江蘇省高郵市陽光雙語初中2020學(xué)下期七年級數(shù)學(xué)期中復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案有解析答案

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1、七年級下數(shù)學(xué)期中復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案 學(xué)習(xí)目標(biāo)：復(fù)習(xí)鞏固數(shù)學(xué)前三章重要知識點題型 一、專題精講 專題一 計算 例1 化簡計算 1、 2、 3、 4、 例2 因式分解 1、 2、 3、 4、 專題二 計算的應(yīng)用 例1 化簡求值：(3x＋2)(3x－2)－5x(3x－2)＋(2－3x)2，其中x＝－． 鞏固 已知：(x＋a)(x－)的結(jié)果中不含關(guān)于字母的一次項，求的值

2、例2、我們學(xué)習(xí)了因式分解之后可以解某些高次方程，例如，一元二次方程x2＋x－2＝0可以通過因式分解化為：（x－1）(x＋2)＝0，則方程的兩個解為x＝1和x＝－2．反之，如果x＝1是某方程ax2＋bx＋c＝0的一個解，則多項式ax2＋bx＋c必有一個因式是 (x－1)，在理解上文的基礎(chǔ)上，試找出多項式x3＋x2－3x＋1的一個因式，并將這個多項式因式分解． 專題三 平行 例1 如圖，在△ABC中，CD⊥AB，垂足為D，點E在BC上，EF⊥AB，垂足為F． 鞏固 小玲觀察下圖得出“如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等”這個結(jié)論，你是否認(rèn)同小玲的觀點？如果認(rèn)同，

3、則給出證明；如果不認(rèn)同，則畫出所有可能的情況，猜想相應(yīng)的結(jié)論，并給出證明． 例2、在下列解題過程的空白處填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容（推理的理由或數(shù)學(xué)表達(dá)式） 如圖，已知AB∥CD，BE、CF分別平分∠ABC和∠DCB，求證：BE∥CF． 證明： ∵AB∥CD，（已知） ∴∠_______＝∠_______．(_________________________) ∵_(dá)_________________________________________，（已知） ∴∠EBC＝∠ABC，（角的平分線定義）

4、 同理，∠FCB＝______________． ∴∠EBC＝∠FCB．（等式性質(zhì)） ∴BE//CF．( ____________________________) 專題三 平行中求面積 例1 （1）如圖1，已知△ABC，過點A畫一條平分三角形面積的直線； （2）如圖2，已知l1∥l2，點E，F(xiàn)在l1上，點G，H在l2上，試說明△EGO與△FHO的面積相等； （3）如圖3，點M在△ABC的邊上， 過點M畫一條平分三角形面積的直線． 鞏固、 探索：在圖1至圖3中，已知△ABC的面積為a， （1）如圖1，延長△ABC的邊BC到點D，使CD=BC，連接DA．若△ACD的面積

5、為S1，則S1= （用含a的代數(shù)式表示） （2）如圖2，延長△ABC的邊BC到點D，延長邊CA到點E，使CD=BC，AE=CA，連接DE．若△DEC的面積為S2，則S2= （用含a的代數(shù)式表示） （3）在圖2的基礎(chǔ)上延長AB到點F，使BF=AB，連接FD，F(xiàn)E，得到△DEF（如圖3）．若陰影部分的面積為S3，則S3= （用含a的代數(shù)式表示） 并運用上述（2）的結(jié)論寫出理由．發(fā)現(xiàn)：像上面那樣，將△ABC各邊均順次延長一倍，連接所得端點，得到△DEF（如圖3），此時，我們稱△ABC向外擴展了一次．可以發(fā)現(xiàn)，擴展一次后得到的△DEF的面積是原來△ABC面積的

6、． 應(yīng)用：要在一塊足夠大的空地上栽種花卉，工程人員進(jìn)行了如下的圖案設(shè)計：首先在△ABC的空地上種紅花，然后將△ABC向外擴展三次（圖4已給出了前兩次擴展的圖案）．在第一次擴展區(qū)域內(nèi)種謊話，第二次擴展區(qū)域內(nèi)種紫花，第三次擴展區(qū)域內(nèi)種藍(lán)花．如果種紅花的區(qū)域（即△ABC）的面積是10平方米，請你運用上述結(jié)論求出： ①種紫花的區(qū)域的面積； ②種藍(lán)花的區(qū)域的面積． 專題四 操作題 例 如圖，每個小正方形邊長為1，△ABC的頂點都在方格紙的格點上，將△ABC向下平移3格，再向右平移4格. （1）請在圖中畫出平移后的△A′B′C′ （2）在圖中畫出△A′B′C′的高C′D′

7、 鞏固 如下圖，在每個小正方形邊長為1的方格紙中，△ABC的頂點都在方格紙格點上．將△ABC向左平移2格，再向上平移4格． （1）請在圖中畫出平移后的△A′B′C′， （2）再在圖中畫出△A′B′C′的高C′D′，并求出△ABC的面積。 在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1個單位長度，△ABC的三個頂點的位置如圖所示，現(xiàn)將△ABC平移，使點A變換為點A′，點B′、C′分別是B、C的對應(yīng)點． ⑴請畫出平移后的△A′B′C′．并求△A′B′C′的面積． A B C A′ 專題五 三角形內(nèi)角和

8、 例1 問題1 現(xiàn)有一張△ABC紙片，點D、E分別是△ABC邊上兩點，若沿直線DE折疊． 研究（1）：如果折成圖①的形狀，使A點落在CE上，則∠1與∠A的數(shù)量關(guān)系 是 研究（2）：如果折成圖②的形狀，猜想∠1+∠2和∠A的數(shù)量關(guān)系是 研究（3）：如果折成圖③的形狀，猜想∠1、∠2′和∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由． 問題2 研究（4）：將問題1推廣，如圖④，將四邊形ABCD紙片沿EF折疊，使點A、B落在四邊形EFCD的內(nèi)部時，∠1+∠2與∠A、∠B之間的數(shù)量關(guān)系是 .

9、 圖① 圖② 圖③ 圖④ 例2 如圖①，在ΔABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，∠A＝40，求∠BOC的度數(shù)； （2）如圖②，ΔAˊBˊCˊ的外角平分線相交于點Oˊ，∠Aˊ＝40, 求∠BˊOˊCˊ的度數(shù)； （3）上面（1）、（2）兩題中的∠BOC與∠BˊOˊCˊ有怎樣的數(shù)量關(guān)系？若∠A＝∠Aˊ＝n，∠BOC

10、與∠BˊOˊCˊ是否還具有這樣的關(guān)系？這個結(jié)論你是怎樣得到的？ 鞏固 如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于P點． ⑴若∠ABC=40，∠ACB=80，求∠P的度數(shù)； ⑵若∠A=60，求∠P的度數(shù)； ⑶那么∠A和∠P有什么樣的數(shù)量關(guān)系? 請簡述理由． 專題六 簡單的閱讀 例1、觀察下列等式，并回答有關(guān)問題： ； ； ； … （1）若n為正整數(shù)，猜想 ； （2）利用上題的結(jié)論比較與的大小.

11、 例2、次數(shù)學(xué)興趣小組活動中，同學(xué)們做了一個找朋友的游戲：有六個同學(xué)A、B、C、D、E、F分別藏在六張大紙牌的后面，如圖所示，A、B、C、D、E、F所持的紙牌的前面分別寫有六個算式：。游戲規(guī)定：所持算式的值相等的兩個人是朋友。如果現(xiàn)在由同學(xué)A來找他的朋友，他可以找誰呢？說說你的看法。 專題七 從面積到乘法公式的應(yīng)用 例 我們運用圖（I）圖中大正方形的面積可表示為，也可表示為 ，即由此推導(dǎo)出一個重要的結(jié)論，這個重要的結(jié)論就是著名的“勾股定理”．這種根據(jù)圖形可以極簡單地直觀推論或驗證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡稱“無字證明”． （1）請你用圖（II）（2002年國際數(shù)字家

12、大會會標(biāo)）的面積表達(dá)式驗證勾股定理（其中四個直角三角形的較大的直角邊長都為a, 較小的直角邊長都為b,斜邊長都為c）． （2）請你用（III）提供的圖形進(jìn)行組合，用組合圖形的面積表達(dá)式驗證： （3）請你自己設(shè)計圖形的組合，用其面積表達(dá)式驗證： （a+b）(a+2b)=a2+3ab+2b2． 鞏固 探索平方差公式時設(shè)置了如下情境：邊長為b的小正方形紙片放置在邊長為a的大正方形紙片上（如圖9－6），你能通過計算未蓋住部分的面積得到公式(a＋b) (a－b)＝a2－b2嗎？（不必證明） (1)如果將小正方形的一邊延長（如圖①），是否也能推導(dǎo)公式？請完成證明．

13、 (2)面積法除了可以幫助我們記憶公式，還可以直觀地推導(dǎo)或驗證公式，俗稱“無字證明”，例如，著名的趙爽弦圖（如圖②，其中四個直角三角形較大的直角邊長都為a，較小的直角邊長都為b，斜邊長都為c），大正方形的面積可以表示為c2，也可以表示為4ab＋(a－b)2，由此推導(dǎo)出重要的勾股定理：a2＋b2＝c2．圖③為美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請你完成證明． (3)試構(gòu)造一個圖形，使它的面積能夠解釋(a－2b)2＝a2－4ab＋4b2，畫在下面的網(wǎng)格中，并標(biāo)出字母a、b所表示的線段． 二、 鞏固練習(xí) 1、計算 （1）（）－2－230.125

14、 ＋20120 +|－1| （2）(－a2b3c4 )(－xa2b)2 （3）(－m)2(m2)2 m 3 （4）－2a2(12ab+b2 )－5ab (a2－ab ) 2、因式分解 （1） x3＋2x2y＋xy2 （2）m2(m－1)＋4(1－m) 3、如圖，AB∥DC，∠ABC=∠ADC，問：AE與FC平行嗎？請說明理由. 4、在△ABC中，AD是高，AE是角平分線.，∠B=20，∠C=60，求∠CAD和∠DAE的 度數(shù)。

15、 5、如圖，直線AC∥BD，連結(jié)AB，直線AC、BD及線段AB把平面分成①、②、③、④四個部分，規(guī)定：線上各點不屬于任何部分．當(dāng)動點P落在某個部分時，連結(jié)PA、PB，構(gòu)成∠PAC、∠APB、∠PBD三個角． (提示：　有公共端點的兩條重合的射線所組成的角是0) (1)當(dāng)動點P落在第①部分時，有∠APB＝∠PAC＋∠PBD，請說明理由； (2)當(dāng)動點P落在第②部分時，∠APB＝∠PAC＋∠PBD是否成立？若不成立，試寫出∠PAC、∠APB、∠PBD三個角的等量關(guān)系（無需說明理由）； (3)當(dāng)動點P在第③部分時，探究∠PAC、∠APB、∠PBD之間的關(guān)系，寫出你發(fā)現(xiàn)的一個結(jié)論并加以說明

16、． 6、探究與發(fā)現(xiàn)： 探究一：我們知道，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．那么，三角形的一個內(nèi)角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在何種數(shù)量關(guān)系呢？ 已知：如圖，∠FDC與∠ECD分別為△ADC的兩個外角， 試探究∠A與∠FDC＋∠ECD的數(shù)量關(guān)系． 探究二：三角形的一個內(nèi)角與另兩個內(nèi)角的平分線所夾的鈍角之間有何種關(guān)系？ 已知：如圖，在△ADC中，DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD， 試探究∠P與∠A的數(shù)量關(guān)系． 探究三：若將△ADC改為任意四邊形ABCD呢？ 已知：如圖，在四邊形ABCD中，DP、CP分別平分∠ADC

17、和∠BCD，試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論探究∠P與∠A＋∠B的數(shù)量關(guān)系． 探究四：若將上題中的四邊形ABCD改為六邊形ABCDEF呢？ 請直接寫出∠P與∠A＋∠B＋∠E＋∠F的數(shù)量關(guān)系： 　　__________________________________________． 答案解析： 一、專題精講 專題一 計算 例1 化簡計算 1、 2、 3、 4、 答案： 1、解：原式= =

18、 = 2、解：原式= = 3、解：原式= = = 4、解：原式= = = 例2 因式分解 1、 2、 3、

19、 4、 答案： 1、解：原式= = 2、解：原式= = 3、解：原式= = 4、解：原式= = = 專題二 計算的應(yīng)用 例1 化簡求值：(3x＋2)(3x－2)－5x(3x－2)＋(2－3x)2，其中x＝－． 鞏固 已知：(x＋a)(x－)的結(jié)

20、果中不含關(guān)于字母的一次項，求的值 例2、我們學(xué)習(xí)了因式分解之后可以解某些高次方程，例如，一元二次方程x2＋x－2＝0可以通過因式分解化為：（x－1）(x＋2)＝0，則方程的兩個解為x＝1和x＝－2．反之，如果x＝1是某方程ax2＋bx＋c＝0的一個解，則多項式ax2＋bx＋c必有一個因式是 (x－1)，在理解上文的基礎(chǔ)上，試找出多項式x3＋x2－3x＋1的一個因式，并將這個多項式因式分解． 專題三 平行 例1 如圖，在△ABC中，CD⊥AB，垂足為D，點E在BC上，EF⊥AB，垂足為F． （1）CD與EF平行嗎？為什么？ （2）如果∠1=∠2，且∠3=115，求∠ACB的度數(shù)

21、． 答案（1）．理由如下： ∵ ，， ∴ ． ∴ ． （2）∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． 鞏固 小玲觀察下圖得出“如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等”這個結(jié)論，你是否認(rèn)同小玲的觀點？如果認(rèn)同，則給出證明；如果不認(rèn)同，則畫出所有可能的情況，猜想相應(yīng)的結(jié)論，并給出證明． 答案： 例2、在下列解題過程的空白處填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容（推理的理由或數(shù)學(xué)表達(dá)式） 如圖，已知AB∥CD，BE、CF分別平分∠ABC和∠DCB，求證：BE∥CF．

22、 證明： ∵AB∥CD，（已知） ∴∠_______＝∠_______．(_________________________) ∵_(dá)_________________________________________，（已知） ∴∠EBC＝∠ABC，（角的平分線定義） 同理，∠FCB＝______________． ∴∠EBC＝∠FCB．（等式性質(zhì)） ∴BE//CF．( ____________________________) 答案： 專題三 平行中求面積 例1 （1）如圖1，已知△ABC，過點A畫一條平分三角形面積的直線； （2）如圖2，已知l1∥l2，點E

23、，F(xiàn)在l1上，點G，H在l2上，試說明△EGO與△FHO的面積相等； （3）如圖3，點M在△ABC的邊上， 過點M畫一條平分三角形面積的直線． 解：(1）取BC的中點D，過A、D畫直線，則直線AD為所求； (2）∵l1∥l2， ∴點E，F(xiàn)到l2之間的距離都相等，設(shè)為h． ∴S△EGH=GH?h，S△FGH=GH?h， ∴S△EGH=S△FGH， ∴S△EGH－S△GOH=S△FGH－S△GOH， ∴△EGO的面積等于△FGO的面積； (3） 取BC的中點D，連接MD，過點A作AN∥MD交BC 于點N，過M、N畫直線，則直線MN

24、為所求． 鞏固、 探索：在圖1至圖3中，已知△ABC的面積為a， （1）如圖1，延長△ABC的邊BC到點D，使CD=BC，連接DA．若△ACD的面積為S1，則S1= （用含a的代數(shù)式表示） （2）如圖2，延長△ABC的邊BC到點D，延長邊CA到點E，使CD=BC，AE=CA，連接DE．若△DEC的面積為S2，則S2= （用含a的代數(shù)式表示） （3）在圖2的基礎(chǔ)上延長AB到點F，使BF=AB，連接FD，F(xiàn)E，得到△DEF（如圖3）．若陰影部分的面積為S3，則S3= （用含a的代數(shù)式表示） 并運用上述（2）的結(jié)論寫出理由．發(fā)現(xiàn)：像上面那樣，將△ABC各邊均順次延長

25、一倍，連接所得端點，得到△DEF（如圖3），此時，我們稱△ABC向外擴展了一次．可以發(fā)現(xiàn)，擴展一次后得到的△DEF的面積是原來△ABC面積的 ． 應(yīng)用：要在一塊足夠大的空地上栽種花卉，工程人員進(jìn)行了如下的圖案設(shè)計：首先在△ABC的空地上種紅花，然后將△ABC向外擴展三次（圖4已給出了前兩次擴展的圖案）．在第一次擴展區(qū)域內(nèi)種謊話，第二次擴展區(qū)域內(nèi)種紫花，第三次擴展區(qū)域內(nèi)種藍(lán)花．如果種紅花的區(qū)域（即△ABC）的面積是10平方米，請你運用上述結(jié)論求出： ①種紫花的區(qū)域的面積； ②種藍(lán)花的區(qū)域的面積． 解：（1）a （2）2a （3）6a； 7倍 ①黃花區(qū)域的面積

26、是610=60平方米 紫花區(qū)域的面積是6（60+10）=420平方米 ②藍(lán)花區(qū)域的面積是6 （420+60+10）=2940平方米 專題四 操作題 例 如圖，每個小正方形邊長為1，△ABC的頂點都在方格紙的格點上，將△ABC向下平移3格，再向右平移4格. （1）請在圖中畫出平移后的△A′B′C′ （2）在圖中畫出△A′B′C′的高C′D′ 答案：如圖所示 鞏固 如下圖，在每個小正方形邊長為1的方格紙中，△ABC的頂點都在方格紙格點上．將△ABC向左平移2格，再向上平移4格． （1）請在圖中畫出平移后的△A′B′C′， （2）再在圖中畫出△A′B′C′的高

27、C′D′，并求出△ABC的面積。 答案：S△ABC = 8 注意：講解格點中求面積 在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1個單位長度，△ABC的三個頂點的位置如圖所示，現(xiàn)將△ABC平移，使點A變換為點A′，點B′、C′分別是B、C的對應(yīng)點． ⑴請畫出平移后的△A′B′C′．并求△A′B′C′的面積． A B C A′ 專題五 三角形內(nèi)角和 例1 問題1 現(xiàn)有一張△ABC紙片，點D、E分別是△ABC邊上兩點，若沿直線DE折疊． 研究（1）：如果折成圖①的形狀，使A點落在CE上，則∠1與∠A的數(shù)量關(guān)

28、系 是 研究（2）：如果折成圖②的形狀，猜想∠1+∠2和∠A的數(shù)量關(guān)系是 研究（3）：如果折成圖③的形狀，猜想∠1、∠2′和∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由． 問題2 研究（4）：將問題1推廣，如圖④，將四邊形ABCD紙片沿EF折疊，使點A、B落在四邊形EFCD的內(nèi)部時，∠1+∠2與∠A、∠B之間的數(shù)量關(guān)系是 . 圖① 圖② 圖③

29、 圖④ 解：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可知∠DA′E=∠A，∠DA′E+∠A=∠BDA′，故∠BDA′=2∠A； （2）由圖形折疊的性質(zhì)可知，∠CEA′=180-2∠DEA′…①，∠BDA′=180-2∠A′DE…②， ①+②得，∠BDA′+∠CEA′=360-2（∠DEA′+∠A′DE 即∠BDA′+∠CEA′=360-2（180-∠A）， 故∠BDA′+∠CEA′=2∠A； （3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A． 證明如下： 連接AA′構(gòu)造等腰三角形， ∠BDA′

30、=2∠DAA，∠CEA=2∠EAA， 得∠BDA-∠CEA=2∠A， （4）如圖④，由圖形折疊的性質(zhì)可知∠1=180-2∠AEF，∠2=180-2∠BFE， 兩式相加得，∠1+∠2=360-2（∠AEF+∠BFE） 即∠1+∠2=360-2（360-∠A-∠B）， 所以，∠1+∠2=2（∠A+∠B）-360． 例2 如圖①，在ΔABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，∠A＝40，求∠BOC的度數(shù)； （2）如圖②，ΔAˊBˊCˊ的外角平分線相交于點Oˊ，∠Aˊ＝40, 求∠BˊOˊCˊ的度數(shù)； （3）上面（1）、（2）兩題中的∠BOC與∠BˊOˊCˊ有怎樣的數(shù)量關(guān)系？若

31、∠A＝∠Aˊ＝n，∠BOC與∠BˊOˊCˊ是否還具有這樣的關(guān)系？這個結(jié)論你是怎樣得到的？ 答案： 1、 ∠ABC+∠ACB=180-40=140 所以∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB=140=70 所以∠BOC=180-70=110 2.∠ABC+∠ACB=180-40=140 外角和內(nèi)角互補 所以兩個外角相加=180+180-140=220 則∠OBC+∠OCB=220=110 3.∠BOC=∠BOC ∠A=∠A=n 則∠BOC=180-(180-n)=90+n ∠BOC=180-[360-(180-n)]=90-n 所以不論n是多

32、少 都有∠BOC與∠BOC互補 鞏固 如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于P點． ⑴若∠ABC=40，∠ACB=80，求∠P的度數(shù)； ⑵若∠A=60，求∠P的度數(shù)； ⑶那么∠A和∠P有什么樣的數(shù)量關(guān)系? 請簡述理由． 答案：30；30；∠P=∠A 專題六 簡單的閱讀 例1、觀察下列等式，并回答有關(guān)問題： ； ； ； … （1）若n為正整數(shù)，猜想 ； （2）利用上題的結(jié)論比較與的大小. 答案：（1）

33、（2） = = => 所以> 例2、次數(shù)學(xué)興趣小組活動中，同學(xué)們做了一個找朋友的游戲：有六個同學(xué)A、B、C、D、E、F分別藏在六張大紙牌的后面，如圖所示，A、B、C、D、E、F所持的紙牌的前面分別寫有六個算式：。游戲規(guī)定：所持算式的值相等的兩個人是朋友。如果現(xiàn)在由同學(xué)A來找他的朋友，他可以找誰呢？說說你的看法。 答案： 鞏固 若一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么這個正整數(shù)為“神秘數(shù)”如4

34、，12，20這三個數(shù)都是神秘數(shù) （1）28和76是神秘數(shù)嗎？為什么？ （2）設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為2k＋2和2k（k為非負(fù)整數(shù)）由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)成的神秘數(shù)是4的倍數(shù)嗎？為什么？（4分） 解：（1）設(shè)28和2012都是“神秘數(shù)”，設(shè)28是x和x-2兩數(shù)的平方差得到， 則x2-（x-2）2=28， 解得：x=8，∴x-2=6， 即28=82-62， 設(shè)2012是y和y-2兩數(shù)的平方差得到， 則y2-（y-2）2=2012， 解得：y=504， y-2=502， 即2012=5042-5022， 所以28，2012都是神秘數(shù)． （2）（2k+2）2-（2k）2=（2k+2-

35、2k）（2k+2+2k）=4（2k+1）， ∴由2k+2和2k構(gòu)造的神秘數(shù)是4的倍數(shù)． （3）設(shè)兩個連續(xù)奇數(shù)為2k+1和2k-1， 則（2k+1）2-（2k-1）2=8k=42k， ∴兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差不是神秘數(shù)． 專題七 從面積到乘法公式的應(yīng)用 例 我們運用圖（I）圖中大正方形的面積可表示為，也可表示為 ，即由此推導(dǎo)出一個重要的結(jié)論，這個重要的結(jié)論就是著名的“勾股定理”．這種根據(jù)圖形可以極簡單地直觀推論或驗證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡稱“無字證明”． （1）請你用圖（II）（2002年國際數(shù)字家大會會標(biāo)）的面積表達(dá)式驗證勾股定理（其中四個直角三角形的較大的直角邊長

36、都為a, 較小的直角邊長都為b,斜邊長都為c）． （2）請你用（III）提供的圖形進(jìn)行組合，用組合圖形的面積表達(dá)式驗證： （3）請你自己設(shè)計圖形的組合，用其面積表達(dá)式驗證： （a+b）(a+2b)=a2+3ab+2b2． 解：（1）（a-b）2=c2-4（ab） ∴a2+b2=c2； （2）如圖： ； （3）如圖： 則（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2。 鞏固 探索平方差公式時設(shè)置了如下情境：邊長為b的小正方形紙片放置在邊長為a的大正方形紙片上（如圖9－6），你能通過計算未蓋住部分的面積得到公式(a＋b) (a－b)＝a2－b2嗎？（不必證明） (

37、1)如果將小正方形的一邊延長（如圖①），是否也能推導(dǎo)公式？請完成證明． (2)面積法除了可以幫助我們記憶公式，還可以直觀地推導(dǎo)或驗證公式，俗稱“無字證明”，例如，著名的趙爽弦圖（如圖②，其中四個直角三角形較大的直角邊長都為a，較小的直角邊長都為b，斜邊長都為c），大正方形的面積可以表示為c2，也可以表示為4ab＋(a－b)2，由此推導(dǎo)出重要的勾股定理：a2＋b2＝c2．圖③為美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請你完成證明． (3)試構(gòu)造一個圖形，使它的面積能夠解釋(a－2b)2＝a2－4ab＋4b2，畫在下面的網(wǎng)格中，并標(biāo)出字母a、b所表示的線段． 答案：

38、 二、鞏固練習(xí) 1、計算 （1）（）－2－230.125 ＋20120 +|－1| （2）(－a2b3c4 )(－xa2b)2 （3）(－m)2(m2)2 m 3 （4）－2a2(12ab+b2 )－5ab (a2－ab ) 答案： =4－1＋1＋1 =5 =－a2b3c4 x2a4b2 =－x2a6b5c4 （1）（）－2－230.125 ＋20120 +|－1| （2）(－a2b3c4 )(－xa2b)2

39、 （3）(－m)2(m2)2 m 3 （4）－2a2（12ab+b2）－5ab（a2－ab） =－24a3b－2a2b2－5a3b＋5 a2b2 =－29a3b＋3a2b2 =m2m4m3 = m3 2、因式分解 （1） x3＋2x2y＋xy2 （2）m2(m－1)＋4(1－m) 答案： (1) x3＋2x2y＋xy2 (2) m2(

40、m－1)＋4(1－m) = (m－1) ( m2－4) = (m－1) ( m＋2) ( m－2) = x(x2＋2xy＋y2) = x(x＋y) 2 3、如圖，AB∥DC，∠ABC=∠ADC，問：AE與FC平行嗎？請說明理由. 答案：平行 4、在△ABC中，AD是高，AE是角平分線.，∠B=20，∠C=60，求∠CAD和∠DAE的 度數(shù)。 答案：∠CAD=30（2分），∠DAE=20 5、如圖，直線AC∥BD，連結(jié)AB，直線AC、BD及線段AB把平面分成①、②、③、④四個部分，規(guī)定：線上各點不屬于

41、任何部分．當(dāng)動點P落在某個部分時，連結(jié)PA、PB，構(gòu)成∠PAC、∠APB、∠PBD三個角． (提示：　有公共端點的兩條重合的射線所組成的角是0) (1)當(dāng)動點P落在第①部分時，有∠APB＝∠PAC＋∠PBD，請說明理由； (2)當(dāng)動點P落在第②部分時，∠APB＝∠PAC＋∠PBD是否成立？若不成立，試寫出∠PAC、∠APB、∠PBD三個角的等量關(guān)系（無需說明理由）； (3)當(dāng)動點P在第③部分時，探究∠PAC、∠APB、∠PBD之間的關(guān)系，寫出你發(fā)現(xiàn)的一個結(jié)論并加以說明． A B ① ② ③ ④ A B ① ② ③ ④ A B ① ② ③ ④ P

42、 C D C D C D 答案：(1)略 (2) 不成立∠APB+∠PAC＋∠PBD=3600 (3)在 AB左側(cè): ∠APB＝∠PAC-∠PBD 在 AB上: ∠APB＝∠PAC-∠PBD (∠APB＝∠PBD-∠PAC) 在 AB右側(cè): ∠APB＝∠PBD-∠PAC 6、探究與發(fā)現(xiàn)： 探究一：我們知道，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．那么，三角形的一個內(nèi)角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在何種數(shù)量關(guān)系呢？ 已知：如圖，∠FDC與∠ECD分別為△ADC的兩個外角， 試探究∠A與∠FDC＋∠ECD的數(shù)量關(guān)系．

43、 探究二：三角形的一個內(nèi)角與另兩個內(nèi)角的平分線所夾的鈍角之間有何種關(guān)系？ 已知：如圖，在△ADC中，DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD， 試探究∠P與∠A的數(shù)量關(guān)系． 探究三：若將△ADC改為任意四邊形ABCD呢？ 已知：如圖，在四邊形ABCD中，DP、CP分別平分∠ADC 和∠BCD，試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論探究∠P與∠A＋∠B的數(shù)量關(guān)系． 探究四：若將上題中的四邊形ABCD改為六邊形ABCDEF呢？ 請直接寫出∠P與∠A＋∠B＋∠E＋∠F的數(shù)量關(guān)系： 　　__________________________________________． 答案： 解：探究一：∵∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC， ∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC=180+∠A；