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研究三次多項(xiàng)式加速和減速控制模型的高速數(shù)控加工
摘要:為滿足高速數(shù)控加工的需求，一個(gè)加速和減速控制裝置是必要的。此外,速度曲線也是由三次多項(xiàng)式模型構(gòu)成連續(xù)性避免了在高速數(shù)控強(qiáng)烈震動(dòng)的離散特征。此外，還設(shè)立了數(shù)據(jù)采樣控制離散數(shù)學(xué)模型，離散表達(dá)了理論減速長(zhǎng)度是很難獲得在預(yù)先確定的減速點(diǎn)的問(wèn)題。自適應(yīng)控制算法的加速和減速，是從理論的表達(dá)式推導(dǎo)出的。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了加減控制模型具有容易實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn)，它運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)，而且震動(dòng)小。這種模型已成功應(yīng)用于多軸高速微機(jī)機(jī)械加工制造。
關(guān)鍵詞:高速數(shù)控加工，加速和減速控制模型，三次速度曲線，離散,數(shù)學(xué)模型，自適應(yīng)控制算法的加速和減速
引言
數(shù)控加工正向高速和高效率發(fā)展。在高速機(jī)械加工，每個(gè)運(yùn)動(dòng)的軸心必須加速到進(jìn)入運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，同時(shí)，在數(shù)秒鐘之內(nèi)，也能實(shí)現(xiàn)精確的停止。因此，研究在高效率加速度和減速控制方法，是實(shí)現(xiàn)高速加工的需求一個(gè)關(guān)鍵在現(xiàn)代的高性能數(shù)控系統(tǒng)的問(wèn)題。
目前大部分國(guó)家常用的經(jīng)濟(jì)型數(shù)控裝置是是線性模式和指數(shù)模式。但是，震動(dòng)很容易造成加速度不連續(xù)性，從而影響加工質(zhì)量和設(shè)備的使用壽命。為了降低振動(dòng)，S形曲線運(yùn)動(dòng)的議案是采用了先進(jìn)的數(shù)控系統(tǒng)。加速度（或減速）在S -曲線階段是由英寸壓痕加速階段，不斷加速和減少加速階段構(gòu)成。通過(guò)分級(jí)加速度控制，進(jìn)給速度的連續(xù)性可以變的更好。但是，這個(gè)算法過(guò)于復(fù)雜。三角函數(shù)的方法更為靈活，但該算法有廣泛和更復(fù)雜的計(jì)算，難以滿足實(shí)時(shí)性要求。多項(xiàng)式的方法選擇函數(shù)，可以產(chǎn)生很多加減速特征，此外，可以使特色減速獨(dú)立于那些加速度。為了實(shí)現(xiàn)對(duì)高性能運(yùn)動(dòng)控制，議案必須有相應(yīng)的配置文件該系統(tǒng)的限制，如最大加速度和最大位置軌跡速度。如果速度分布的位置軌跡是平滑的，那他就是由多項(xiàng)式函數(shù)的方法產(chǎn)生的。它需要大量的計(jì)算。數(shù)字卷積方法遠(yuǎn)比多項(xiàng)式函數(shù)更有效，容易由硬件實(shí)現(xiàn)。由這個(gè)剖面產(chǎn)生的流速剖面，加速間隔總是與減速間隔相同，減速特征都由加速特征決定。一個(gè)存儲(chǔ)簡(jiǎn)單有效生成速度分布的方法， 根據(jù)加減控制所要求的特點(diǎn)，每個(gè)組系數(shù)可以被計(jì)算和存儲(chǔ)。由于移動(dòng)的距離和加減速間隔，可有效地利用這些系數(shù)產(chǎn)生預(yù)期的特征。對(duì)于長(zhǎng)間距和短間距，如果選擇相同的加減速間隔，有效速度配置文件不能為不同間距的運(yùn)動(dòng)計(jì)算。
本文組織如下。第二節(jié)提出了為高速數(shù)控加工的一種三次多項(xiàng)式加減控制模型；第三節(jié)，基于離散特征的采樣插補(bǔ)，提出了數(shù)據(jù)三次多項(xiàng)式加減控制離散數(shù)學(xué)模型；第四節(jié)推導(dǎo)出了預(yù)先減速度任意路徑的加速和減速自適應(yīng)控制算法；第五節(jié)列出了實(shí)驗(yàn)結(jié)果；第六節(jié)做出了結(jié)論總結(jié)。
三次多項(xiàng)式加速和減速控制模型
為了適應(yīng)高速加工，切削速度必須平穩(wěn)改變，加速度必須保持連續(xù)性。其邊界條件為：（1）初始狀態(tài)的水平位移為0；（2）初速度和末速度都和規(guī)定速度保持一致；（3）加速度在開(kāi)始時(shí)和結(jié)束時(shí)都為0。
進(jìn)給率加速和減速的曲線函數(shù)由以下三次多項(xiàng)式構(gòu)建，
據(jù)推測(cè)，是加速或減速持續(xù)時(shí)間，是作為加速或減速?gòu)某跛俣鹊侥?
速度的加速度或減速度的同步旋轉(zhuǎn)軸，u=t／，t∈[O，]。
另外動(dòng)力學(xué)特性曲線的加速度與約束反力可以通過(guò)區(qū)分取得進(jìn)給速度曲線。
同樣，綜合（1）隨著時(shí)間差的位移曲線的功能
邊界條件是
其中和代表加速或減速階段的初速度和末速度。曲線函數(shù)的計(jì)算方法是，
在上式中，讓u=0.5，加速度A（u）等于最大加速度。同時(shí)可以算出如下，
n是個(gè)真實(shí)的數(shù)值，表示當(dāng)加速度或減速度從到的插入期階段理論運(yùn)行的理論次數(shù)。
當(dāng)=時(shí)，理論加速或減速時(shí)間長(zhǎng)度可由公式（4）得出，
速度V，加速度A，約束反力J的關(guān)系如圖1所示，在這個(gè)三次多項(xiàng)式的加速度和減速度控制模型中，連續(xù)的加速度避免了高速加工時(shí)強(qiáng)烈振動(dòng)的情況發(fā)生。計(jì)算約束反力、加速度、速度、位移和速度的變化過(guò)程簡(jiǎn)單、容易實(shí)現(xiàn)，因?yàn)橹皇菐讉€(gè)四個(gè)基本的計(jì)算。
圖 1
三次多項(xiàng)式加速和減速控制離散模型
數(shù)據(jù)采集插值特性
控制與數(shù)據(jù)采集插值是一種離散控制模式。數(shù)據(jù)采集插值是基于一條接近直線的曲線，它的長(zhǎng)度與局部軸向計(jì)劃速度成比例。加速和減速控制首先用來(lái)進(jìn)行要求的進(jìn)給率控制。然后進(jìn)給率控制V在笛卡爾坐標(biāo)上被作為插入值去計(jì)算每根軸的行進(jìn)距離。（、和）。行進(jìn)距離、和沿著X、Y、Z的位移最后作為位置控制回路上運(yùn)動(dòng)控制程序的位置指令。
當(dāng)數(shù)據(jù)采樣插值法用于位置控制,它是條件,確保每個(gè)同步運(yùn)動(dòng)軸到達(dá)目地。同時(shí),他們的運(yùn)動(dòng)是連續(xù)的，所以,每一個(gè)軸運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間t不只是插值周期T的整數(shù)倍。這種條件可以通過(guò)調(diào)整同步運(yùn)動(dòng)軸的可控制進(jìn)給率來(lái)實(shí)現(xiàn)。
通過(guò)上述分析，n應(yīng)該是一個(gè)整數(shù)。假設(shè)N是一個(gè)不小于n的最小整數(shù)，
在上式里，用整數(shù)N取代實(shí)數(shù)n，
（6）
離散模型的構(gòu)建
鑒于函數(shù)y =f（t）提供任何曲線中，
以區(qū)間【~】劃分成N個(gè)部分。挑選如圖2（a）所示左端點(diǎn)的高度來(lái)確定高度。它的大
概區(qū)域在函數(shù)y=f（t）下，區(qū)間【~】的范圍內(nèi)。
圖2實(shí)現(xiàn)曲線f(t)。（1）左端點(diǎn)作為矩形的高度;（2）右端點(diǎn)作為矩形的高度
這種曲線下的找出近似區(qū)域的方法被稱(chēng)為左總和法。
如圖2（b）所示選擇右端點(diǎn)來(lái)決定高度，它的大概區(qū)域在函數(shù)y=f（t）下，區(qū)間【~】的范圍內(nèi)。
這種曲線下的找出近似區(qū)域的方法被稱(chēng)為右總和法。
假設(shè)約束反力的斜率是K，約束反力的初始值、加速度、速度、位移分別為、、、。約束反力的離散模型由左總和法來(lái)得出，則，
（7）
加速度、速度、位移曲線的離散模型由右總和法得出，則
為了滿足這種加速度最后為0，且考慮到用右總成法實(shí)施加速度曲線的特點(diǎn)（高度在時(shí)刻相應(yīng)的矩形為）），邊界條件時(shí)的加速度曲線是，
邊界條件時(shí)的速度和位移曲線是，
因此約束反力曲線的離散模型用左總成法實(shí)施則，
加速度、速度、位移曲線的離散模型用右總成法來(lái)實(shí)施 則
當(dāng)=NT時(shí)，用離散表達(dá)的加速度或減速度長(zhǎng)度為，
（10）
在加速度曲線中，當(dāng)時(shí)，用離散表達(dá)的理論加速度長(zhǎng)度為，
在減速度曲線中，當(dāng)時(shí)，用離散表達(dá)的理論減速度長(zhǎng)度為，
其中是允許的最大進(jìn)給率，M是在加速度過(guò)程中的所有插入階段，N是減速度過(guò)程中的所有插入階段。
當(dāng)加速度和減速度都得出了，則可算出最小長(zhǎng)度，
（11）
通過(guò)以上的推論，三次多項(xiàng)式加速度和減速度控制離散模型的建立和用離散表達(dá)的理論減速度長(zhǎng)度也得出了。
自適應(yīng)式加速度和減速度控制算法
在插入程序中，插值先于加速度/減速度或加速度/先于插值都是可行的，前者被稱(chēng)為插入前的加速度/減速度控制，后者稱(chēng)為插入后的加速度/減速度控制。在插入前的加速度/減速度控制中，插值的過(guò)程包括插入的的進(jìn)給率運(yùn)用的加減速的的加速度和減速度。插入后的加減速原因在控制運(yùn)動(dòng)軸時(shí)分別延遲。控制各自軸的延遲是由加速度和減速度減低了機(jī)器的加工精度導(dǎo)致。因此本文采用前一種方式。 針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，插前的加速度/減速度控制幾乎沒(méi)有預(yù)先加速點(diǎn)，自適應(yīng)加速點(diǎn)/減速度算法是推算出來(lái)的。
總的來(lái)說(shuō)，控制過(guò)程包括階段：加速或減速階段、加速/減速階段和加速、勻速、減速階段。
加速（或減速）階段
如果>，線段是減速階段，通過(guò)公式（10），最大減速度的離散表示長(zhǎng)度可以計(jì)算出來(lái)。如果>L，由于L為線段長(zhǎng)度，進(jìn)給的末速度就不能達(dá)到線段末點(diǎn)。在減速階段，理論減速點(diǎn)應(yīng)該提前計(jì)算，否則可能導(dǎo)致超標(biāo)。設(shè)=L,
然后，N的值可以算出，初速度可以修正，
減速曲線的離散模型能夠表示為，
如果<，線段是加速階段。最大加速度的離散表示長(zhǎng)度可以計(jì)算出來(lái)。如果>L，由于L為線段長(zhǎng)度，進(jìn)給的末速度同樣無(wú)法得出。M的值能夠算出，末速度能由以上分析來(lái)修正，
加速曲線的離散模型能夠表示為，
加速度/減速度都產(chǎn)生
當(dāng)加速度/減速度都產(chǎn)生后，最小長(zhǎng)度能由公式（11）得到。假設(shè)是線段的最大實(shí)際加速度。
結(jié)合公式（6）和公式（11），
然后，M、N、的值都能算出。加速曲線的離散模型能表示為，
減速曲線的離散模型能表示為，
加速、勻速、減速階段都產(chǎn)生
假如
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