高中數(shù)學(xué)必修5數(shù)列經(jīng)典例題集錦.doc

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1、華師大教育 祈福分校電話：020-34774470 鐘老師 高中數(shù)學(xué)必修5數(shù)列題目精選精編 【典型例題】 （一）研究等差等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì) 1. 研究通項(xiàng)的性質(zhì) 例題1. 已知數(shù)列滿足. （1）求； （2）證明：. 解：（1）. （2）證明：由已知，故 ， 所以證得. 例題2. 數(shù)列的前項(xiàng)和記為 （Ⅰ）求的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）等差數(shù)列的各項(xiàng)為正，其前項(xiàng)和為，且，又成等比數(shù)列，求. 解：（Ⅰ）由可得， 兩式相減得：， 又∴ 故是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列 ∴ （Ⅱ）設(shè)的公

2、比為，由得，可得，可得 故可設(shè)，又， 由題意可得，解得 ∵等差數(shù)列的各項(xiàng)為正，∴ ∴ ∴ 例題3. 已知數(shù)列的前三項(xiàng)與數(shù)列的前三項(xiàng)對(duì)應(yīng)相同，且 對(duì)任意的都成立，數(shù)列是等差數(shù)列. ⑴求數(shù)列與的通項(xiàng)公式； ⑵是否存在，使得，請(qǐng)說(shuō)明理由. 點(diǎn)撥：（1）左邊相當(dāng)于是數(shù)列前n項(xiàng)和的形式，可以聯(lián)想到已知求的方法，當(dāng)時(shí)，. （2）把看作一個(gè)函數(shù)，利用函數(shù)的思想方法來(lái)研究的取值情況. 解：（1）已知…）① 時(shí)，…）② ①－②得，，求得， 在①中令，可得得， 所以N*）. 由題意，，，所

3、以，， ∴數(shù)列的公差為， ∴， ）. （2）， 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且， 所以時(shí)，， 又， 所以，不存在，使得. 例題4. 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}和{bn}滿足：an、bn、an+1成等差數(shù)列，bn、an+1、bn+1成等比數(shù)列，且a1 = 1， b1 = 2 ， a2 = 3 ，求通項(xiàng)an，bn 解： 依題意得： 2bn+1 = an+1 + an+2 ① a2n+1 = bnbn+1 ② ∵ an、bn為正數(shù)， 由②得， 代入①并同除以得： ， ∴ 為等差

4、數(shù)列 ∵ b1 = 2 ， a2 = 3 ， ， ∴ ， ∴當(dāng)n≥2時(shí)，， 又a1 = 1，當(dāng)n = 1時(shí)成立， ∴ 2. 研究前n項(xiàng)和的性質(zhì) 例題5. 已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且. （1）求、的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 解：（1）時(shí)，.而為等比數(shù)列，得， 又，得，從而.又. （2）， ） ，得， . 例題6. 數(shù)列是首項(xiàng)為1000，公比為的等比數(shù)列，數(shù)列滿足 ， （1）求數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和. 解：（1）由題意：，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為的等差數(shù)列， ∴，∴ 由，得，

5、∴數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值為. （2）由（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，， ∴當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， ∴. 例題7. 已知遞增的等比數(shù)列{}滿足，且是，的等差中項(xiàng). （1）求{}的通項(xiàng)公式；（2）若，求使成立的的最小值. 解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q（q＞1），由 a1q+a1q2+a1q3=28，a1q+a1q3=2（a1q2+2），得：a1=2，q=2或a1=32，q=（舍） ∴an=22（n－1）=2n （2） ∵，∴Sn=－（12+222+323+…+n2n） ∴2Sn=－（122+223+…+n2n+1），∴Sn=2+22+23+…+2n－n2n+1=－（

6、n－1）2n+1－2， 若Sn+n 2n+1＞30成立，則2n+1＞32，故n＞4，∴n的最小值為5. 例題8. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，且成等差數(shù)列，. 函數(shù). （I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （II）設(shè)數(shù)列滿足，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為T(mén)n，試比較 的大小. 解：（I）成等差數(shù)列，① 當(dāng)時(shí)，②. ①－②得：，， 當(dāng)n=1時(shí)，由①得， 又 是以1為首項(xiàng)3為公比的等比數(shù)列， （II）∵，， ， 比較的大小，只需比較與312的大小即可. ∵∴當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，. 3. 研究生成數(shù)列的性質(zhì) 例題9. （I） 已知數(shù)列，其中，且數(shù)

7、列為等比數(shù)列，求常數(shù)； （II） 設(shè)、是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，，證明數(shù)列不是等比數(shù)列. 解：（Ⅰ）因?yàn)閧cn+1－pcn}是等比數(shù)列，故有 （cn+1－pcn）2=（ cn+2－pcn+1）（cn－pcn－1）， 將cn=2n＋3n代入上式，得 [2n＋1+3n＋1－p（2n＋3n）]2 =[2n＋2+3n＋2－p（2n+1＋3n+1）][2n+3n－p（2n－1＋3n－1）]， 即[（2－p）2n+（3－p）3n]2 =[（2－p）2n+1+（3－p）3n+1][ （2－p）2n－1+（3－p）3n－1]， 整理得（2－p）（3－p

8、）2n3n=0， 解得p=2或p=3. （Ⅱ）設(shè){an}、{bn}的公比分別為p、q，p≠q，cn=an+bn. 為證{cn}不是等比數(shù)列只需證≠c1c3. 事實(shí)上，=（a1p＋b1q）2=p2＋q2＋2a1b1pq， c1c3=（a1＋b1）（a1 p2＋b1q2）= p2＋q2＋a1b1（p2＋q2）. 由于p≠q，p2＋q2>2pq，又a1、b1不為零， 因此c1c3，故{cn}不是等比數(shù)列. 例題1

9、0. n2（ n≥4）個(gè)正數(shù)排成n行n列：其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成等比數(shù)列，并且所有公比相等已知a24=1， 求S=a11 + a22 + a33 + … + ann 解： 設(shè)數(shù)列{}的公差為d， 數(shù)列{}（i=1，2，3，…，n）的公比為q 則= a11 + （k－1）d ， akk = [a11 + （k－1）d]qk－1 依題意得：，解得：a11 = d = q = 又n2個(gè)數(shù)都是正數(shù)， ∴a11 = d = q = ， ∴akk = ， ， 兩式相減得： 例題11. 已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，記 （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，若，

10、求的最小值； （3）求使不等式對(duì)一切均成立的最大實(shí)數(shù). 解：（1）由題意得，解得， （2）由（1）得， ① ② ①－②得 . ， 設(shè)，則由 得隨的增大而減小 時(shí)，又恒成立， （3）由題意得恒成立 記，則 是隨的增大而增大 的最小值為，，即. （二）證明等差與等比數(shù)列 1. 轉(zhuǎn)化為等差等比數(shù)列. 例題12. 數(shù)列中，且滿足，. ⑴求數(shù)列的通項(xiàng)公式； ⑵設(shè)，求； ⑶設(shè)=，是否存在最大的整數(shù)，使得對(duì)任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 解：（1）由題意，，為等差數(shù)列，

11、設(shè)公差為， 由題意得，. （2）若， 時(shí)， 故 （3）， 若對(duì)任意成立，即對(duì)任意成立， 的最小值是，的最大整數(shù)值是7. 即存在最大整數(shù)使對(duì)任意，均有 例題13. 已知等比數(shù)列與數(shù)列滿足N*. （1）判斷是何種數(shù)列，并給出證明； （2）若. 解：（1）設(shè)的公比為q，∵，∴。 所以是以為公差的等差數(shù)列. （2）∵所以由等差數(shù)列性質(zhì)可得 … 2. 由簡(jiǎn)單遞推關(guān)系證明等差等比數(shù)列 例題14. 已知數(shù)列和滿足：，，，（）， 且是以為公比的等比數(shù)列. （I）證明：； （II）若，證明：數(shù)列是等比數(shù)列； （III）求和：. 解法

12、1：（I）證：由，有，. （II）證：∵， ，， . 是首項(xiàng)為5，公比為的等比數(shù)列. （III）解：由（II）得，，于是 . 當(dāng)時(shí)，. 當(dāng)時(shí)， . 故 解法2：（I）同解法1（I）. （II）證： ，又， 是首項(xiàng)為5，公比為的等比數(shù)列. （III）由解法1中（II）的類似方法得， ， ，. ∴. 例題15. 設(shè)數(shù)列 （1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列； （2）設(shè)數(shù)列的公比，數(shù)列滿足，bn=f （bn－1）（n∈N*，n≥2），求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （3）設(shè)，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Ｔn. （1）證明：由 相減得：∴數(shù)列是等比數(shù)

13、列 （2）解： 是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，∴. . （3）解：時(shí) ① ② ①－②得： ∴ 所以：. 例題16. 的各個(gè)頂點(diǎn)分別為，設(shè)為線段的中點(diǎn)，為線段OC的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn). 對(duì)每一個(gè)正整數(shù)為線段的中點(diǎn). 令的坐標(biāo)為，. （1）求及； （2）證明： （3）記，證明：是等比數(shù)列. （1）解：因?yàn)閥1=y2=y4=1， y3=，y5=，所以 得a1=a2=a3=2. 又由，對(duì)任意的正整數(shù)n有 an+1====an 恒成立，且a1=2， 所以{an}為常數(shù)數(shù)列， an=2，（n為正整數(shù)） （2）證明：根據(jù)， 及=an=2， 易

14、證得yn+4=1－ （3）證明：因?yàn)閎n+1==（1－）－（1－）=， 又由b1==1－y4=， 所以{bn}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列. 【模擬試題】 一、填空題 1. 在等差數(shù)列｛a｝中，已知a=2，a+a=13，則a+a+a等于= . 2. 已知數(shù)列的通項(xiàng)，則其前項(xiàng)和 . 3. 首項(xiàng)為－24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)開(kāi)始為正，則公差的取值范圍是 . 4. 在等比數(shù)列中，和 是二次方程 的兩個(gè)根，則 的值為 . 5. 等差數(shù)列{an}中，a1=1，a3+a5=14，其前n項(xiàng)和Sn=100，則

15、n= . 6. 等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)的和為100，求它的前3m項(xiàng)的和為_(kāi)_______ 7. 已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為A和，且，= ，若為正整數(shù)，n的取值個(gè)數(shù)為_(kāi)__________。 8. 已知數(shù)列對(duì)于任意，有，若，則 . 9. 記數(shù)列所有項(xiàng)的和為，第二項(xiàng)及以后各項(xiàng)的和為，第三項(xiàng)及以后各項(xiàng)的和為 ，第項(xiàng)及以后各項(xiàng)的和為，若，，， ，則等于 . 10. 等差數(shù)列共有項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為319，偶數(shù)項(xiàng)之和為290，則其中間項(xiàng)為_(kāi)____. 11. 等差數(shù)列中，，若且，，則的值為

16、. 12. 設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和. 已知，則等于 . 13. 已知函數(shù)定義在正整數(shù)集上，且對(duì)于任意的正整數(shù)，都有 ，且，則__ __. 14. 三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，且，則b的取值范圍是 . 15. 等差數(shù)列中，前項(xiàng)和為，首項(xiàng). （1）若，求 （2） 設(shè)，求使不等式的最小正整數(shù)的值. 點(diǎn)撥：在等差數(shù)列中知道其中三個(gè)就可以求出另外一個(gè)，由已知可以求出首項(xiàng)與公差，把分別用首項(xiàng)與公差，表示即可. 對(duì)于求和公式，采用哪一個(gè)都可以，但是很多題目要視具體情況確定采用哪一個(gè)可能更簡(jiǎn)單一些. 例如：已知判斷的正負(fù). 問(wèn)題2在思考時(shí)

17、要注意加了絕對(duì)值時(shí)負(fù)項(xiàng)變正時(shí)，新的數(shù)列首項(xiàng)是多少，一共有多少項(xiàng). 16. 等差數(shù)列{}的前項(xiàng)和為，，. （I）求數(shù)列{}的通項(xiàng)與前項(xiàng)和為； （II）設(shè)（），求證：數(shù)列{}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列. 17. 在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列，對(duì)一切正整數(shù)n，點(diǎn)位于函數(shù)的圖象上，且的橫坐標(biāo)構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列. ⑴求點(diǎn)的坐標(biāo)； ⑵設(shè)拋物線列中的每一條的對(duì)稱軸都垂直于軸，第條拋物線的頂點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)，設(shè)與拋物線相切于的直線的斜率為，求：. ⑶設(shè)，等差數(shù)列{}的任一項(xiàng)，其中是中的最大數(shù)，，求{}的通項(xiàng)公式. 18. 已知數(shù)列滿足， （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

18、 （2）若數(shù)列滿足（n∈N*），證明：是等差數(shù)列. 【試題答案】 1. 42 2. 3. 4. 5. 10 6. 210 7. 8.5；5個(gè) 解法一：點(diǎn)撥 利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì) “若，則” 解析：= 解法2： 點(diǎn)撥 利用“若{}為等差數(shù)列，那么”這個(gè)結(jié)論，根據(jù)條件 找出和的通項(xiàng). 解析：可設(shè)，，則， ，則= 由上面的解法2可知=，顯然只需使為正整數(shù)即可， 故，共5個(gè). 點(diǎn)評(píng)：對(duì)等差數(shù)列的求和公式的幾種形式要熟練掌握，根據(jù)具體的情況能夠靈活應(yīng)用.

19、反思：解法2中，若是填空題，比例常數(shù)k可以直接設(shè)為1. 8. 4 9. 解：. 10. 解：依題意，中間項(xiàng)為，于是有解得. 11. 解：由題設(shè)得，而，，又，，. 12. 解：， ， . ∴。 13. 解：由知函數(shù)當(dāng)從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一系列函數(shù)值組成一個(gè)等差數(shù)列，形成一個(gè)首項(xiàng)為2，公差為4的等差數(shù)列，. 14. 解：設(shè)，則有. 當(dāng)時(shí)，，而，； 當(dāng)時(shí)，，即，而，，則， 故. 15. 解：（1）由，得：， 又由. 即，得到. （2）由 若≤5，則≤，不合題意 故>5， 即，所以≥15，使不等式成立的最小正整數(shù)的

20、值為15 16. 解答：（I）由已知得，， 故. （Ⅱ）由（Ⅰ）得. 假設(shè)數(shù)列中存在三項(xiàng)（互不相等）成等比數(shù)列，則. 即. ， . 與矛盾. 17. 解：（1） （2）的對(duì)稱軸垂直于軸，且頂點(diǎn)為. 設(shè)的方程為： 把代入上式，得，的方程為：. ， =. （3）， T 中最大數(shù). 設(shè)公差為，則，由此得 18. （1）解： 是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列. 即 . （2）證： ① ② ②－①，得 即③ ④ ③－④，得 即 是等差數(shù)列. 15