學習重點：
復數的概念，虛數單位i，復數的分類(實數、虛數、純虛數)和復數相等等概念是本節(jié)課的教學重點.
學習難點：
虛數單位i的引進及復數的概念是本節(jié)課的教學難點.復數的概念是在引入虛數單位i并同時規(guī)定了它的兩條性質之后，自然地得出的.在規(guī)定i的第二條性質時，原有的加、乘運算律仍然成立
自主
2、學習
一、知識回顧：
數的概念是從實踐中產生和發(fā)展起來的 ，由于計數的需要，就產生了1，2及表示“沒有”的數0.自然數的全體構成自然數集N為了解決測量、分配中遇到的將某些量進行等分的問題，人們引進了分數；為了表示各種具有相反意義的量以及滿足記數的需要，人們又引進了負數.這樣就把數集擴充到有理數集Q.顯然NQ.如果把自然數集(含正整數和0)與負整數集合并在一起，構成整數集Z，則有ZQ、NZ.如果把整數看作分母為1的分數，那么有理數集實際上就是分數集
有些量與量之間的比值，例如用正方形的邊長去度量它的對角線所得的結果，無法用有理數表示，為了解決這個矛盾，人們又引進了無理數.所謂無理數，就是無
3、限不循環(huán)小數.有理數集與無理數集合并在一起，構成實數集R.因為有理數都可看作循環(huán)小數(包括整數、有限小數)，無理數都是無限不循環(huán)小數，所以實數集實際上就是小數集
因生產和科學發(fā)展的需要而逐步擴充，數集的每一次擴充，對數學學科本身來說，也解決了在原有數集中某種運算不是永遠可以實施的矛盾，分數解決了在整數集中不能整除的矛盾，負數解決了在正有理數集中不夠減的矛盾，無理數解決了開方開不盡的矛盾.但是，數集擴到實數集R以后，像x2=－1這樣的方程還是無解的，因為沒有一個實數的平方等于－1.由于解方程的需要，人們引入了一個新數，叫做虛數單位.并由此產生的了復數
二、新課研究：
1、虛數單位:
(1
4、)它的平方等于-1，即;
(2)實數可以與它進行四則運算，進行四則運算時，原有加、乘運算律仍然成立.
2. 與－1的關系: 就是－1的一個平方根，即方程x2=－1的一個根，方程x2=－1的另一個根是－!
2、 的周期性：4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1
3、復數的定義：形如的數叫復數，叫復數的實部，叫復數的虛部全體復數所成的集合叫做復數集，用字母C表示*
4、復數的代數形式: 復數通常用字母z表示，即，把復數表示成a+bi的形式，叫做復數的代數形式
5、復數與實數、虛數、純虛數及0的關系：對于復數，當且僅當b=0時，復數a+bi(a、b∈R)是
5、實數a；當b≠0時，復數z=a+bi叫做虛數；當a=0且b≠0時，z=bi叫做純虛數；當且僅當a=b=0時，z就是實數0.
6、復數集與其它數集之間的關系：NZQRC.
7、兩個復數相等的定義：如果兩個復數的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復數相等
這就是說，如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d
復數相等的定義是求復數值，在復數集中解方程的重要依據 一般地，兩個復數只能說相等或不相等，而不能比較大小.如3+5i與4+3i不能比較大小.
現有一個命題：“任何兩個復數都不能比較大小”對嗎？不對 如果兩個復數都是實數，就可以比較大小 只有當兩個復數不全是
6、實數時才不能比較大小
例題講解
例1 請說出復數的實部和虛部，有沒有純虛數？
答：它們都是虛數，它們的實部分別是2，－3，0，－;虛部分別是3，，－，－;－i是純虛數.
例2 復數－2i+3.14的實部和虛部是什么？
答：實部是3.14，虛部是－2.
易錯為：實部是－2，虛部是3.14！
例3 實數m取什么數值時，復數z=m+1+(m－1)i是:
(1)實數？ (2)虛數？ (3)純虛數？
［分析］因為m∈R，所以m+1，m－1都是實數，由復數z=a+bi是實數、虛數和純虛數的條件可以確定m的值.
解：(1)當m－1=0，即m=1時，復數z是實數；
(2)當m－
7、1≠0，即m≠1時，復數z是虛數；
(3)當m+1=0，且m－1≠0時，即m=－1時，復數z 是純虛數.
例4 已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x，y∈R，求x與y.
解：根據復數相等的定義，得方程組，所以x=，y=4
課堂鞏固
1、設集合C=｛復數｝，A=｛實數｝，B=｛純虛數｝，若全集S=C，則下列結論正確的是( )
A.A∪B=C B. A=B C.A∩B= D.B∪B=C
2、復數(2x2+5x+2)+(x2+x－2)i為虛數，則實數x滿足( )
A.x=－ B.x=－2或－ C.x≠－2 D.x≠1且x≠－2
3、
8、復數z1=a+｜b｜i，z2=c+｜d｜i(a、b、c、d∈R)，則z1=z2的充要條件是______.
4、已知m∈R，復數z=+(m2+2m－3)i，當m為何值時，(1)z∈R; (2)z是虛數；(3)z是純虛數；(4)z=+4i.
歸納反思
課后探究
1、設復數z=log2(m2－3m－3)+ilog2(3－m)(m∈R)，如果z是純虛數，求m的值.
2、若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一個實數根，試求實數m的值.
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