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1、
蘇錫常鎮(zhèn)四市高三數(shù)學試卷 第頁(共6頁)蘇錫常鎮(zhèn)四市2011屆高三調研測試(二)
數(shù) 學
(滿分160分，考試時間120分鐘)2011.05
一、 填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．
1. 若復數(shù)z的共軛復數(shù)為－3＋i，則|z|＝________.
2. 已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,2,3,4}，B＝{1,3,5}，則?U(A∩B)＝________.
3. 函數(shù)f(x)＝2x＋log2x(x∈[1,2])的值域為________．
4. “x＞1”是“x2＞x”的_____
2、___條件(填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分又不必要”)．
5. 在區(qū)間[－1,1]上隨機地取一個實數(shù)x，則使得cos的值介于0到的概率為________．
6. 若拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點與雙曲線－＝1的右焦點重合，則p的值為________．
7. 已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a1＋a2＋a3＝6，a7＋a8＋a9＝24，則a4＋a5＋a6＝________.
8. 閱讀如圖所示的算法流程圖，若輸入的n是100，則輸出的變量S的值是________．
(第8題)
9. 已知方程x＝x的解x0∈，則正整數(shù)n＝________.
10. 如
3、果圓(x－2a)2＋(y－a－3)2＝4上總存在兩個點到原點的距離為1，則實數(shù)a的取值范圍是________．
11. 若函數(shù)f(x)＝(x＋a)3x－2＋a2－(x－a)38－x－3a為偶函數(shù)，則所有實數(shù)a的取值構成的集合為________．
12. 平面內兩個非零向量α、β，滿足|β|＝1，且α與β－α的夾角為135，則|α|的取值范圍是________．
13. 在△ABC中，AB＝1，AC＝2，O為△ABC外接圓的圓心，則＝________.
14. 已知m、n∈R，且m＋2n＝2，則m2m＋n22n＋1的最小值為________．
二、 解答題：本大題共6小題，共90分．
4、請在答題卡指定區(qū)域內作解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. (本小題滿分14分)
在△ABC中，AC＝5，AD為∠BAC的角平分線，D在BC上，且DC＝4，cos∠DAC＝.
(1)求AD長；
(2)求cosB的值．
16. (本小題滿分14分)
如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3a，BC＝2a，D是BC的中點，E為AB的中點，F(xiàn)是C1C上一點，且CF＝2a.
(1)求證：C1E∥平面ADF；
(2)試在BB1上找一點G，使得CG⊥平面ADF；
(3)求三棱錐D—AB1F的體積．
5、 17. (本小題滿分14分)
一條船在如圖所示的Y型河流中行駛，從A逆流行駛到B，再從B順流行駛到C，AB間航程和BC間航程相等，水流的速度為3 km/h，已知該船每小時的耗油量與船在靜水中的速度(單位：km/h)的平方成正比．
(1)當船在AB段、BC段靜水中的速度分別是多少時，整個航行的總耗油量最?。?
(2)如果在整個航行過程中，船在靜水中的速度保持不變，當船在靜水的速度是多少時，整個航行的總耗油量最小？
18. (本小題滿分16分)
如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓的中心在原點O，右焦點F在x軸上，橢圓與y軸交于A、B兩點，其右準線l與x
6、軸交于T點，直線BF交橢圓于C點，P為橢圓上弧AC上的一點．
(1)求證：A、C、T三點共線；
(2)如果＝3，四邊形APCB的面積最大值為，求此時橢圓的方程和P點坐標．
19. (本小題滿分16分)
已知函數(shù)f(x)＝＋a|x|，a為實數(shù)．
(1)當a＝1，x∈[－1,1]時，求函數(shù)f(x)的值域；
(2)設m、n是兩個實數(shù)，滿足m＜n，若函數(shù)f(x)的單調減區(qū)間為(m，n)，且n－m≤，求a的取值范圍．
20. (本小題滿分16分)
已知數(shù)列{an}滿足a1＝a(a＞2)，an＋1＝，n∈N*.
(1)求證：an＋1＜an；
7、
(2)若a＝，且數(shù)列{bn}滿足an＝bn＋，bn＞1，求證：數(shù)列{lgbn}是等比數(shù)列；并求數(shù)列{an}的通項公式；
(3)若a＝2 011，求證：當n≥12時，2＜an＜2＋恒成立．(參考數(shù)據(jù)210＝1 024)
蘇錫常鎮(zhèn)四市高三數(shù)學試卷附加題 第頁(共2頁)蘇錫常鎮(zhèn)四市2011屆高三調研測試(二)
數(shù)學附加題
(滿分40分，考試時間30分鐘)
21. 【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共20分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A. 選修41：幾何證明選講
如圖，圓O的直徑AB＝4，C為圓周上一點，BC＝2，過C作圓O的切線l，過
8、A作l的垂線AD，AD分別與直線l、圓O交于點D、E，求∠DAC的度數(shù)與線段AE的長．
B. 選修42：矩陣變換
求圓C：x2＋y2＝4在矩陣A＝的變換作用下的曲線方程．
C. 選修44：坐標系與參數(shù)方程
若兩條曲線的極坐標方程分別為ρ＝1與ρ＝2sinθ，它們相交于A、B兩點，求線段AB的長．
D. 選修45：不等式選講
已知a、b、c為正數(shù)，且滿足acos2θ＋bsin2θ＜c.
求證：cos2θ＋sin2θ＜.
22. 【必做題】第22題、第23題，每小題10分，共20分．解答時應寫出文
9、字說明、證明過程或演算步驟．
隨機地將編號為1,2,3的三個小球放入編號為1,2,3的三個盒子中，每個盒子放入一個小球，當球的編號與盒子的編號相同時叫做“放對球”，否則叫做“放錯球”，設放對球的個數(shù)為ξ.
(1)求ξ的分布列；
(2)求ξ的期望值．
23. 當n≥1，n∈N*時，
(1)求證：C＋2Cx＋3Cx2＋…＋(n－1)Cxn－2＝n(1＋x)n－1；
(2)求和：12C＋22C＋32C＋…＋(n－1)2C＋n2C.
蘇錫常鎮(zhèn)四市高三數(shù)學參考答案 第頁(共4頁)蘇錫常鎮(zhèn)四市2011屆高三調研測試(二)
數(shù)學參考答案及評分標準1. 2. {
10、2,4,5,6} 3. [2,5] 4. 充分不必要 5. 6. 4 7. 15 8. 5 049 9. 2 10. 11. {－5,2} 12. (0，) 13. 14. 4
15. 解：(1)設AD＝x，則32＝x2＋25－2x5，(3分)
即x2－6x－7＝0.(4分)
解得：x＝7或x＝－1.
則AD＝7.(6分)
(2)在△ADC中，由cos∠DAC＝，
得sin∠DAC＝sin∠DAB＝.(8分)
＝，sin∠ADC＝，(10分)
∵ AD＞AC，∴ ∠ADC為銳角，∠ADC＝，∠ADB＝.(11分)
∴ cosB＝cos＝cos(12分)
＝＋＝.(
11、14分)
16. (1)證明：∵ AB＝AC，D為BC中點，又E為AB的中點，連結CE交AD于O，連結FO，易知＝＝，
故FO∥C1E.(2分)
又FO?平面AFD，C1E?平面AFD，(4分)
故C1E∥平面AFD.(5分)
(2)解：在平面C1CBB1內，過C作CG⊥DF，交B1B于G，
在Rt△FCD和Rt△CBG中，
FC＝CB，∠CFD＝∠BCG，
故Rt△FCD≌Rt△CBG.(6分)
而AD⊥BC，CC1⊥AD且CC1∩CB＝C，
故AD⊥平面C1CBB1.(8分)
而CG?平面C1CBB1，故AD⊥CG.
又CG⊥DF，AD∩FD＝D，
故CG⊥平
12、面ADF.此時BG＝CD＝a.(10分)
(3)解：∵ AD⊥平面BCC1B1，
∴ VD—AB1F＝VA－B1DF＝S△B1DFAD(12分)
＝B1FFDAD＝.(14分)
17. 解：設AB＝BC＝l km，船在AB段、BC段靜水中的速度分別為v1 km/h、v2 km/h，所用時間分別為t1 h、t2 h，比例系數(shù)為k，耗油量分別為S1、S2，總耗油量為S，其中k、l為常數(shù)，v1＞3，v2≥0.
(1)t1＝，t2＝，則
S1＝kvt1＝kv＝kl，(1分)
S2＝kvt2＝kv＝kl，(2分)
顯然S2≥0，當v2＝0時，(S2)min＝0；(3分)
S1＝kl＝k
13、l＝kl(4分)
≥kl[2＋6]＝12kl.(5分)
當且僅當v1－3＝，v1＝6時，(S1)min＝12kl.此時S最小．(6分)
答：AB段的靜水船速為6 km/h，BC段的靜水船速為0 km/h時，總耗油量最小．(7分)
(2)如果船的靜水速度保持不變，設v1＝v2＝v＞3，
S(v)＝S1＋S2＝kv2t1＋kv2t2＝kv2＋kv2＝2kl，(10分)
∴ S′(v)＝2kl＝2klv2.(12分)
當3＜v＜3時，S′(v)＜0；當v＞3時，S′(v)＞0.
當v＝3時，S(v)取得最小值．(13分)
答：船靜水速度為3 km/h時，總耗油量最?。?14分)
14、18. (1)證明：設橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)①，則A(0，b)，B(0，－b)，T.(1分)
AT：＋＝1，② BF：＋＝1，③(3分)
解得：交點C，代入①得(4分)
＋＝＝1，(5分)
滿足①式，則C點在橢圓上，A、C、T三點共線．(6分)
(2)解：過C作CE⊥x軸，垂足為E，△OBF∽△ECF.
∵?。?，CE＝b，EF＝c，則C，代入①得(7分)
＋＝1，∴ a2＝2c2，b2＝c2.
設P(x0，y0)，則x0＋2y＝2c2.(8分)
此時C，AC＝c，S△ABC＝2c＝c2，(9分)
直線AC的方程為x＋2y－2c＝0，
P到直線AC的距離為d＝＝，
15、
S△APC＝dAC＝c＝c.(10分)
只需求x0＋2y0的最大值，
[方法1]∵ (x0＋2y0)2＝x＋4y＋22x0y0≤x＋4y＋2(x＋y)(11分)
＝3(x＋2y)＝6c2，
∴ x0＋2y0≤c.(12分)
當且僅當x0＝y(tǒng)0＝c時，(x0＋2y0)max＝c.(13分)
[方法2]令x0＋2y0＝t，代入x2＋2y＝2c2得
(t－2y0)2＋2y－2c2＝0，
即6y－4ty0＋t2－2c2＝0.(11分)
Δ＝(－4t)2－24(t2－2c2)≥0，
得t≤c.(12分)
當t＝c，代入原方程解得：x0＝y(tǒng)0＝c.(13分)
∴ 四邊形的面積最
16、大值為c2＋c2＝c2＝，(14分)
∴ c2＝1，a2＝2，b2＝1，(15分)
此時橢圓方程為＋y2＝1.P點坐標為.(16分)
19. 解：設y＝f(x)，
(1)a＝1時，f(x)＝＋|x|，(1分)
當x∈(0,1]時，f(x)＝＋x為增函數(shù)，y的取值范圍為(1,1＋]．(2分)
當x∈[－1,0]時，f(x)＝－x，令t＝，0≤t≤1，(3分)
則x＝t2－1，y＝－2＋，0≤t≤1，(5分)
y的取值范圍為.
∵ ＜1＋，(7分)
∴ x∈[1,1]時，函數(shù)f(x)的值域為[1,1＋]．(8分)
(2)令t＝，則x＝t2－a，t≥0，y＝g(t)＝t＋a|t
17、2－a|.(9分)
①a＝0時，f(x)＝無單調減區(qū)間；(10分)
②a＜0時，y＝g(t)＝at2＋t－a2，
t在上g(t)是減函數(shù)，則x在上f(x)是減函數(shù)．
∴ a＜0不成立．(11分)
③a＞0時，y＝g(t)＝(12分)
僅當＜時，即a＞2－時，
在t∈時，g(t)是減函數(shù)，即x∈時，f(x)是減函數(shù)．(13分)
∴ n－m＝a－≤，即(a－2)(16a2＋a＋2)≤0.∴ a≤2.(15分)
故a的取值范圍是(2－，2]．(16分)
20. 證明：(1)an＋1－an＝－＝(n≥2)．(1分)
上式表明，an＋1－an與an－an－1同號，(2分)
∴ a
18、n＋1－an，an－an－1，an－1－aa－2，…，a2－a1同號，(3分)
∵ a2－a－2＝(a－2)(a＋1)＞0，∴ a2＞a＋2，
∴ a2＝＜a，a2－a1＜0.(4分)
∴ an＋1－an＜0，an＋1＜an.(5分)
(2)an＋1＝bn＋1＋＝＝，(6分)
b＋＝bn＋，b－b＋1＝0，注意到bn＞1，(7分)
[方法1]∴ b＝＝＝＝bn；
或b＝＝＝＝＜1(舍去)．(8分)
[方法2]b－bn＋－＝0，則b－bn＋＝0.(7分)
∴ (b－bn)＝0.∵ bn＞1，∴ b＝bn.(8分)
[方法3]f(x)＝x＋(x＞1)，f′(x)＝1－＞0.(7
19、分)
∴ f(x)在x＞1時為增函數(shù)，而f(b)＝f(bn)．
∴ b＝bn.(8分)
∴ 2lgbn＋1＝lgbn，∴ ＝，
∴ 數(shù)列{lgbn}是等比數(shù)列．(9分)
當a1＝b1＋＝，b1＝，lgb1＝lg，
lgbn＝n－1lg＝nlg2.
bn＝2n，(10分)
an＝bn＋＝2n＋2－n.(11分)
(3)∵ 當n≥2時，an－2＝－2＝.
上式表明：an－2與an－1－2同號對一切n≥2成立，
∴ an－2，an－1－2，an－2－2，…，a2－2，a1－2同號．
而a1－2＞0，
∴ an－2＞0，∴ an＞2.(12分)
∴ n≥2時，an－2＝＜＝
20、，
∴?。?(13分)
則…＜n－1.
∴ an－2＜(a1－2)n－1.(14分)
當a1＝2 011，n＝12時，a12－2＜＜＝＜，(15分)
∴ a12＜2＋，又an＞2，且an＞an＋1.
∴ 當n≥12時，2＜an＜2＋恒成立．(16分)
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數(shù)學附加題參考答案及評分標準21A：解：如圖，在Rt△ABC中，AB＝2BC，因此∠ABC＝60，(2分)
由于l為過C的切線，∠DCA＝∠CBA，(4分)
所以∠DCA＝60.(5分)
又AD⊥DC，得∠DAC＝30.(6分)
21、那么在△AOE中，從而∠EAO＝∠DAC＋∠CAB＝60，OE＝OA，(8分)
于是AE＝AO＝AB＝2.(10分)
B：解：設P(x，y)是圓C：x2＋y2＝4上的任一點，設P′(x′，y′)是P(x，y)在矩陣A＝對應變換作用下新曲線上的對應點，
則＝＝，(3分)
即所以(6分)
將代入x2＋y2＝4，得＋y′2＝4，(8分)
故曲線方程為＋＝1.(10分)
C：解：[方法1]由ρ＝1，得x2＋y2＝1.(2分)
又ρ＝2sinθ，∴ ρ2＝2ρsinθ，∴ x2＋y2－2y＝0.(4分)
由得A，B，(8分)
則AB＝.(10分)
[方法2]由ρ＝1，ρ＝2sinθ
22、得2sinθ＝1，(3分)
θ＝或θ＝π.(5分)
∴ A，B的極坐標為A，B.(7分)
在△AOB中，OA＝OB＝1，∠AOB＝π，(8分)
∴ AB＝.(10分)
D：證明：由柯西不等式可得cos2θ＋sin2θ
≤[(cosθ)2＋(sinθ)2](cos2θ＋sin2θ)(6分)
＝(acos2θ＋bsin2θ)＜.(10分)
22：解：(1)ξ的分布列如下所示：(5分)
ξ
0
1
2
3
P
0
(2)Eξ＝0＋1＋20＋3＝1.(10分)
23：(1)證明：設f(x)＝(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn－1＋Cxn，①(2分)
①式兩邊求導得
n(1＋x)n－1＝C＋2Cx＋3Cx2＋…＋(n－1)Cxn－2＋nCxn－1.②(4分)
(2)解：②兩邊同乘x得
nx(1＋x)n－1＝Cx＋2Cx2＋3Cx3＋…＋(n－1)Cxn－1＋nCxn.③(6分)
③式兩邊求導得：n(1＋x)n－1＋n(n－1)x(1＋x)n－2
＝C＋22Cx＋32Cx2＋…＋(n－1)2Cxn－2＋n2Cxn－1.④(8分)
在④中令x＝1，則12C＋22C＋32C＋…＋(n－1)2C＋n2C＝n2n－1＋n(n－1)2n－2＝2n－2(2n＋n2－n)＝2n－2n(n＋1)．(10分)
蘇錫常鎮(zhèn)數(shù)學
