北師大版高中數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案《數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念》

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1、 數(shù)學(xué)選修1-2導(dǎo)學(xué)案---復(fù)數(shù) 3-1 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念 學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1、了解引進(jìn)復(fù)數(shù)的必要性；理解并掌握虛數(shù)的單位i 2、理解并掌握虛數(shù)單位與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算的規(guī)律 3、理解并掌握復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(復(fù)數(shù)集、代數(shù)形式、虛數(shù)、純虛數(shù)、實(shí)部、虛部) 理解并掌握復(fù)數(shù)相等的有關(guān)概念 學(xué)習(xí)重點(diǎn)： 復(fù)數(shù)的概念，虛數(shù)單位i，復(fù)數(shù)的分類(實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù))和復(fù)數(shù)相等等概念是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn). 學(xué)習(xí)難點(diǎn)： 虛數(shù)單位i的引進(jìn)及復(fù)數(shù)的概念是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn).復(fù)數(shù)的概念是在引入虛數(shù)單位i并同時規(guī)定了它的兩條性質(zhì)之后，自然地得出的.在規(guī)定i的第二條性質(zhì)時，原有的加、乘運(yùn)算律仍然成立 自主

2、學(xué)習(xí) 一、知識回顧： 數(shù)的概念是從實(shí)踐中產(chǎn)生和發(fā)展起來的 ，由于計(jì)數(shù)的需要，就產(chǎn)生了1，2及表示“沒有”的數(shù)0.自然數(shù)的全體構(gòu)成自然數(shù)集N為了解決測量、分配中遇到的將某些量進(jìn)行等分的問題，人們引進(jìn)了分?jǐn)?shù)；為了表示各種具有相反意義的量以及滿足記數(shù)的需要，人們又引進(jìn)了負(fù)數(shù).這樣就把數(shù)集擴(kuò)充到有理數(shù)集Q.顯然NQ.如果把自然數(shù)集(含正整數(shù)和0)與負(fù)整數(shù)集合并在一起，構(gòu)成整數(shù)集Z，則有ZQ、NZ.如果把整數(shù)看作分母為1的分?jǐn)?shù)，那么有理數(shù)集實(shí)際上就是分?jǐn)?shù)集 有些量與量之間的比值，例如用正方形的邊長去度量它的對角線所得的結(jié)果，無法用有理數(shù)表示，為了解決這個矛盾，人們又引進(jìn)了無理數(shù).所謂無理數(shù)，就是無

3、限不循環(huán)小數(shù).有理數(shù)集與無理數(shù)集合并在一起，構(gòu)成實(shí)數(shù)集R.因?yàn)橛欣頂?shù)都可看作循環(huán)小數(shù)(包括整數(shù)、有限小數(shù))，無理數(shù)都是無限不循環(huán)小數(shù)，所以實(shí)數(shù)集實(shí)際上就是小數(shù)集 因生產(chǎn)和科學(xué)發(fā)展的需要而逐步擴(kuò)充，數(shù)集的每一次擴(kuò)充，對數(shù)學(xué)學(xué)科本身來說，也解決了在原有數(shù)集中某種運(yùn)算不是永遠(yuǎn)可以實(shí)施的矛盾，分?jǐn)?shù)解決了在整數(shù)集中不能整除的矛盾，負(fù)數(shù)解決了在正有理數(shù)集中不夠減的矛盾，無理數(shù)解決了開方開不盡的矛盾.但是，數(shù)集擴(kuò)到實(shí)數(shù)集R以后，像x2=－1這樣的方程還是無解的，因?yàn)闆]有一個實(shí)數(shù)的平方等于－1.由于解方程的需要，人們引入了一個新數(shù)，叫做虛數(shù)單位.并由此產(chǎn)生的了復(fù)數(shù) 二、新課研究： 1、虛數(shù)單位: (1

4、)它的平方等于-1，即; (2)實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時，原有加、乘運(yùn)算律仍然成立. 2. 與－1的關(guān)系: 就是－1的一個平方根，即方程x2=－1的一個根，方程x2=－1的另一個根是－! 2、 的周期性：4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1 3、復(fù)數(shù)的定義：形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，叫復(fù)數(shù)的虛部全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母C表示*　 4、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式: 復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即，把復(fù)數(shù)表示成a+bi的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式 5、復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及0的關(guān)系：對于復(fù)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)b=0時，復(fù)數(shù)a+bi(a、b∈R)是

5、實(shí)數(shù)a；當(dāng)b≠0時，復(fù)數(shù)z=a+bi叫做虛數(shù)；當(dāng)a=0且b≠0時，z=bi叫做純虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時，z就是實(shí)數(shù)0. 6、復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：NZQRC. 7、兩個復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復(fù)數(shù)相等 這就是說，如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d　 復(fù)數(shù)相等的定義是求復(fù)數(shù)值，在復(fù)數(shù)集中解方程的重要依據(jù)　一般地，兩個復(fù)數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小.如3+5i與4+3i不能比較大小. 現(xiàn)有一個命題：“任何兩個復(fù)數(shù)都不能比較大小”對嗎？不對　如果兩個復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)，就可以比較大小　只有當(dāng)兩個復(fù)數(shù)不全是

6、實(shí)數(shù)時才不能比較大小　 例題講解 例1 請說出復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，有沒有純虛數(shù)？ 答：它們都是虛數(shù)，它們的實(shí)部分別是2，－3，0，－;虛部分別是3，，－，－;－i是純虛數(shù). 例2 復(fù)數(shù)－2i+3.14的實(shí)部和虛部是什么？ 答：實(shí)部是3.14，虛部是－2. 易錯為：實(shí)部是－2，虛部是3.14！ 例3 實(shí)數(shù)m取什么數(shù)值時，復(fù)數(shù)z=m+1+(m－1)i是: (1)實(shí)數(shù)？ (2)虛數(shù)？ (3)純虛數(shù)？ ［分析］因?yàn)閙∈R，所以m+1，m－1都是實(shí)數(shù)，由復(fù)數(shù)z=a+bi是實(shí)數(shù)、虛數(shù)和純虛數(shù)的條件可以確定m的值. 解：(1)當(dāng)m－1=0，即m=1時，復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)； (2)當(dāng)m－

7、1≠0，即m≠1時，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)； (3)當(dāng)m+1=0，且m－1≠0時，即m=－1時，復(fù)數(shù)z 是純虛數(shù). 例4　已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x，y∈R，求x與y. 解：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，得方程組，所以x=，y=4 課堂鞏固 1、設(shè)集合C=｛復(fù)數(shù)｝，A=｛實(shí)數(shù)｝，B=｛純虛數(shù)｝，若全集S=C，則下列結(jié)論正確的是( ) A.A∪B=C B. A=B C.A∩B= D.B∪B=C 2、復(fù)數(shù)(2x2+5x+2)+(x2+x－2)i為虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x滿足( ) A.x=－ B.x=－2或－ C.x≠－2 D.x≠1且x≠－2 3、

8、復(fù)數(shù)z1=a+｜b｜i，z2=c+｜d｜i(a、b、c、d∈R)，則z1=z2的充要條件是______. 4、已知m∈R，復(fù)數(shù)z=+(m2+2m－3)i，當(dāng)m為何值時，(1)z∈R; (2)z是虛數(shù)；(3)z是純虛數(shù)；(4)z=+4i. 歸納反思 課后探究 1、設(shè)復(fù)數(shù)z=log2(m2－3m－3)+ilog2(3－m)(m∈R)，如果z是純虛數(shù)，求m的值. 2、若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一個實(shí)數(shù)根，試求實(shí)數(shù)m的值. 教師備課 學(xué)習(xí)資料 教師備課 學(xué)習(xí)資料 教師備課 學(xué)習(xí)資料 教師備課 學(xué)習(xí)資料