【教學(xué)論文】探求以空間圖形為背景的軌跡問題【教師職稱評(píng)定】

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1、探求以空間圖形為背景的軌跡問題的常用方 江西省灰埠中學(xué) 朱 英 近幾年的高考數(shù)學(xué)試題，設(shè)置了一些數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)的綜合題，它們的新穎性、綜合性，值得我們重視。在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計(jì)試題是高考考試命題的一個(gè)方向，空間軌跡問題正是在這種背景下“閃亮登場(chǎng)”(如2004年重慶高考理科數(shù)學(xué)試卷第12題)。由于這類題目涵蓋的知識(shí)點(diǎn)多，數(shù)學(xué)思想和方法考查充分，學(xué)生求解起來頗感困難，考試時(shí)經(jīng)常棄而不答，令人惋惜。 探求空間軌跡問題，要善于把立體幾何問題轉(zhuǎn)化到平面上，再聯(lián)合運(yùn)用平面幾何、立體幾何、空間向量、解析幾何等知識(shí)去求解，實(shí)現(xiàn)立體幾何到解析幾何的過渡。本文通過幾道典型例題的分析，尋

2、求空間軌跡問題的探求方法。 一、聯(lián)想圓的定義 A O P 例1 已知平面∥平面，平 面、間的距離為8，點(diǎn)P在平面 內(nèi)，則在平面內(nèi)到點(diǎn)P的距離為 10的點(diǎn)的軌跡是[ A ] A.一個(gè)圓 B.一條直線 C.一個(gè)點(diǎn) D.不存在 解：過點(diǎn)P作平面的垂線，設(shè)垂足為O， 則PO=8，又設(shè)平面內(nèi)一點(diǎn)A到點(diǎn)P的距離為10，連PA、OA， B C D A C1 B1 A1 D1 P2 P1 P P3 P6 P4 P5 則在PAO中，由勾股定理可得OA=

3、6。可知A點(diǎn)的軌跡為圓，故選A。 練習(xí)1 已知正方體 的棱長(zhǎng)為1，在正方體的表面上與點(diǎn)A距 離為的點(diǎn)的集合形成一條曲線，則該 曲線的長(zhǎng)度為[ B ] A. B. C. D. 提示：當(dāng)點(diǎn)P在上底面時(shí)，連AP、A1P， 在直角APA1中，求得PA1=，即弧P1P2的長(zhǎng)。同理左側(cè)面的弧P5P6、后側(cè)面的弧P3P4的長(zhǎng)也為；當(dāng)點(diǎn)P在前側(cè)面時(shí)，弧P1P6的半徑為， 因?yàn)橹苯茿1P1A中，直角邊A1P1的長(zhǎng)為斜邊P1A的一半，所以弧P1P6的圓心角為 ，從而弧P1P6的長(zhǎng)為。同理右側(cè)面的弧P2P3的長(zhǎng)與下底面的弧P4P3的

4、長(zhǎng)的長(zhǎng)也為。故曲線的總長(zhǎng)度為。 因此選B。 二、聯(lián)想到拋物線的定義 例2 已知正方體的 棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M在棱AB上，且AM=，點(diǎn)P 是平面ABCD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P到直線 的距離的平方與點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離的平方之 差為1，則P點(diǎn)的軌跡為[ A ] A.拋物線弧 B.雙曲線弧 C D A B D1 C1 B1 A1 E F P M C.線段 D.以上都不對(duì) 解：過P作PF垂直AD于F，則PF垂直 平面ADD1A1，過點(diǎn)F作FE垂直A1D1于E，連PE，則PE為點(diǎn)P到直線A

5、1D1的距離，由已知，即，得， PF=PM，故P點(diǎn)的軌跡是以M為焦點(diǎn)，以AD為準(zhǔn)線的拋物線，故選A。 練習(xí)2 在正方體 的側(cè)面ABB1A1內(nèi)有一點(diǎn)P到直線AB與到 直線B1C1的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P所在曲線 的形狀為[ C ] A.直線 B.雙曲線 C1 D1 A1 B1 D C B A P C.拋物線 D.圓 提示：因?yàn)锽1C1垂直于平面ABB1A1， 所以PB1為點(diǎn)P到直線B1C1的距離，于是 問題轉(zhuǎn)化為在平面ABB1A1內(nèi)，點(diǎn)P到定點(diǎn)B1的距離與點(diǎn)P到定直線AB的距離相等。故根據(jù)拋物線的定義可

6、知選答案C。 三、聯(lián)想到球面的定義 例3 已知棱長(zhǎng)為3的正方體中， 長(zhǎng)為2的線段的一個(gè)端點(diǎn)在上運(yùn) 動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)在底面上運(yùn)動(dòng)。則 的中點(diǎn)P的軌跡與正方體的面所圍成的幾 何體的體積為[ B ] D C P A B D1 C1 B1 A1 A. B. C. D. 解：由題意可知，是直角三角形， 點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)， 。 故點(diǎn)的軌跡是以為圓心，1為半徑的球面位于正方體內(nèi)的部分，該部分球面與正方體圍成的幾何體是球的八分之一，故選B。 四、利用向量工具

7、 例4 一定長(zhǎng)線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B沿 互相垂直的兩條異面直線、運(yùn)動(dòng)，求它的 中點(diǎn)的軌跡。 解：設(shè)MN為、的公垂線段，連結(jié) AM、BN，設(shè)MN、AB的中點(diǎn)分別為O、P，則 ， 所以， 即P點(diǎn)必在MN的垂直平分面上。 因?yàn)楫惷嬷本€、互相垂直，所以 。 所以P點(diǎn)在以O(shè)為圓心，為半徑的圓上。 故P點(diǎn)的軌跡是MN的垂直平分面內(nèi)的一個(gè)圓。 另解：設(shè)MN為

8、、的公垂線段，則MN 與、兩兩垂直。如圖，以N點(diǎn)為原點(diǎn)，直 線為軸，直線NM為軸，以過點(diǎn)N所作直 線的平行線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系。 設(shè)，，， 則， P點(diǎn)坐標(biāo)為，其中橫坐標(biāo) 和縱坐標(biāo)為變量，中有豎坐標(biāo)為常量。 即P點(diǎn)必在MN的垂直平分面上。 取MN的中點(diǎn)O，則， 所以P點(diǎn)在以O(shè)為圓心，為半徑的圓上。 故P點(diǎn)的軌跡是MN的垂直平分面內(nèi)的一個(gè)圓。 評(píng)注：求空間動(dòng)點(diǎn)的軌跡，按立體幾何的傳統(tǒng)方法幾乎無從著手，空間向量巧妙地解決了這一問題。 五、利用線與面、面與面的關(guān)系 例5(見例4

9、) 解：設(shè)MN為異面直線、的公垂線段， 連BN，分別取MN、BM、AB的中點(diǎn)O、Q、P， 連OP、PQ、OQ，則由已知異面直線、互相 垂直不難證得OPQ為直角三角形。也不難證明 OQ、PQ都與、平行，從而平面OPQ與平面 平行?？芍c(diǎn)P在公垂線段MN的垂直平分面內(nèi)。 因?yàn)? 為定值。故P點(diǎn)的軌跡是MN的垂直平分面內(nèi)的一個(gè)圓。 六、利用特殊點(diǎn)定位 例6 如圖所示，在正四棱錐S-ABCD中，E為 BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在側(cè)面SCD內(nèi)及其邊界上運(yùn)動(dòng)， 且總保持PEAC。求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡。 解：當(dāng)點(diǎn)P

10、在CD邊上時(shí)， S C P G F O D B A E 由PEAC及BDAC可知， 此時(shí)，P為CD的中點(diǎn)F； 當(dāng)點(diǎn)P在SC邊上時(shí)， 由PEAC及SBAC可知， 此時(shí)，P為SC的中點(diǎn)G。 于是猜想P點(diǎn)的軌跡是SCD的CD和CS邊上的中位線FG。 證明如下：因?yàn)镕EAC， GEAC，所以AC平面EFG，得到ACFG。 故P點(diǎn)的軌跡是SCD的CD和CS邊上的中位線FG。 練習(xí)3 如圖所示，在三棱錐A-BCD中，P為 CD的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在ABD內(nèi)部及邊界上運(yùn)動(dòng)， P M

11、R Q A D B C 且總保持PM∥平面ABC。求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡。 提示：當(dāng)點(diǎn)M在BD邊上時(shí)， 由PM∥平面ABC可得PM∥BC， 此時(shí)點(diǎn)M是BD邊的中點(diǎn)Q， 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M在AD邊上時(shí)， 同理可得PM∥AC，此時(shí)點(diǎn)M是AD邊的中點(diǎn)R。 于是猜想動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為中位線RQ。證明留給讀者。 最后以2004年重慶高考理科數(shù)學(xué)試卷第12題及解答結(jié)束本文 題：若三棱錐A-BCD側(cè)面ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到底面BCD的距離與到棱AB的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡與ABC組成的圖形是( D ) A A A B A C

12、 P D A D B C E P F O 解答：由題意作出如右圖所示的三棱 錐A-BCD，過P作PO平面BCD，PEAB 于E，PFBC于F，連OF。 PO=PE， PF>PO, PF>PE,即點(diǎn)P總在ABC平分線 的上方。 而 至此可猜想P點(diǎn)的軌跡是直線，可選D。 證明如下： B P E F A C 建立如右圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)， ，則AB的所在直線方程為， 即 ，設(shè) 。 得 化簡(jiǎn)得 或 (舍去， 此直線的斜率比大)。 P點(diǎn)的軌跡是直線 第 6 頁