高中數(shù)學(xué)必修5數(shù)列經(jīng)典例題集錦.doc

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1、華師大教育 祈福分校電話:020-34774470 鐘老師 高中數(shù)學(xué)必修5數(shù)列題目精選精編 【典型例題】 (一)研究等差等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì) 1. 研究通項的性質(zhì) 例題1. 已知數(shù)列滿足. (1)求; (2)證明:. 解:(1). (2)證明:由已知,故 , 所以證得. 例題2. 數(shù)列的前項和記為 (Ⅰ)求的通項公式; (Ⅱ)等差數(shù)列的各項為正,其前項和為,且,又成等比數(shù)列,求. 解:(Ⅰ)由可得, 兩式相減得:, 又∴ 故是首項為1,公比為3的等比數(shù)列 ∴ (Ⅱ)設(shè)的公

2、比為,由得,可得,可得 故可設(shè),又, 由題意可得,解得 ∵等差數(shù)列的各項為正,∴ ∴ ∴ 例題3. 已知數(shù)列的前三項與數(shù)列的前三項對應(yīng)相同,且 對任意的都成立,數(shù)列是等差數(shù)列. ⑴求數(shù)列與的通項公式; ⑵是否存在,使得,請說明理由. 點撥:(1)左邊相當(dāng)于是數(shù)列前n項和的形式,可以聯(lián)想到已知求的方法,當(dāng)時,. (2)把看作一個函數(shù),利用函數(shù)的思想方法來研究的取值情況. 解:(1)已知…)① 時,…)② ①-②得,,求得, 在①中令,可得得, 所以N*). 由題意,,,所

3、以,, ∴數(shù)列的公差為, ∴, ). (2), 當(dāng)時,單調(diào)遞增,且, 所以時,, 又, 所以,不存在,使得. 例題4. 設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}和{bn}滿足:an、bn、an+1成等差數(shù)列,bn、an+1、bn+1成等比數(shù)列,且a1 = 1, b1 = 2 , a2 = 3 ,求通項an,bn 解: 依題意得: 2bn+1 = an+1 + an+2 ① a2n+1 = bnbn+1 ② ∵ an、bn為正數(shù), 由②得, 代入①并同除以得: , ∴ 為等差

4、數(shù)列 ∵ b1 = 2 , a2 = 3 , , ∴ , ∴當(dāng)n≥2時,, 又a1 = 1,當(dāng)n = 1時成立, ∴ 2. 研究前n項和的性質(zhì) 例題5. 已知等比數(shù)列的前項和為,且. (1)求、的值及數(shù)列的通項公式; (2)設(shè),求數(shù)列的前項和. 解:(1)時,.而為等比數(shù)列,得, 又,得,從而.又. (2), ) ,得, . 例題6. 數(shù)列是首項為1000,公比為的等比數(shù)列,數(shù)列滿足 , (1)求數(shù)列的前項和的最大值;(2)求數(shù)列的前項和. 解:(1)由題意:,∴,∴數(shù)列是首項為3,公差為的等差數(shù)列, ∴,∴ 由,得,

5、∴數(shù)列的前項和的最大值為. (2)由(1)當(dāng)時,,當(dāng)時,, ∴當(dāng)時, 當(dāng)時, ∴. 例題7. 已知遞增的等比數(shù)列{}滿足,且是,的等差中項. (1)求{}的通項公式;(2)若,求使成立的的最小值. 解:(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q>1),由 a1q+a1q2+a1q3=28,a1q+a1q3=2(a1q2+2),得:a1=2,q=2或a1=32,q=(舍) ∴an=22(n-1)=2n (2) ∵,∴Sn=-(12+222+323+…+n2n) ∴2Sn=-(122+223+…+n2n+1),∴Sn=2+22+23+…+2n-n2n+1=-(

6、n-1)2n+1-2, 若Sn+n 2n+1>30成立,則2n+1>32,故n>4,∴n的最小值為5. 例題8. 已知數(shù)列的前n項和為Sn,且成等差數(shù)列,. 函數(shù). (I)求數(shù)列的通項公式; (II)設(shè)數(shù)列滿足,記數(shù)列的前n項和為Tn,試比較 的大小. 解:(I)成等差數(shù)列,① 當(dāng)時,②. ①-②得:,, 當(dāng)n=1時,由①得, 又 是以1為首項3為公比的等比數(shù)列, (II)∵,, , 比較的大小,只需比較與312的大小即可. ∵∴當(dāng)時, 當(dāng)時, 當(dāng)時,. 3. 研究生成數(shù)列的性質(zhì) 例題9. (I) 已知數(shù)列,其中,且數(shù)

7、列為等比數(shù)列,求常數(shù); (II) 設(shè)、是公比不相等的兩個等比數(shù)列,,證明數(shù)列不是等比數(shù)列. 解:(Ⅰ)因為{cn+1-pcn}是等比數(shù)列,故有 (cn+1-pcn)2=( cn+2-pcn+1)(cn-pcn-1), 將cn=2n+3n代入上式,得 [2n+1+3n+1-p(2n+3n)]2 =[2n+2+3n+2-p(2n+1+3n+1)][2n+3n-p(2n-1+3n-1)], 即[(2-p)2n+(3-p)3n]2 =[(2-p)2n+1+(3-p)3n+1][ (2-p)2n-1+(3-p)3n-1], 整理得(2-p)(3-p

8、)2n3n=0, 解得p=2或p=3. (Ⅱ)設(shè){an}、{bn}的公比分別為p、q,p≠q,cn=an+bn. 為證{cn}不是等比數(shù)列只需證≠c1c3. 事實上,=(a1p+b1q)2=p2+q2+2a1b1pq, c1c3=(a1+b1)(a1 p2+b1q2)= p2+q2+a1b1(p2+q2). 由于p≠q,p2+q2>2pq,又a1、b1不為零, 因此c1c3,故{cn}不是等比數(shù)列. 例題1

9、0. n2( n≥4)個正數(shù)排成n行n列:其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列,每一列的數(shù)成等比數(shù)列,并且所有公比相等已知a24=1, 求S=a11 + a22 + a33 + … + ann 解: 設(shè)數(shù)列{}的公差為d, 數(shù)列{}(i=1,2,3,…,n)的公比為q 則= a11 + (k-1)d , akk = [a11 + (k-1)d]qk-1 依題意得:,解得:a11 = d = q = 又n2個數(shù)都是正數(shù), ∴a11 = d = q = , ∴akk = , , 兩式相減得: 例題11. 已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點和,記 (1)求數(shù)列的通項公式; (2)設(shè),若,

10、求的最小值; (3)求使不等式對一切均成立的最大實數(shù). 解:(1)由題意得,解得, (2)由(1)得, ① ② ①-②得 . , 設(shè),則由 得隨的增大而減小 時,又恒成立, (3)由題意得恒成立 記,則 是隨的增大而增大 的最小值為,,即. (二)證明等差與等比數(shù)列 1. 轉(zhuǎn)化為等差等比數(shù)列. 例題12. 數(shù)列中,且滿足,. ⑴求數(shù)列的通項公式; ⑵設(shè),求; ⑶設(shè)=,是否存在最大的整數(shù),使得對任意,均有成立?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由. 解:(1)由題意,,為等差數(shù)列,

11、設(shè)公差為, 由題意得,. (2)若, 時, 故 (3), 若對任意成立,即對任意成立, 的最小值是,的最大整數(shù)值是7. 即存在最大整數(shù)使對任意,均有 例題13. 已知等比數(shù)列與數(shù)列滿足N*. (1)判斷是何種數(shù)列,并給出證明; (2)若. 解:(1)設(shè)的公比為q,∵,∴。 所以是以為公差的等差數(shù)列. (2)∵所以由等差數(shù)列性質(zhì)可得 … 2. 由簡單遞推關(guān)系證明等差等比數(shù)列 例題14. 已知數(shù)列和滿足:,,,(), 且是以為公比的等比數(shù)列. (I)證明:; (II)若,證明:數(shù)列是等比數(shù)列; (III)求和:. 解法

12、1:(I)證:由,有,. (II)證:∵, ,, . 是首項為5,公比為的等比數(shù)列. (III)解:由(II)得,,于是 . 當(dāng)時,. 當(dāng)時, . 故 解法2:(I)同解法1(I). (II)證: ,又, 是首項為5,公比為的等比數(shù)列. (III)由解法1中(II)的類似方法得, , ,. ∴. 例題15. 設(shè)數(shù)列 (1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列; (2)設(shè)數(shù)列的公比,數(shù)列滿足,bn=f (bn-1)(n∈N*,n≥2),求數(shù)列的通項公式; (3)設(shè),,求數(shù)列的前n項和Tn. (1)證明:由 相減得:∴數(shù)列是等比數(shù)

13、列 (2)解: 是首項為,公差為1的等差數(shù)列,∴. . (3)解:時 ① ② ①-②得: ∴ 所以:. 例題16. 的各個頂點分別為,設(shè)為線段的中點,為線段OC的中點,為線段的中點. 對每一個正整數(shù)為線段的中點. 令的坐標(biāo)為,. (1)求及; (2)證明: (3)記,證明:是等比數(shù)列. (1)解:因為y1=y2=y4=1, y3=,y5=,所以 得a1=a2=a3=2. 又由,對任意的正整數(shù)n有 an+1====an 恒成立,且a1=2, 所以{an}為常數(shù)數(shù)列, an=2,(n為正整數(shù)) (2)證明:根據(jù), 及=an=2, 易

14、證得yn+4=1- (3)證明:因為bn+1==(1-)-(1-)=, 又由b1==1-y4=, 所以{bn}是首項為,公比為的等比數(shù)列. 【模擬試題】 一、填空題 1. 在等差數(shù)列{a}中,已知a=2,a+a=13,則a+a+a等于= . 2. 已知數(shù)列的通項,則其前項和 . 3. 首項為-24的等差數(shù)列,從第10項開始為正,則公差的取值范圍是 . 4. 在等比數(shù)列中,和 是二次方程 的兩個根,則 的值為 . 5. 等差數(shù)列{an}中,a1=1,a3+a5=14,其前n項和Sn=100,則

15、n= . 6. 等差數(shù)列{an}的前m項和為30,前2m項的和為100,求它的前3m項的和為________ 7. 已知兩個等差數(shù)列和的前項和分別為A和,且,= ,若為正整數(shù),n的取值個數(shù)為___________。 8. 已知數(shù)列對于任意,有,若,則 . 9. 記數(shù)列所有項的和為,第二項及以后各項的和為,第三項及以后各項的和為 ,第項及以后各項的和為,若,,, ,則等于 . 10. 等差數(shù)列共有項,其中奇數(shù)項之和為319,偶數(shù)項之和為290,則其中間項為_____. 11. 等差數(shù)列中,,若且,,則的值為

16、. 12. 設(shè)為等差數(shù)列的前項和. 已知,則等于 . 13. 已知函數(shù)定義在正整數(shù)集上,且對于任意的正整數(shù),都有 ,且,則__ __. 14. 三個數(shù)成等比數(shù)列,且,則b的取值范圍是 . 15. 等差數(shù)列中,前項和為,首項. (1)若,求 (2) 設(shè),求使不等式的最小正整數(shù)的值. 點撥:在等差數(shù)列中知道其中三個就可以求出另外一個,由已知可以求出首項與公差,把分別用首項與公差,表示即可. 對于求和公式,采用哪一個都可以,但是很多題目要視具體情況確定采用哪一個可能更簡單一些. 例如:已知判斷的正負(fù). 問題2在思考時

17、要注意加了絕對值時負(fù)項變正時,新的數(shù)列首項是多少,一共有多少項. 16. 等差數(shù)列{}的前項和為,,. (I)求數(shù)列{}的通項與前項和為; (II)設(shè)(),求證:數(shù)列{}中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列. 17. 在直角坐標(biāo)平面上有一點列,對一切正整數(shù)n,點位于函數(shù)的圖象上,且的橫坐標(biāo)構(gòu)成以為首項,為公差的等差數(shù)列. ⑴求點的坐標(biāo); ⑵設(shè)拋物線列中的每一條的對稱軸都垂直于軸,第條拋物線的頂點為,且過點,設(shè)與拋物線相切于的直線的斜率為,求:. ⑶設(shè),等差數(shù)列{}的任一項,其中是中的最大數(shù),,求{}的通項公式. 18. 已知數(shù)列滿足, (1)求數(shù)列的通項公式;

18、 (2)若數(shù)列滿足(n∈N*),證明:是等差數(shù)列. 【試題答案】 1. 42 2. 3. 4. 5. 10 6. 210 7. 8.5;5個 解法一:點撥 利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì) “若,則” 解析:= 解法2: 點撥 利用“若{}為等差數(shù)列,那么”這個結(jié)論,根據(jù)條件 找出和的通項. 解析:可設(shè),,則, ,則= 由上面的解法2可知=,顯然只需使為正整數(shù)即可, 故,共5個. 點評:對等差數(shù)列的求和公式的幾種形式要熟練掌握,根據(jù)具體的情況能夠靈活應(yīng)用.

19、反思:解法2中,若是填空題,比例常數(shù)k可以直接設(shè)為1. 8. 4 9. 解:. 10. 解:依題意,中間項為,于是有解得. 11. 解:由題設(shè)得,而,,又,,. 12. 解:, , . ∴。 13. 解:由知函數(shù)當(dāng)從小到大依次取值時對應(yīng)的一系列函數(shù)值組成一個等差數(shù)列,形成一個首項為2,公差為4的等差數(shù)列,. 14. 解:設(shè),則有. 當(dāng)時,,而,; 當(dāng)時,,即,而,,則, 故. 15. 解:(1)由,得:, 又由. 即,得到. (2)由 若≤5,則≤,不合題意 故>5, 即,所以≥15,使不等式成立的最小正整數(shù)的

20、值為15 16. 解答:(I)由已知得,, 故. (Ⅱ)由(Ⅰ)得. 假設(shè)數(shù)列中存在三項(互不相等)成等比數(shù)列,則. 即. , . 與矛盾. 17. 解:(1) (2)的對稱軸垂直于軸,且頂點為. 設(shè)的方程為: 把代入上式,得,的方程為:. , =. (3), T 中最大數(shù). 設(shè)公差為,則,由此得 18. (1)解: 是以為首項,2為公比的等比數(shù)列. 即 . (2)證: ① ② ②-①,得 即③ ④ ③-④,得 即 是等差數(shù)列. 15

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