MATLAB輔助現(xiàn)代工程數(shù)字信號處理 第二版 作者 李益華 第15章 第1章

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1、第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)1.1 數(shù)字信號處理概述1.2 信號與系統(tǒng)1.3 離散時(shí)間信號1.4 離散時(shí)間系統(tǒng)1.5 小結(jié)第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)在線教務(wù)輔導(dǎo)網(wǎng)：在線教務(wù)輔導(dǎo)網(wǎng)：http:/教材其余課件及動(dòng)畫素材請查閱在線教務(wù)輔導(dǎo)網(wǎng)教材其余課件及動(dòng)畫素材請查閱在線教務(wù)輔導(dǎo)網(wǎng)QQ:349134187 或者直接輸入下面地址：或者直接輸入下面地址：http:/第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)1.1 數(shù)字信號處理概述數(shù)字信號處理概述目前，以DSP芯片為核心的數(shù)字信號處理開發(fā)設(shè)備已廣泛應(yīng)用于工程技術(shù)領(lǐng)域。所涉及的信號包括電、磁、機(jī)械、熱、聲、光等各個(gè)方

2、面。隨著大規(guī)模集成電路和數(shù)字計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展，以及數(shù)字信號處理理論和技術(shù)的成熟與完善，數(shù)字信號處理已成為一門極其重要的學(xué)科。第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)1.1.1 數(shù)字信號處理的理論基礎(chǔ)數(shù)字信號處理的理論基礎(chǔ)在較強(qiáng)背景噪聲下，如何提取出真正的信號或信號特征，并將其應(yīng)用于實(shí)際工程是信號處理理論要完成的主要任務(wù)。數(shù)字信號處理在理論上所涉及的范圍極廣。數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的微積分、概率統(tǒng)計(jì)、隨機(jī)過程、高等代數(shù)、數(shù)值分析、復(fù)變函數(shù)等是其基本分析工具; 網(wǎng)絡(luò)理論、信號與系統(tǒng)等是其理論基礎(chǔ); 最優(yōu)控制、通信理論、故障診斷等也與其緊密相連。在近40年的發(fā)展中，數(shù)字信號處理已基本形成了一套較完整的理論體系，主要包

3、括信號的采集(A/D轉(zhuǎn)換、采樣定理、多抽樣率等)、離散信號的分析(時(shí)頻分析、信號變換等)、離散系統(tǒng)分析及其算法(系統(tǒng)轉(zhuǎn)移函數(shù)、頻率特性、快速傅里葉變換、快速卷積等)、信號的估值(各種估值理論、相關(guān)函數(shù)與功率譜估計(jì)等)、數(shù)字濾波技術(shù)(各種數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn))、信號的建模(AR、MA、ARMA、PRONY等模型)、信號處理中的特殊算法(抽取、插值、反卷積、信號重建等)、信號處理技術(shù)的實(shí)現(xiàn)與應(yīng)用(軟硬件系統(tǒng)的整體實(shí)現(xiàn))。第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)伴隨著通信技術(shù)、電子技術(shù)及計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展，數(shù)字信號處理的理論也在不斷地發(fā)展和完善，各種新算法、新理論層出不窮。平穩(wěn)信號的高階統(tǒng)計(jì)量分析、非平穩(wěn)

4、信號的聯(lián)合時(shí)域分析、信號的多抽樣率分析、小波變換及獨(dú)立分量分析等信號理論取得了較大的發(fā)展。 第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)1.1.2 數(shù)字信號處理的實(shí)現(xiàn)數(shù)字信號處理的實(shí)現(xiàn)數(shù)字信號處理的實(shí)現(xiàn)是指將信號處理的理論應(yīng)用于某一具體的實(shí)踐任務(wù)中。對象不同，實(shí)現(xiàn)的途徑也不相同，總體說來，數(shù)字信號處理的實(shí)現(xiàn)可分為軟件實(shí)現(xiàn)和硬件實(shí)現(xiàn)兩大類。 軟件實(shí)現(xiàn)主要是指在通用計(jì)算機(jī)上用軟件來實(shí)現(xiàn)信號處理的過程。目前，有關(guān)信號處理最強(qiáng)大的軟件工具是MATLAB語言及相應(yīng)的工具箱。本書涉及的工程數(shù)字信號處理的相關(guān)理論與具體實(shí)際應(yīng)用，均以MATLAB為輔助軟件來實(shí)現(xiàn)信號處理的仿真過程。硬件實(shí)現(xiàn)主要是指采用通用微處理器或數(shù)字

5、信號處理器DSP芯片，配置適當(dāng)?shù)耐鈬鶬C，配合相應(yīng)的處理程序構(gòu)成的數(shù)字信號處理系統(tǒng)。DSP芯片可分為通用的可編程DSP芯片和專用的DSP芯片。第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)具體有以下幾種實(shí)現(xiàn)方式：(1) 在大、中、小型計(jì)算機(jī)上運(yùn)行相應(yīng)的數(shù)字信號處理軟件來實(shí)現(xiàn)。如圖像壓縮和解壓縮軟件等。軟件實(shí)現(xiàn)的執(zhí)行速度較慢，因此，軟件實(shí)現(xiàn)一般僅用于DSP算法的模擬與仿真。(2) 在通用計(jì)算機(jī)系統(tǒng)中加上專用的加速處理機(jī)來實(shí)現(xiàn)。此方法專用性強(qiáng)，但不便于系統(tǒng)的獨(dú)立運(yùn)行。(3) 在通用的單片機(jī)(如MCS-51系列、MSC-96系列等)上實(shí)現(xiàn)。這種方法主要用于數(shù)字控制等領(lǐng)域。設(shè)計(jì)中可根據(jù)不同環(huán)境選配不同的單片機(jī)類型

6、，以達(dá)到實(shí)時(shí)控制的目的，但該法數(shù)據(jù)運(yùn)算量不能太大，只適用于實(shí)現(xiàn)簡單的DSP算法。第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)(4) 利用通用的可編程DSP芯片來實(shí)現(xiàn)。DSP芯片較之單片機(jī)，具有更加適合于數(shù)字信號處理的軟件和硬件資源，可用于復(fù)雜的數(shù)字信號處理算法。通用DSP芯片內(nèi)部帶有乘法器、累加器，采用流水線工作方式及并行結(jié)構(gòu)、多總線結(jié)構(gòu)， 執(zhí)行速度快，適用于信號處理的指令等。(5) 采用專用的DSP芯片來實(shí)現(xiàn)。在一些特殊場合，當(dāng)要求信號處理速度極高時(shí)，通用DSP芯片很難實(shí)現(xiàn)要求的功能，須采用專用的DSP芯片。例如專用于FFT、數(shù)字濾波、卷積、相關(guān)等算法的DSP芯片。這種芯片將相應(yīng)的信號處理算法在芯片內(nèi)

7、部用硬件實(shí)現(xiàn)，使用者只需給出輸入數(shù)據(jù)，即可在輸出端直接得到數(shù)據(jù)，無需進(jìn)行編程。第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)1.1.3 數(shù)字信號處理的應(yīng)用數(shù)字信號處理的應(yīng)用數(shù)字信號處理是一門涉及多學(xué)科的新興學(xué)科，在語音、雷達(dá)、聲納、地震、圖像、通信系統(tǒng)、系統(tǒng)控制、生物醫(yī)學(xué)工程、機(jī)械振動(dòng)、遙感遙測、地質(zhì)勘探、航空航天、電力系統(tǒng)、故障檢測、自動(dòng)化儀器等眾多領(lǐng)域獲得了極其廣泛的應(yīng)用。數(shù)字信號處理有效地推動(dòng)了眾多工程技術(shù)領(lǐng)域的技術(shù)改造和學(xué)科發(fā)展。近年來，隨著多媒體的發(fā)展，DSP芯片已在家電、電話、磁盤機(jī)等設(shè)備中廣泛應(yīng)用。數(shù)字信號處理的典型應(yīng)用如表1.1所示。第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)第1章 數(shù)字信號處理與

8、離散時(shí)間系統(tǒng)1.2 信信 號號 與與 系系 統(tǒng)統(tǒng)信號是信息的載體，是信息的物理表現(xiàn)形式，是信息的函數(shù)。信號是隨著時(shí)間、空間或其他自變量變化的物理量。通常把一個(gè)信號描述為一個(gè)或幾個(gè)自變量的函數(shù)。例如，函數(shù)S(x，y)5x4xy20y2(1.1)描述了含兩個(gè)自變量x和y的信號，是一種確定性信號。然而，很多情況下，這種函數(shù)關(guān)系是未知的，比如語音信號等自然信號。第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)信號根據(jù)其不同的特征屬性，有很多種分類方法。按信號的周期性可分為周期信號和非周期信號; 按信號是否能被確定規(guī)則所唯一描述，可分為確定性信號和隨機(jī)信號; 按信號時(shí)間自變量的特征和取值，可分為連續(xù)時(shí)間信號和離散時(shí)間

9、信號。系統(tǒng)定義為對某個(gè)信號執(zhí)行某種操作的一臺物理設(shè)備。譬如，用于降低有用信息載體信號噪聲和干擾的濾波器，就是一個(gè)系統(tǒng)。濾波器通過執(zhí)行相應(yīng)操作有效地濾去信號中的噪聲和干擾。操作就是信號處理。操作的執(zhí)行過程就是對信號的處理過程。在操作過程中，如果是線性操作，系統(tǒng)就是線性的; 如果是非線性操作，系統(tǒng)就是非線性的。第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)系統(tǒng)不僅包括物理設(shè)備，還包括對信號操作的軟件實(shí)現(xiàn)。對于計(jì)算機(jī)處理系統(tǒng)來說，程序就是軟件實(shí)現(xiàn)。信號處理主要針對的是數(shù)字信號，而模擬信號一般可以轉(zhuǎn)換成所需處理的數(shù)字信號。因此，本書主要論述的是數(shù)字系統(tǒng)。從廣義上講，一個(gè)數(shù)字系統(tǒng)是一個(gè)硬件和軟件結(jié)合的實(shí)現(xiàn)，每一部分

10、都執(zhí)行自身的一套特定操作。系統(tǒng)是可以被描述的。連續(xù)系統(tǒng)可用常系數(shù)微分方程、傅里葉變換、拉普拉斯變換描述; 離散系統(tǒng)可用差分方程、離散傅里葉變換、Z變換描述。數(shù)字系統(tǒng)所執(zhí)行的操作通常可以由數(shù)學(xué)方式來表達(dá)，執(zhí)行相應(yīng)數(shù)學(xué)操作的方法或規(guī)則集稱為算法。第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)1.2.1 連續(xù)時(shí)間信號和離散時(shí)間信號連續(xù)時(shí)間信號和離散時(shí)間信號連續(xù)時(shí)間信號在給定時(shí)間區(qū)域內(nèi)，對于任意時(shí)刻都對應(yīng)一個(gè)確定的函數(shù)值。時(shí)間域可以是有限或是無限。常見的連續(xù)時(shí)間信號主要有指數(shù)信號、正弦信號、單位階躍信號、單位斜坡信號、正負(fù)號信號、脈沖信號、sinc信號及復(fù)指數(shù)信號。離散時(shí)間信號定義在某些特定的時(shí)間值上，只是在某些

11、離散的瞬時(shí)時(shí)間點(diǎn)給出函數(shù)值，其他點(diǎn)無定義。這些時(shí)間點(diǎn)不需要是等間隔的，但為計(jì)算方便和易于處理，通常取為等時(shí)間間隔。如果使用離散時(shí)間的序號n作為自變量，那么信號值就會(huì)變成整型變量的函數(shù)，這樣，一個(gè)離散時(shí)間信號就可以用一系列實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)來表示。為強(qiáng)調(diào)信號的離散時(shí)間特性，通常用序列x(n)來表示這種信號。若信號等間隔，則可用x(nT)表示，T為采樣周期。 第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)在MATLAB中，可用一個(gè)列向量來表示一個(gè)有限長度序列x(n)。由于計(jì)算機(jī)內(nèi)存有限，故無法表示任意無限序列。另外，由于列向量沒有包含采樣時(shí)刻的信息，因此要完整地表示序列x(n)，需要用n和x兩個(gè)向量來表示，前者表示序

12、列元素的位置，后者表示相應(yīng)的序列值。例如序列x(n) = 3， 1， 4， 6， 5， 8， 9， 2在MATLAB中可表示為n =1， 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6x =3， 1， 4， 6， 5， 8， 9， 2第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)1.2.2 確定性信號與隨機(jī)信號確定性信號與隨機(jī)信號任何一個(gè)可以被一個(gè)顯式數(shù)學(xué)表達(dá)式、一個(gè)數(shù)據(jù)表或者一個(gè)定義好的規(guī)則所唯一描述的信號，都稱為確定性信號。確定性信號的每個(gè)值都可以用有限個(gè)參量唯一地加以描述。然而，在很多實(shí)際應(yīng)用中，有些信號不能被數(shù)學(xué)公式顯式表達(dá)到一個(gè)合理的精度，或者是描述得太過復(fù)雜以至于沒有任何實(shí)際用處。這種不能用有限參量來

13、唯一、確定地加以描述，也無法對其未來值確定地預(yù)測的信號，稱為隨機(jī)信號。隨機(jī)信號可以通過統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)的方法描述，常用的是概率密度函數(shù)或功率密度譜描述。如地震信號、語音信號以及最常用的白噪聲。第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)隨機(jī)信號可分為平穩(wěn)隨機(jī)信號與非平穩(wěn)隨機(jī)信號，而平穩(wěn)隨機(jī)信號又可分為各態(tài)遍歷信號與非各態(tài)遍歷信號。白噪聲的特征是所有頻率(無限帶寬)下具有平坦的功率密度(即均勻能量分布)，但它的概率密度函數(shù)可以有各種分布形式。從信號處理的角度出發(fā)，由于噪聲是一個(gè)隨機(jī)過程，可用統(tǒng)計(jì)方法描述，將混雜在有用信號中的噪聲去除，即在噪聲中提取有用信號。第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)1.2.3 能量信號與

14、功率信號能量信號與功率信號連續(xù)信號x(t)和離散信號x(n)的能量分別定義為(1.2a)ttxEd| )(|2(1.2b)2| )(|nxEn式中，若E，則稱為能量無限信號。當(dāng)x(t)和x(n)的能量E無限時(shí)，僅研究它們的功率。信號x(t)和x(n)的功率分別為(1.3a)ttxTPTTTd| )(|1lim222(1.3b)2| )(|121limnxNPNNnN第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)式中，若P，則稱x(t)或x(n)為功率有限信號，簡稱功率信號。隨機(jī)信號由于其時(shí)間是無限的，所以總是功率信號。一般來說，在有限區(qū)間內(nèi)存在的確定性信號有可能是能量信號。 第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間

15、系統(tǒng)1.2.4 數(shù)字信號處理系統(tǒng)的基本組成數(shù)字信號處理系統(tǒng)的基本組成在科學(xué)和工程上，大多數(shù)信號都是自然模擬信號。該類信號一般為連續(xù)變量的函數(shù)，可以直接被適合的模擬系統(tǒng)處理，以改變信號的特征或提取有用信息。在這種情況下，輸入和輸出信號均是模擬的。數(shù)字信號處理是把信號用數(shù)字或符號表示成序列，通過計(jì)算機(jī)或?qū)Ｓ眯盘柼幚碓O(shè)備，用數(shù)值計(jì)算方法進(jìn)行各種處理，達(dá)到提取有用信息以便于應(yīng)用的目的。如濾波、檢測、變換、增強(qiáng)、估計(jì)、識別、參數(shù)提取以及頻譜分析等。第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)數(shù)字信號處理提供了處理模擬信號的備用方法，如圖1.1所示。要執(zhí)行數(shù)字信號的處理，需在模擬信號和數(shù)字信號間加一個(gè)A/D轉(zhuǎn)換器，

16、將模擬信號轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號，再作為數(shù)字信號處理器的輸入。圖 1.1 數(shù)字信號處理系統(tǒng)第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)可編程數(shù)字計(jì)算機(jī)是一個(gè)對輸入信號執(zhí)行所需操作的數(shù)字信號處理器。處理器通過更改軟件來靈活地改變信號的處理操作。在實(shí)際應(yīng)用中，數(shù)字信號處理器的輸出通常是以模擬信號傳給用戶的，例如語音、圖像等，這就需用D/A轉(zhuǎn)換器將數(shù)字信號轉(zhuǎn)換為模擬信號輸出。 圖像等，這就需用D/A轉(zhuǎn)換器將數(shù)字信號轉(zhuǎn)換為模擬信號輸出。 數(shù)字信號處理與模擬信號處理相比，數(shù)字信號處理的動(dòng)態(tài)范圍寬，信噪比高。信號在模擬系統(tǒng)中經(jīng)過一系列模擬運(yùn)算處理后，誤差積累，噪聲逐級放大，整個(gè)系統(tǒng)信噪比指標(biāo)下降; 信號在數(shù)字系統(tǒng)中，僅受A

17、/D轉(zhuǎn)換的量化誤差及系統(tǒng)有限字長影響，處理過程中不會(huì)產(chǎn)生其他噪聲。數(shù)字信號處理系統(tǒng)的性能具有確定性、可預(yù)見性和可重復(fù)性，穩(wěn)定性好。這是由數(shù)字器件相比模擬器件的高精度及高穩(wěn)定度決定的。數(shù)字信號處理系統(tǒng)具有很強(qiáng)的靈活性，易于實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)算法， 易于大規(guī)模集成。第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)1.2.5 模數(shù)轉(zhuǎn)換和數(shù)模轉(zhuǎn)換模數(shù)轉(zhuǎn)換和數(shù)模轉(zhuǎn)換現(xiàn)實(shí)中的信號大多是模擬信號，要通過數(shù)字方法處理模擬信號，首先就需將其轉(zhuǎn)換為具有有限精度的數(shù)字序列形式。這一過程稱為模數(shù)(A/D)轉(zhuǎn)換，其轉(zhuǎn)換設(shè)備稱為A/D轉(zhuǎn)換器。A/D轉(zhuǎn)換一般由采樣、量化和編碼三步完成。而數(shù)模(D/A)轉(zhuǎn)換器則通過樣本間的插值操作完成數(shù)字信號到模

18、擬信號的輸出。第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)1. 模擬信號的采樣模擬信號的采樣模擬信號的采樣即對信號時(shí)間上的離散化，這是數(shù)字化處理的第一個(gè)環(huán)節(jié)。其研究內(nèi)容主要包含信號經(jīng)采樣后發(fā)生的變化(如頻譜的變化)、信號內(nèi)容是否丟失(采樣序列能否代表原始信號、如何不失真地還原信號)以及由離散信號恢復(fù)連續(xù)信號的條件。采樣器一般由電子開關(guān)組成，開關(guān)每隔T秒短暫地閉合一次，將連續(xù)信號接通，實(shí)現(xiàn)一次采樣。如開關(guān)每次閉合秒，則采樣器的輸出是一串重復(fù)周期為T，寬度為的脈沖，脈沖的幅度是這段時(shí)間內(nèi)信號的幅度，這一采樣過程可看做一個(gè)脈沖調(diào)幅過程，脈沖載波是一串周期為T、寬度為的矩形脈沖，用P(t)表示，調(diào)制信號是輸入的

19、連續(xù)信號xa(t)， 則采樣輸出為xp(t)=xa(t)P(t)(1.4)第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng) 一般是很小的，越小，則采樣輸出脈沖幅度越接近輸入信號在離散時(shí)間點(diǎn)上的瞬時(shí)值。信號采樣要滿足奈奎斯特采樣定理，即在信號采樣中，采樣頻率必須大于信號最高頻率的兩倍。工程實(shí)際中，考慮到信號含有噪聲，為避免頻譜混淆，選取的采樣頻率總比信號最高頻率S的兩倍大得多。同時(shí)，為避免高于折疊頻率S/2的噪聲信號進(jìn)入采樣器造成頻譜混淆，采樣器前常常加一個(gè)保護(hù)性的前置低通濾波器(抗混疊濾波器)。第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)2. 量化量化量化是離散時(shí)間連續(xù)值信號轉(zhuǎn)換到離散時(shí)間離散值信號的轉(zhuǎn)換過程。每個(gè)信

20、號的樣本值是從可能值的有限集中選取的。3. 編碼在A/D轉(zhuǎn)換器中的編碼過程為每一個(gè)量化級別賦予一個(gè)唯一的二進(jìn)制數(shù)。如果有L級，那么至少需要L個(gè)不同的二進(jìn)制數(shù)。若字長為b位，則可生成2b個(gè)不同的二進(jìn)制數(shù)。 第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)4. D/A轉(zhuǎn)換與插值處理轉(zhuǎn)換與插值處理D/A轉(zhuǎn)換通過執(zhí)行某種插值操作連接數(shù)字信號的點(diǎn)，其一般的樣本形式稱為零階保持或階梯近似。采樣定理指出了帶限信號的最佳插值。為簡化插值處理過程，實(shí)際上大多采用零階保持線性插值的方法來實(shí)現(xiàn)D/A轉(zhuǎn)換，再跟隨一個(gè)后濾波器或平滑濾波器來實(shí)現(xiàn)模擬輸出。第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)1.3 離散時(shí)間信號離散時(shí)間信號對模擬信號xa

21、(t)進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T，可得到的采樣輸出為xn=xa(t)|t=nT=xa(nT)， n=，2，1，0，1，2，(1.5)對于不同的n值，xa(nT)是一個(gè)有序的數(shù)字序列，該數(shù)字序列就是離散時(shí)間信號。T稱為采樣周期或采樣間隔，f=1/T為采樣頻率。第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)實(shí)際信號處理中，這些數(shù)字序列值按順序存放于存儲器中，此時(shí)nT代表的是前后順序。為了簡化表述，一般不寫采樣間隔，記為x(n)，稱為數(shù)字序列。對于具體信號，x(n)也代表第n個(gè)序列值。需要說明的是，n需取整數(shù)，非整數(shù)時(shí)無定義; 另外，在數(shù)值上它等于信號的采樣值，且信號隨n的變化規(guī)律可以用公式表示，也可以用圖形

22、表示。第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)1.3.1 典型離散時(shí)間信號典型離散時(shí)間信號在數(shù)字信號處理中，定義了一些基本的典型離散時(shí)間信號序列，它們的定義和在MATLAB中的表述如下。1. 單位采樣序列單位采樣序列單位采樣序列的表達(dá)式為(1.6)0, 00, 1)(nnn(1.7)000, 0, 1)(nnnnnn第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)單位采樣序列也可以稱為單位脈沖序列，特點(diǎn)是僅在n=0時(shí)取值為1，其他情況時(shí)均為0。它類似于模擬信號和系統(tǒng)中的單位沖激函數(shù)(t)，但不同的是(t)在t=0時(shí)，取值無窮大，t0時(shí)取值為0，對時(shí)間t的積分為1。在MATLAB中，利用函數(shù)zeros(1， N)可

23、以實(shí)現(xiàn)有限長區(qū)間的(n)，也可利用邏輯關(guān)系操作符n=0來實(shí)現(xiàn)。第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)【例【例 1.1】 用MATLAB編寫生成單位采樣序列的程序，其中，n10， 10，n0=1。MATLAB程序如下: %MATLAB PROGRAM 1-1%a Delta Sequencen0=1; n1=-10; n2=10; %Generate x(n) = delta(n-n0); n1 = n，n0 = n2if (n0 n2) | (n1 n2) error(參數(shù)必須滿足 n1 = n0 = n2)endn = n1: n2; %x = zeros(1，(n0-n1)， 1， zeros

24、(1，(n2-n0); %用zeros函數(shù)實(shí)現(xiàn)x = (n-n0) = 0; %用邏輯關(guān)系式實(shí)現(xiàn) stem(n，x)xlabel(n); ylabel(x(n); title(Delta Sequence); grid程序運(yùn)行結(jié)果如圖1.2所示。第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)圖 1.2 單位采樣序列第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)2. 單位階躍序列單位階躍序列單位階躍序列的表達(dá)式為(1.8)0, 00, 1)(nnnu(1.9)000, 0, 1)(nnnnnnu單位階躍序列類似于模擬信號中的單位階躍函數(shù)u(t)。(n)與u(n)之間的關(guān)系為(n)=u(n)u(n1)(1.10)(1.1

25、1)()(0knnuk第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng) 在MATLAB中，利用函數(shù)ones(1， N)可以實(shí)現(xiàn)有限長區(qū)間的u(n)，也可用邏輯關(guān)系式n0來實(shí)現(xiàn)?！纠纠?1.2】 用MATLAB編寫生成單位階躍序列的程序，其中，n8， 8，n0=2。MATLAB程序如下: %MATLAB PROGRAM 1-2%Functionx，n = stepseq(n0，n1，n2)n0=2; n1=-8; n2=8; if (n0 n2) | (n1 n2) error(參數(shù)必須滿足 n1 = n0 = 0; %用“”實(shí)現(xiàn)stem(n，x)xlabel(n); ylabel(x(n); title(

26、Step Sequence); grid第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)程序運(yùn)行結(jié)果如圖1.3所示。圖 1.3 單位階躍序列第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)矩形序列是其一種特殊序列，定義為(1.12)NnnNnnRN, 0, 010, 1)(式中，N稱為矩形序列的長度。 3. 單位斜坡序列單位斜坡序列單位斜坡序列的表達(dá)式為(1.13)0, 00,)(nnnnx【例【例 1.3】 用MATLAB編寫生成單位斜坡序列的程序，其中，n0， 10。第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)MATLAB程序如下: %MATLAB PROGRAM 1-3%a Ramp Sequencen1=0; n2=10;

27、 n = n1: 0.5: n2; x =n; stem(n，x)xlabel(n); ylabel(x(n); title(Ramp Sequence); grid程序運(yùn)行結(jié)果如圖1.4所示。第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)圖 1.4 單位斜坡序列第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)4. 正弦、余弦序列正弦、余弦序列正弦和余弦序列的表達(dá)式分別為x(n)=A sin(0n+j)n(1.14a)x(n)=A cos(0n+j) n(1.14b)式中，A為幅度; 0稱為序列的數(shù)字域頻率，表示序列變化的速率，單位是弧度; j為初始相位角。在MATLAB中，利用函數(shù)sin和cos可以實(shí)現(xiàn)有限長區(qū)間的正

28、弦和余弦序列。 第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)【例【例 1.4】 用MATLAB編寫程序，生成x(n)= 2 sin(0.3n)，n10， 50。MATLAB程序如下: %MATLAB PROGRAM 1-4n = 10: 50; x =3*cos(0.4*pi*n+pi/3)2*sin(0.3*pi*n); stem(n，x)xlabel(n); ylabel(x(n); title(Sine Sequence); grid程序運(yùn)行結(jié)果如圖1.5所示。34 . 0cos3n第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)圖 1.5 正余弦序列第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)5. 實(shí)指數(shù)序列實(shí)指數(shù)序列

29、實(shí)指數(shù)序列的表達(dá)式為x(n)=an n，aR (1.15)如果|a|1，x(n)的幅度隨n的增大而增大，稱x(n)為發(fā)散序列。在MATLAB中，利用數(shù)組運(yùn)算符“. ”可以實(shí)現(xiàn)有限長區(qū)間的實(shí)指數(shù)序列?！纠纠?1.5】 用MATLAB編寫生成x(n)=0.5n，n8， 10的程序。第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)MATLAB程序如下: %MATLAB PROGRAM 15n=8: 10; x=0.5.nstem(n，x)xlabel(n); ylabel(x(n); title(Real Power Sequence); grid程序運(yùn)行結(jié)果如圖1.6所示。第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)圖

30、 1.6 實(shí)指數(shù)序列第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)6. 復(fù)指數(shù)序列復(fù)指數(shù)序列復(fù)指數(shù)序列的表達(dá)式為x(n)=e(+j0)n(1.16)式中，0為數(shù)字域頻率，為阻尼系數(shù)。借助歐拉公式可以展開為x(n)=en(cos0n+j sin0n)(1.17)式中，實(shí)部Re(n)=en cos0n，虛部Im(n)=en sin0n，模|x(n)|=en，幅角為0n。在MATLAB中，可采用函數(shù)exp實(shí)現(xiàn)序列?！纠纠?1.6】 用MATLAB編寫生成復(fù)指數(shù)序列x(n)=e(0.2+j0.3)n，n10， 10的程序。 第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)MATLAB程序如下: %MATLAB PROGRAM

31、 1-6n=10: 10; s=0.2+0.3*j; x=exp(s*n); Re_x=real(x); Im_x=imag(x); Mag_x=abs(x); Phase_x=(180/pi)*angle(x); subplot(221); %實(shí)部序列stem(n， Re_x); xlabel(n); ylabel(Re-x); title(Power Real Port Sequence); 第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)gridsubplot(222); %虛部序列stem(n， Im_x); xlabel(n); ylabel(Im-x); title(Power Imag Por

32、t Sequence); gridsubplot(223); %幅值序列stem(n， Mag_x); xlabel(n); ylabel(Mag-x); title(Power Magnitude Sequence); gridsubplot(224); %相位序列stem(n， Phase_x); xlabel(n); ylabel(Phase-x); title(Power Phase Sequence); grid程序運(yùn)行結(jié)果如圖1.7所示。第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)圖 1.7 復(fù)指數(shù)序列第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)7. 周期序列周期序列如果對所有n存在一個(gè)最小的正整數(shù)N

33、，使下面的等式成立: x(n) = x(n+N) n=min(n1)&(n=min(n2)&(n=min(n1)&(n=min(n2)&(n=max(n2)=1)=x2; %具有y的長度的 x2 y = y1.* y2; %序列相乘第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)4. 序列時(shí)延序列時(shí)延給定離散信號x(n)，若信號以y1(n)和y2(n)分別定義為y1(n)=x(nN) (1.23)y2(n)=x(n+N) (1.24)則y1(n)是整個(gè)x(n)在時(shí)間軸上延時(shí)/右移N個(gè)抽樣周期所得的新序列，同理，y2(n)是將整個(gè)x(n) 超前/左移N個(gè)抽樣周期的新序列?！纠纠?1.11】 用MATLAB編

34、寫序列時(shí)延的程序。MATLAB程序如下: %MATLAB PROGRAM 1-11%實(shí)現(xiàn)y(n) = x(n-n0)，n0為時(shí)延的單位長度，m為x的下標(biāo)n = m + n0; y = x; 第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)5. 序列翻轉(zhuǎn)序列翻轉(zhuǎn)序列翻轉(zhuǎn)的定義式為y(n)=x(n)(1.25)x(n)是以n=0的縱軸為對稱軸，將序列x(n)加以翻轉(zhuǎn)。MATLAB中用函數(shù)fliplr來實(shí)現(xiàn)序列翻轉(zhuǎn)?！纠纠?1.12】 用MATLAB編寫序列翻轉(zhuǎn)的程序。MATLAB程序如下: %MATLAB PROGRAM 1-12%實(shí)現(xiàn) y(n) = x(-n)y = fliplr(x); n = -flip

35、lr(n); 第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)6. 序列的奇偶性序列的奇偶性任何一個(gè)序列x(n)都可以分解為偶分量xe(n)和奇分量xo(n)之和:x(n) = xe(n)+xo(n) (1.26)xe(n) = 0.5(x(n)+x(n)=xe(n) (1.27)xo(n) = 0.5(x(n)x(n)= xo(n) (1.28)【例【例 1.13】 用MATLAB編寫序列的奇偶分解程序。第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)MATLAB程序如下: %MATLAB PROGRAM 1-13%序列的奇偶分解m = fliplr(n); Mm=min(m，n) : max(m，n); nm=n(1

36、)-m(1); n1=1: length(n); x1=zeros(1，length(Mm); x1(n1+nm)=x; x=x1; xeven=0.5*(x + fliplr(x); xold=0.5*(x - fliplr(x); 第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)7. 序列的卷積和序列的卷積和若有兩序列x(n)和h(n)，則其卷積和定義為(1.29)在MATLAB中，用函數(shù)conv來實(shí)現(xiàn)序列的卷積和?！纠纠?1.14】 用MATLAB編寫序列卷積和的程序。MATLAB程序如下: )()()(*)()(inhixnhnxnyi第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)%MATLAB PROGRA

37、M 1-14%y = 卷積結(jié)果%ny = y的基底(support)%x =基底nx上的第一個(gè)信號%nx = x 的支架%h =基底nh上的第二個(gè)信號%nh = h的基底nyb = nx(1)+nh(1); nye = nx(length(x) + nh(length(h); ny = nyb: nye; y = conv(x，h); 第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)8. 序列的能量序列的能量序列的能量定義式為(1.30) 有限長序列的能量可以由MATLAB語句來得到Ex=sum(x.*conj(x)或 Ex=sum(abs(x).2) 2| )(|nxEn第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)

38、9. 序列的功率序列的功率序列x(n)的功率由下式給出(1.31) 有限長序列的功率可由以下MATLAB語句得到 Px= sum(x.*conj(x)/length(x)或 Px=sum(abs(x).2)/length(x)NNnxnxNP2| )(|121lim第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)10. 序列的求和及求積序列的求和及求積序列求和的定義式為 (1.32)序列求積的定義式為(1.33)在MATLAB中，序列的求和及求積可分別由函數(shù)sum和函數(shù)prod來得到y(tǒng)=sum(x(n1: n2)y=prod(x(n1: n2)(21nxynnn)(21nxynnn第1章 數(shù)字信號處理與離散

39、時(shí)間系統(tǒng)1.3.3 MATLAB常用信號生成函數(shù)常用信號生成函數(shù)MATLAB信號處理工具箱提供了一些特殊信號波形的生成函數(shù)，下面簡要介紹幾種常用函數(shù)。1. sawtooth函數(shù)函數(shù)功能: 產(chǎn)生周期為2的鋸齒波或三角波。調(diào)用格式: x=sawtooth(t)x=sawtooth(t，width)其中，width為0和1之間的數(shù)，當(dāng)width=0.5時(shí)，產(chǎn)生標(biāo)準(zhǔn)三角波。第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)2. square函數(shù)函數(shù)功能: 產(chǎn)生周期為2、幅值為1， 1的方波。調(diào)用格式: 正方波 x(t)=square(t)帶占空比的方波 x(t)=square(t， duty)其中，t為時(shí)間向量，du

40、ty為正幅值部分占周期的百分?jǐn)?shù)。3. sinc函數(shù)函數(shù)功能: 生成sinc函數(shù)波形。調(diào)用格式: y=sinc(x)函數(shù)sinc(x)的周期為2，并隨x的增加而作衰減振蕩，且為偶函數(shù)，在n處的值為0。第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)4. diric函數(shù)函數(shù)功能: 生成dirichlet或sinc周期函數(shù)波形。調(diào)用格式: y= diric(x， n)其中，x為向量，n為整數(shù)。當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，周期為2; 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，周期為4。5. pulstran函數(shù)函數(shù)功能: 產(chǎn)生脈沖串信號。調(diào)用格式: y= pulstran(t， d， func， P1， P2)其中，t為時(shí)間向量，d為脈沖串位置向量，P1和

41、P2為與脈沖有關(guān)的參數(shù)設(shè)置，func為脈沖類型函數(shù)，MATLAB提供三種脈沖類型: Gauspuls(高斯調(diào)制正弦脈沖)、 Rectpuls(非周期矩形脈沖)和Tripuls(非周期三角形脈沖)。第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)【例【例 1.15】 編寫程序，產(chǎn)生一矩形波脈沖串，脈寬為0.1 s，脈沖重復(fù)頻率為3 Hz，采樣頻率為2 kHz， 信號長度為1 s。MATLAB程序如下: %MATLAB PROGRAM 1-15clf; t=0: 0.0005: 1; d=0: 1/3: 1; y=pulstran(t，d，rectpuls，0.1); plot(t，y); title(Puls

42、trantripuls); xlabel(t); ylabel(y); grid; 程序運(yùn)行結(jié)果如圖1.8所示。第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)圖 1.8 矩形波脈沖串第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)1.4 離散時(shí)間系統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng)在信號處理中，通常需要設(shè)計(jì)一個(gè)器件或算法對離散時(shí)間信號執(zhí)行某些規(guī)定的運(yùn)算，這樣的器件或算法稱為離散時(shí)間系統(tǒng)。也就是說，離散時(shí)間系統(tǒng)就是將輸入序列映射成另一輸出序列的變換或算子。線性時(shí)不變系統(tǒng)是最重要且最常用的離散時(shí)間系統(tǒng)。1.4.1 離散時(shí)間系統(tǒng)的基本概念離散時(shí)間系統(tǒng)的基本概念一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)可以抽象為一種變換，或是一種映射。設(shè)時(shí)域離散系統(tǒng)的輸入為x(n)， 經(jīng)

43、過規(guī)定的運(yùn)算，系統(tǒng)輸出序列用y(n)表示。設(shè)運(yùn)算關(guān)系用T表示，則輸出與輸入之間的關(guān)系為 y(n)=Tx(n)(1.34) 下面介紹有關(guān)離散時(shí)間系統(tǒng)的幾個(gè)重要定義。第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)1. 線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)滿足疊加原理的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。設(shè)x1(n)和x2(n)分別為系統(tǒng)的輸入序列，其輸出分別用y1(n)和y2(n)表示，即 y1(n) = Tx1(n) (1.35) y2(n) = Tx2(n) (1.36)則線性系統(tǒng)需滿足下列兩個(gè)條件:Tx1(n) +x2(n) = y1(n)+ y2(n) (1.37)Tax1(n) = ay1(n) (1.38)式中, a是常數(shù)。滿足式(1

44、.37)稱為線性系統(tǒng)的可加性; 滿足式(1.38)稱為線性系統(tǒng)的比例性或齊次性。將兩式結(jié)合起來,可表示為y(n)=Tax1(n)+bx2(n)=ay1(n)+by2(n) (1.39)式中，a和b均是常數(shù)。第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)【例【例 1.16】 設(shè)y(n)=ax(n)+b(a和b是常數(shù))，試證明該系統(tǒng)y(n)是非線性系統(tǒng)。證明證明y1(n)=Tx1(n)=ax1(n)+b y2(n) = Tx2(n) = ax2(n) + by(n) = Tx1(n)+x2(n) = ax1(n)+ax2(n) + b y(n) y1(n)+y2(n)因此，該系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。第1章 數(shù)字信號

45、處理與離散時(shí)間系統(tǒng)2. 時(shí)不變系統(tǒng)時(shí)不變系統(tǒng)如果系統(tǒng)對輸入信號的運(yùn)算關(guān)系T在整個(gè)運(yùn)算過程中不隨時(shí)間變化，或者系統(tǒng)對于輸入信號的響應(yīng)與信號加于系統(tǒng)的時(shí)間無關(guān)，則稱該系統(tǒng)為時(shí)不變系統(tǒng)，可表示為y(n)=Tx(n) (1.40a)或 y(nn0)=Tx(nn0)(1.40b)式中，n0為任意整數(shù)。第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)【例【例 1.17】 判別y(n) = ax(n)+b代表的系統(tǒng)是否為時(shí)不變系統(tǒng)。式中，a和b為常數(shù)。 解解 y(n) = ax(n)+b y(nn0) = ax(nn0)+b y(nn0) = Tx(nn0)因此，該系統(tǒng)為時(shí)不變系統(tǒng)。 第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)3

46、. 系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性線性和時(shí)不變兩個(gè)約束條件定義了一類可用卷積和表示的系統(tǒng)。若系統(tǒng)n時(shí)刻的輸出只取決于n時(shí)刻以及n時(shí)刻以前的輸入序列，而跟n時(shí)刻以后的輸入序列無關(guān)，則稱該系統(tǒng)具有因果性質(zhì)，或稱該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。若n時(shí)刻的輸出還取決于n時(shí)刻以后的輸入序列，在時(shí)間上違背了因果性，則這類系統(tǒng)是無法實(shí)現(xiàn)的，被稱為非因果系統(tǒng)。因此，系統(tǒng)的因果性是指系統(tǒng)的可實(shí)現(xiàn)性。線性時(shí)不變系統(tǒng)具有因果性的充分必要條件是系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)滿足h(n) = 0， n0 (1.41)第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)滿足式(1.41)的序列稱為因果序列，所以，因果系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)必然是因果序列。由于

47、單位取樣響應(yīng)是輸入為(n)的零狀態(tài)響應(yīng)，故在n0時(shí)，輸出為0。若系統(tǒng)輸入有界，輸出也有界， 則稱系統(tǒng)具有穩(wěn)定性質(zhì)，稱之為穩(wěn)定系統(tǒng)。系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)絕對可和，即(1.42) 穩(wěn)定因果系統(tǒng)是指既滿足穩(wěn)定性又滿足因果性的系統(tǒng)。穩(wěn)定因果系統(tǒng)既是可實(shí)現(xiàn)的又是穩(wěn)定的。這種系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)既是單邊的，又是絕對可積的，即| )(|khsk第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)【例【例 1.18】 設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)h(n)= anu(n)，式中，a是實(shí)常數(shù)，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。解解 由于n0時(shí)，h(n)=0，所以該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。(1.43) | )(|000)()(

48、nhnnnhnhn|1lim|lim| )(|100aaaanhnNnNnNnnn當(dāng)且僅當(dāng)|a|1時(shí)，|11| )(|anhn第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)因此，系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是|a|= 0 ; nh = 0: 3; Rb = nh = 0 ; y=conv(Ra，Rb); M=length(y)-1; n=0: M; disp(輸出序列y=); disp(y); stem(n，y); xlabel(時(shí)間序號n); ylabel(振幅y(n); grid第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)程序運(yùn)行結(jié)果如下: 輸出序列y= 1 2 3 4 3 2 1卷積仿真波形如圖1.9所示。LTI離散時(shí)間系

49、統(tǒng)根據(jù)脈沖響應(yīng)的長度，可分為有限脈沖響應(yīng)(Finite Impulse Response， FIR)系統(tǒng)和無限脈沖響應(yīng)(Infinite Impulse Response，IIR)系統(tǒng)兩大類。第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)圖 1.9 卷積運(yùn)算第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)1.4.3 離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程描述離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程描述為了描述一個(gè)系統(tǒng)，可將其看成一個(gè)黑盒子，只描述或者研究系統(tǒng)輸出和輸入之間的關(guān)系，這種方法稱為輸入輸出描述法。對于模擬系統(tǒng)，可由微分方程描述系統(tǒng)輸入輸出之間的關(guān)系。而對于離散時(shí)間系統(tǒng)，由于其變量n是離散整型變量，故只能用差分方程來反映其輸入輸出序列之間的運(yùn)算

50、關(guān)系。對于線性時(shí)不變系統(tǒng)，常用線性常系數(shù)差分方程表示，N階線性常系數(shù)差分方程的一般形式為(1.52)MrNkkrknybrnxany00)()()(第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)式中，x(n)和y(n)分別是系統(tǒng)的輸入序列和輸出序列，ar、bk都是常數(shù)。差分方程的階數(shù)N是由y(n)變量序號的最大與最小之差確定的。若已知系統(tǒng)的輸入序列，則通過求解差分方程可以求出其輸出序列。求解差分方程的基本方法主要包括經(jīng)典解法、遞推解法和變換域法。 若已知輸入序列和N個(gè)初始條件，則可以求出n時(shí)刻的輸出。如果將式(1.52)中的n用n+1代替，則可求出n+1時(shí)刻的輸出，因此差分方程本身就是一個(gè)適合遞推法求解的

51、方程。 【例【例 1.20】 已知一階差分方程系統(tǒng)y(n)=1.5x(n)+y(n1)，其輸入信號為0001)()(nnnnx21試求解輸出y(n)。第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)解解 假定初始條件為n0，y(n)=0。將上述差分方程改寫成)(5 . 1)( 2) 1(nxnyny0) 1 (5 . 1) 1 (2)0(xyy1215 . 1)0(5 . 1)0(2) 1(xyy2215 . 1) 1(5 . 1) 1(2)2(xyy依此類推，得到) 1(215 . 1)()(nunhnyn第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)在和兩種初始條件下，表示了兩個(gè)不同的單位脈沖響應(yīng)，雖滿足同一差分方

52、程，但由于初始條件不同，故它們代表了不同的系統(tǒng): 由初始條件確定的是因果穩(wěn)定系統(tǒng)， 由初始條件確定的是非因果不穩(wěn)定系統(tǒng)。用差分方程描述系統(tǒng)時(shí)，只有附加必要的約束條件，才能唯一地確定一個(gè)系統(tǒng)的輸入和輸出關(guān)系。在MATLAB中，可以用函數(shù)filter求解差分方程，調(diào)用格式為 y=filter(a，b，x)其中，參數(shù)x為輸入向量(序列)，a、b分別為差分方程系數(shù)ai、bi構(gòu)成的向量，y為輸出結(jié)果。 第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)【例【例 1.21】 有一差分方程: y(n)+0.7y(n1)0.45y(n2)0.6y(n3) =0.8x(n)0.44x(n1)+0.36x(n2)+0.02x(n

53、3)輸入序列x(n)=(n)，0n40。利用MATLAB求輸出y(n)。MATLAB程序如下: %MATLAB PROGRAM 1-21N=41; a=0.8， 0.44， 0.36， 0.22; b=1， 0.7， 0.45， 0.6; x=1 zeros(1，N1); k=0: 1: N1; y=filter(a，b，x); stem(k，y)xlabel(n); ylabel(幅度y); grid; 程序運(yùn)行結(jié)果如圖1.10所示。第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)圖 1.10 用MATLAB求解差分方程第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)1.4.4 離散時(shí)間信號的相關(guān)性離散時(shí)間信號的相關(guān)性

54、在信號處理中經(jīng)常要研究兩個(gè)信號的相似性，或一個(gè)信號經(jīng)過一段延遲后自身的相似性，以實(shí)現(xiàn)信號的檢測、識別與提取等。相關(guān)函數(shù)是描述隨機(jī)信號的重要統(tǒng)計(jì)量，已廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、聲納、數(shù)字通信、地質(zhì)學(xué)以及其他學(xué)科的工程領(lǐng)域中。1. 互相關(guān)和自相關(guān)函數(shù)互相關(guān)和自相關(guān)函數(shù)對于兩個(gè)長度相同、能量有限的信號x(n)和y(n)，互相關(guān)函數(shù)為(1.53)()()(mnynxmrnxy第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)該式表明: rxy(m)在時(shí)刻m時(shí)的值等于將x(n)保持不變，y(n)左移m個(gè)抽樣周期后，兩個(gè)序列對應(yīng)相乘再相加的結(jié)果。如果y(n)= x(n)，則x(n)的自相關(guān)函數(shù)為(1.54)()()(mnxnxmr

55、nxx自相關(guān)函數(shù)rxx(m)反映了信號x(n)和其自身在經(jīng)過了一段延遲后的x(n+m)的相似程度。第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)2. 相關(guān)函數(shù)和線性卷積的關(guān)系相關(guān)函數(shù)和線性卷積的關(guān)系令g(n)為x(n)和y(n)的線性卷積，即 (1.55)()()(mymnxngm將式(1.55)中的m和n相對換，得(1.56)(*)()()()(nymxnynmxmgn又因x(n)和y(n)的互相關(guān)為(1.57)()()()()()()(nynmxnymnxmnynxmrnnnxy比較式(1.56)和式(1.57)，可得到相關(guān)和卷積的時(shí)域關(guān)系為(1.58)(*)()(mymxmrxy第1章 數(shù)字信號處理

56、與離散時(shí)間系統(tǒng)計(jì)算x(n)和y(n)的互相關(guān)時(shí)，兩個(gè)序列先都不翻轉(zhuǎn)，只將y(n)在時(shí)間軸上移動(dòng)后與x(n)對應(yīng)相乘再相加即可。相關(guān)表示兩信號之間的相關(guān)性，與系統(tǒng)無關(guān); 卷積是表示線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入與輸出和單位響應(yīng)之間的一個(gè)基本關(guān)系。在MATLAB中，可用函數(shù)xcorr(x， y)計(jì)算兩序列x(n)和y(n)的相關(guān)性，調(diào)用格式為 Rxy = xcorr(x， y) 計(jì)算互相關(guān) rx= xcorr(x)計(jì)算自相關(guān)第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)【例【例 1.22】 令，y(n)=x(n)+w(n)。其中，w(n)為零均值且方差為1的白噪聲，計(jì)算x(n)和y(n)的相關(guān)函數(shù)。MATLAB程序如下

57、: %MATLAB PROGRAM 1-22n=1: 50; x = sin(pi/8*n+pi/4) + 2*cos(pi/7*n); w = randn(1， length(n); y = x+w; rxx = xcorr(x); rxy = xcorr(x， y); ryy = xcorr(y); subplot(221); plot(rxx); )*7cos(*2)4*8sin()(nnnx第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)title(信號x的自相關(guān)函數(shù)波形圖); grid; subplot(222); plot(rxy); title(信號x和y的互相關(guān)函數(shù)波形圖); grid; s

58、ubplot(223); plot(ryy); title(信號y的自相關(guān)函數(shù)波形圖); grid; subplot(224); plot(y); title(信號y的波形圖); grid; 第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)程序的運(yùn)行結(jié)果如圖1.11所示。顯然，僅從信號y(n)的波形很難分辨出是否含有正余弦信號，而從其互相關(guān)函數(shù)以及自相關(guān)函數(shù)的波形中可以判別出信號y(n)含有正余弦分量。故相關(guān)函數(shù)可以進(jìn)行噪聲檢測、信號中隱含的周期性檢測等。由相關(guān)和卷積的關(guān)系可知，相關(guān)計(jì)算也可由函數(shù)conv來完成，具體可參照卷積部分內(nèi)容。第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)圖 1.11 相關(guān)函數(shù)的波形第1章 數(shù)

59、字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)1.4.5 離散時(shí)間系統(tǒng)的離散時(shí)間系統(tǒng)的MATLAB描述描述一個(gè)線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)可以用四種不同的分析方法描述，分別為頻率響應(yīng)、卷積關(guān)系、差分方程以及轉(zhuǎn)移函數(shù)。其中，頻率響應(yīng)和轉(zhuǎn)移函數(shù)的內(nèi)容將在后續(xù)章節(jié)中詳細(xì)介紹。在MATLAB的信號處理工具箱中，還提供了幾種線性時(shí)不變系統(tǒng)的模型描述。頻率響應(yīng) (1.59),e)()(ejjmnnhH0n 卷積關(guān)系(脈沖響應(yīng)h(n)(1.60),(*)()()()(nhnxmnhmxnymm第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)差分方程(1.61)kkrrknybrnxany)()()(，k=1N，r=1M轉(zhuǎn)移函數(shù),)()(nnznhz

60、H0n(1.62)下面介紹系統(tǒng)描述與轉(zhuǎn)換時(shí)幾個(gè)常用的MATLAB函數(shù)。1. 函數(shù)函數(shù)deconv功能: 用于計(jì)算多項(xiàng)式除法。調(diào)用格式: Q， R = deconv(B， A)其中，B為除數(shù)多項(xiàng)式，A為被除數(shù)多項(xiàng)式，Q為商多項(xiàng)式，R為余項(xiàng)。第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)2. 函數(shù)函數(shù)residuez功能: 傳遞函數(shù)形式，用于部分分式與多項(xiàng)式系數(shù)的相互轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換關(guān)系為NMkkkNkkkNNMMzCzpRzBzAzazaazbzbbzX1111101101)()()( (1.63)存在兩種調(diào)用格式: 格式1: r， p， c = residuez(num， den)可由部分分式的多項(xiàng)式系數(shù)求得X

61、(z)的零點(diǎn)r、極點(diǎn)p和直接項(xiàng)c。其中，num、den分別為X(z)的分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式系數(shù)行向量。格式2: num， den = residuez(r， p， c)可由部分分式的X(z)的零、極點(diǎn)和直接項(xiàng)求得分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式系數(shù)行向量。利用此函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)沖激響應(yīng)與系統(tǒng)函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換。第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)3. 函數(shù)函數(shù)freqz功能: 由給定的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的分子行向量num和分母行向量den繪制系統(tǒng)的幅度和相位響應(yīng)。存在三種調(diào)用格式: 格式1: h， w = freqz(num， den， n)此時(shí)返回該系統(tǒng)的n點(diǎn)頻率矢量w和n點(diǎn)復(fù)數(shù)頻率響應(yīng)矢量h。格式2: h， w = freqz(num， den， n， whole)此時(shí)返回整個(gè)單位圓上n點(diǎn)等間距的頻率矢量w和復(fù)數(shù)頻率響應(yīng)矢量h。格式3: h= freqz(num， den， w)此時(shí)返回指定頻段w上的頻率響應(yīng)，通常在0之間。第1章 數(shù)字信號處理與離散時(shí)間系統(tǒng)1.5 小小 結(jié)結(jié)本章簡要介紹了數(shù)字信號處理的發(fā)展現(xiàn)狀和信號與系統(tǒng)的相關(guān)基礎(chǔ)知識，闡述了離散時(shí)間信號與離散時(shí)間系統(tǒng)的基本概念、定義及相關(guān)性質(zhì)。重點(diǎn)闡述了離散時(shí)間信號與系統(tǒng)的MATLAB表征，并給出了相關(guān)的MATLAB源程序。