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1、
山東省泰安市肥城市第三中學(xué)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 函數(shù)奇偶性 周期教案
教學(xué)內(nèi)容
學(xué)習(xí)指導(dǎo)
即使感悟
【學(xué)習(xí)目標】
1、結(jié)合具體函數(shù),了解函數(shù)奇偶性的含義。會判斷函數(shù)的奇偶性。能利用函數(shù)的奇偶性解決有關(guān)問題。
2、結(jié)合具體函數(shù),了解函數(shù)周期性的含義。會判斷函數(shù)的周期。能利用函數(shù)的周期性解決有關(guān)問題。
【學(xué)習(xí)重點】奇偶性的含義,用函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問題
【學(xué)習(xí)難點】奇偶性的含義,用函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問題
【回顧知識】
奇偶性
定義
圖象特點
偶函數(shù)
如果函數(shù) f(x)的定義域內(nèi) x 都有 ,那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù).
關(guān)于 對稱
奇函數(shù)
2、
如果函數(shù)f(x)的定義域內(nèi) x都有 ,那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)
關(guān)于 對稱
一、函數(shù)的奇偶性
1、定義及圖象特點
2、判斷函數(shù)的奇偶性的步驟
(1) 判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱(若是執(zhí)行(2),若否為非奇非偶)
(2)判斷f(-x)與f(x)間的關(guān)系(相等為偶函數(shù),相反為奇函數(shù)).
3、結(jié)論:
(1)定義域含零的奇函數(shù)有f(0)=0(可用于求參數(shù));若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜,應(yīng)先化簡,再判斷其奇偶性.
(2)奇函數(shù)在對稱的兩個單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在對稱的兩個單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性.
二、函數(shù)的對稱性
如果函數(shù)f(x)滿足f(
3、a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x),則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線 對稱。一般的,若f(a+x)=f(b-x),則函數(shù)f(x)的對稱軸方程是 。
三、函數(shù)的周期性
1、函數(shù)的周期性的定義:設(shè)函數(shù)y=f(x),x∈D,若存在非零常數(shù)T,使得對任意的x∈D都有 ,則函數(shù)f(x)為周期函數(shù),T為y=f(x)的一個周期.
2、幾個結(jié)論
(1) f(x+a)=-f(x) T=
回顧知識
4、
(2) f(x+a)= T=
(3) f(x+a)= T=
二、基礎(chǔ)自測:
1、已知f(x)=ax2+bx是定義在[a-1,2a]上的偶函數(shù),那么a+b的值是 ( B )
A. B. C. D.
2、已知f(x)=是奇函數(shù),則實a的值等于 ( A ) A.1 B.-1 C.0 D.1
3、(2009年陜西卷)定義在R上的偶函數(shù)f(x),對任意x1,x2∈[0,+∞](x1≠x2),有<0,則 ( A )
A.f(3)<f(-2)<f(1) B.f(1)<f(-2)<f
5、(3)
C.f(-2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2)
4、已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,則滿足f(2x-1)<f的x取值范圍是( A )
A. B. C. D.
5、f(x)是R上的奇函數(shù),,當時, f(x)= x,則f(7.5)= -0.5 .
【自主合作探究】
專題引入:
函數(shù)的奇偶性和周期性是函數(shù)最重要的性質(zhì),是高考的熱點,它與函數(shù)的其他性質(zhì)有著密不可分的聯(lián)系,在解決函數(shù)的圖象和性質(zhì)等問題過程中起著舉足輕重的作用.
探究、
例1: 判斷下列函數(shù)的奇偶性:
6、
(4)f(x)=
解析:(1)偶函數(shù)
(2)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
(3)奇函數(shù)
(4)偶函數(shù)
且在閉區(qū)間[0,7]上,只有
(Ⅰ)試判斷函數(shù)的周期性;
(Ⅱ)試求方程在閉區(qū)間[-20,20]上的根的個數(shù),并證明你的結(jié)論.
解:易知,對任意實數(shù)x∈R,恒有f(4-x)=f(x)且f(14-x)=f(x).∴f(4-x)=f(14-x).即f(4-x)=f[10+(4-x)].∴f(x+10)=f(x).即函數(shù)f(x)在R上是以
7、10為周期的周期函數(shù)。
【1】 由f(10+x)=f(x),及f(3)=0可知,f(-3)=f(7)。①若f(-3)=f(3)=0.則f(7)=0.這與題設(shè)“在[1,7]上僅有f(1)=f(3)=0”矛盾。∴f(-3)≠f(3).②若f(-3)+f(3)=0.同樣有f(7)=0.矛盾?!鄁(3)+f(-3)≠0.綜上可知,在R上,函數(shù)f(x)非奇非偶。
【2】 【2】①由f(10+x)=f(x)及題設(shè)“在[0,7]上,僅有f(1)=f(3)=0“可知,f[1+10k]=f[3+10m]=0.(k,m∈Z).由此可得-2008≤1+10k≤2008,且-2008≤3+10m≤2008.===
8、>-200.9≤k≤200.7且-201.1≤m≤200.5===>k=-200,-199,-198,....199,200.計401個。m=-201,-200,-199,....198,199,200.計402個?!酀M足題設(shè)的解共有803個。
例3、函數(shù)f(x)=是定義在(-1,1)上的奇函數(shù), f=.
(1)確定函數(shù)f(x)的解析式;
(2)用定義證明f(x)在(-1,1)上是增函數(shù);
(3)解不等式f(t-1)+f(t)<0.
解析:f(x)=(ax+b)/(x^2+1)是奇函數(shù),f(-x)=-f(x)
(-ax+b)/(x^2+1)=- (ax+b)/(x^
9、2+1),
-ax+b=-ax-b, b=-b,
所以b=0.
又f(1/2)=2/5,所以(a/2)/(1/4+1)=2/5,a=1.
∴f(x)=x/(x^2+1).
(2)設(shè)任意-10
x1(1+x2^2)-x2(1+x1^2)
=x1+x1x2^2-x2-x2x1^2
=x1x2(x2-x1)+(x1-x2)
=(x2-x1)(x1x2-1)
10、
(x2-x1)>0
(x1x2-1)<0
所以:f(x1)-f(x2)<0
f(x1)
11、(0,1)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1)
2、若函數(shù)是奇函數(shù),則= .
3、(2009年江西卷)已知函數(shù)f(x)是(-∞,+∞)上的偶函數(shù),若對于x≥0,都有f(x+2)=f(x),且當x∈[0,2]時,f(x)=log2(x+1),則f(-2008)+f(2009)的值為 ( C )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
4、設(shè)函數(shù)為奇函數(shù),,,則 等于( C )
A.0 B.1 C. D.5
12、
5、已知且,
(1)求f(x)
(2)判f(x)的奇偶性
解析:令log(a)x=t,則x=a^t
-f(t)=a/(a^2-1)*[a^t-^(-t)]
就是f(x)=a[a^x-a^(-x)]/(a^2-1)
當a>1時a^x是增函數(shù),
a^(-x)遞減,
因此-a^(-x)遞增,
二增函數(shù)在其公共定義域上的和是增函數(shù),
a/(a^2-1)>0,
f(x)都是增函數(shù)。
【拓展﹒延伸】
1、函數(shù)的圖象關(guān)于 ( D )
A.軸成軸對稱圖形B.軸成軸對稱圖形
C.直線軸成軸對稱圖形D.原點成中心對稱
2、奇函數(shù)的定義域為,若當時, 的圖象如下圖,則不等式的解是.
3、設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),它的圖象關(guān)于直線對稱,已知時,函數(shù)f(x)=,則時,f(x)=-x2-8x-15
4、(2008年湖北卷)已知f(x)在R上是奇函數(shù),且滿足f(x+4)=f(x),當x∈(0,2)時,f(x)=2x2,則f(7)等于____-2____.
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