北京市101中學2012屆高三上學期統(tǒng)考二 數(shù)學試卷（文科）

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1、 北京市101中學2012屆上學期高三年級統(tǒng)考二數(shù)學試卷（文科） 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1. 設集合，則集合A的真子集的個數(shù)是 A. 3個 B. 6個 C. 7個 D. 8個 2. 已知向量，向量，且，則實數(shù)等于 A. －4 B. 4 C. 0 D. 9 3. 下列函數(shù)中，在上為減函數(shù)的是 A. B. C. D. 4. 已知，，則p是q成立的 A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件

2、 D. 既不充分也不必要條件 5. 設函數(shù)若是奇函數(shù)，則的值是 A. B. －4 C. D. 4 6. 函數(shù)的圖象的大致形狀是 7. 已知數(shù)列的通項公式，設其前項和為，則使成立的自然數(shù)有 A. 最大值15 B. 最小值15 C. 最大值16 D. 最小值16 8. 定義運算：，將函數(shù)（）的圖象向左平移個單位，所得圖象對應的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值是 A. B. 1 C. D. 2 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。把答案填在題中橫線上。 9. 函數(shù)的定義域為______

3、_______。 10. 在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若 1 / 7 ，則A＝_____________。 11. 函數(shù)的值域是_____________。 12. 已知數(shù)列的前項和，其中，…，那么_____________；通項公式_____________。 13. 當實數(shù)滿足約束條件（其中為小于零的常數(shù)）時，的最小值為2，則實數(shù)的值是_____________。 14. 下列命題中：①若函數(shù)的定義域為R，則一定是偶函數(shù)； ②若是定義域為R的奇函數(shù)，對于任意的都有，則函數(shù)的圖象關于直線對稱； ③已知是函數(shù)定義域內的兩個值，且

4、，若，則是減函數(shù)； ④若是定義在R上的奇函數(shù)，且也為奇函數(shù)，則是以4為周期的周期函數(shù)。 其中正確的命題序號是_____________。 三、解答題：本大題共6小題，共80分 15. （本小題滿分13分） 已知集合，集合 （I）若，求； （II）若AB，求實數(shù)的取值范圍。 16. （本小題滿分13分） 已知函數(shù)。 （I）求的值和函數(shù)的最小正周期； （II）求的單調遞減區(qū)間及最大值，并指出相應的的取值集合。 17. （本小題滿分13分） 如圖，要設計一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個矩形欄目（即圖中陰影部分），這兩欄的面積之和為四周

5、空白的寬度為，兩欄之間的中縫空白寬度為，怎樣確定廣告的高與寬的尺寸（單位：cm），能使矩形廣告面積最小？ 18. （本小題滿分13分） 已知等差數(shù)列的前項和為，已知。 （I）求通項； （II）記數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，求證：。 19. （本小題滿分14分） 設函數(shù)。 （I）求函數(shù)的單調區(qū)間、極大值和極小值。 （II）若時，恒有，求實數(shù)的取值范圍。 20. （本小題滿分14分） 已知數(shù)列中，，，2，3，… （I）求證數(shù)列是等差數(shù)列； （II）試比較的大小； （III）求正整數(shù)，使得對于任意的正整數(shù)恒成立。

6、 【試題答案】 一、選擇題：CDBAADDB 二、填空題： 9. 10. 30或 11. 12. 9； 13. －3 14. 1.2.4 三、解答題：本大題共6小題，共80分。 15. （Ⅰ）當時，，解得。 則。（2分） 由得 則（4分） 所以（5分） （Ⅱ）由，（6分） 當時，，適合AB。（8分） 當時，得，若AB，（10分） 當時，得，若AB，（12分） 所以實數(shù)的取值范圍是。（13分） 16. 解：（I），（4分） ∴。（6分） 函數(shù)的最小正周期。（7分） （II）由（I）知，函數(shù)的

7、最大值為2。（8分） 相應的的集合為（10分） ∵，（11分） ∴的單調遞減區(qū)間為，。（13分） 17. 解法1：設矩形欄目的高為，寬為，則① 廣告的高為，寬為，其中。（3分） 廣告的面積（5分） （6分） 。（9分） 當且僅當時等號成立。（10分） 此時，代入①式得，從而。（12分） 即當，時，S取得最小值24500。 故廣告的高為，寬為170cm時，可使廣告的面積最小。（13分） 解法2：設廣告的高和寬分別為，則每欄的高和寬分別為，，其中。 兩欄面積之和為，由此得， 廣告的面積， 整理得。 因為，所以。 當且僅當時等號成立。 此時有，

8、解得，代入得。 即當時，S取得最小值24500， 故當廣告的高為，寬為時，可使廣告的面積最小。 18. 解：（1） ，（2分） 解得，，（4分） ；（6分） （2），，（8分） 。 ，（10分） （13分） 19. 解：（Ⅰ），（1分） 令，得或。（2分） 則當變化時，與的變化情況如下表： （） （，） ＋ 0 － 0 ＋ 遞增 遞減 遞增 可知：當時，函數(shù)為增函數(shù)， 當時，函數(shù)也為增函數(shù)。（5分） 當時，函數(shù)為減函數(shù)。（6分） 當時，的極大值為；（7分） 當時

9、，的極小值為。（8分） （II）因為的對稱軸為， 且其圖象的開口向上，所以在區(qū)間上是增函數(shù)。（10分） 則在區(qū)間上恒有等價于的最小值大于成立。 所以。（12分） 解得，又，則的取值范圍是。（13分） 20. 解：（1）∵，∴， 又， 即數(shù)列是以0為首項，1為公差的等差數(shù)列。（3分） 且 （Ⅱ）（4分） ∴（5分） ∴ ， ∴（8分） （Ⅲ）∵，∴ 又 （9分） ①當時，， ②當時，∵ ∴ 又，∴ 由①②得， 即對于任意的正整數(shù)恒成立，故所求的正整數(shù)。（14分） 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！