高中數學（北師大版）選修2-2教案：第2章 拓展資料：導數幾何意義的應用分類解析

《高中數學（北師大版）選修2-2教案：第2章 拓展資料：導數幾何意義的應用分類解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高中數學（北師大版）選修2-2教案：第2章 拓展資料：導數幾何意義的應用分類解析（8頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 導數幾何意義的應用分類解析 函數y＝f(x)在點x0處的導數的幾何意義就是曲線y＝f(x)在點P(x0，y0)處的切線的斜率.它把函數的導數與曲線的切線聯系在一起，使導數成為函數知識與解析幾何知識交匯的一個重要載體.因此，用導數解決與切線有關的問題將是高考命題的一個熱點.下面就導數幾何意義的應用分類解析. 一、切線的夾角問題 例1已知拋物線y＝x2﹣4與直線y＝x＋2相交于A、B兩點，過A、B兩點的切線分別為l1和l2.(1)求直線l1與l2的夾角. 解析：由方程組，解得A(－2，0)，B(3，5)， 由y＝2x，則y|x＝－2＝﹣4，y|x＝3＝6，設兩直線的夾角為θ，

2、根據兩直線的夾角公式，tanθ＝||＝,所以θ＝arctan. 點撥：解答此類問題分兩步：第一步根據導數的幾何意義求出曲線兩條切線的斜率；第二步利用兩條直線的夾角公式求出結果(注意兩條直線的夾角公式有絕對值符號). 二、兩條曲線的公切線問題 例2已知拋物線C1：y＝x2＋2x和C2：y＝－x2＋a.如果直線l同時是C1和C2的切線，稱直線l是C1和C2的公切線，公切線上兩個切點之間的線段，稱為公切線段.(1)a取什么值時，C1和C2有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程；(2)若C1和C2有兩條公切線，證明相應的兩條公切線段互相平分. 解析：(1)函數y＝x2＋2x的導數y＝2x＋2，

3、曲線C1在點P(x1，x＋2x1)處的切線方程是 y－(x＋2x1)＝(2x1＋2)(x－x1)，即y＝(2x1＋2)x－x…①， 函數y＝－x2＋a的導數y＝－2x，曲線C2在點Q(x2，－x＋a)處的切線方程是 y－(－x＋a)＝－2x2(x－x2)，即y＝－2x2x＋x＋a，…② 如果直線l是過P和Q的公切線，則①式和②式都是直線l的方程， 所以，消去x2得方程2x＋2x1＋1＋a＝0. - 2 - / 8 當判別式△＝4－42(1＋a)＝0時，即a＝－時，解得x1＝－，此時點P和Q重合， 即當a＝－時，C1和C2有且僅有一條公切線，由①得公切線的方程為y＝x－.

4、（Ⅱ）證明：略 點撥：解答此類問題分三步：第一步分別在兩條曲線設出切點，并求出切線方程；第二步根據兩個切線方程表示同切線，利用直線重合的條件建立一個二次方程；第三步根據切線的唯一性，結合判別式為零求出結果. 三、切線逆向運算問題 例3已知b＞－1，c＞0，函數f(x)＝x＋b的圖象與函數g(x)＝x2＋bx＋c的圖象相切.求b與c的關系式(用c表示b)； 解析：(1)依題意，令f(x)＝g(x)，得2x＋b＝1，故x＝， 由于f()＝g()，得(b＋1)2＝4c，∵b＞－1，c＞0，∴b＝－1＋c. 例4曲線y＝x3在點（a，a3）(a≠0)處的切線與x軸、直線x＝a所圍成的三角形

5、的面積為，則a＝__________________. 解析：y′＝3x2，切線斜率為3a2，方程為y－a3＝3a2（x－a）， 當y＝0時，x＝a，當x＝a時，y＝a3，則|a3||a－a|＝，解得a＝1. 點撥：上面兩題通過求導，利用導數在某點幾何意義求切線斜率的值或相對應的切線方程，建立等式或不等式，進而解決參數問題. 四﹑其它綜合問題 例5已知函數f(x)＝x3＋x2，數列{xn}(xn＞0)的第一項xn＝1，以后各項按如下方式取定：曲線x＝f(x)在（xn+1,f (xn+1)）處的切線與經過（0，0）和（xn,f (xn)）兩點的直線平行（如圖）求證：當n∈N*時，(Ⅰ)

6、x＋xn＝3x＋2xn＋1；（Ⅱ）()n－1≤xn≤()n-2. 證明：（I）因為f(x)＝3x2＋2x所以曲線y＝f(x)在（xn+1,f (xn+1)）處的切線斜率k n+1＝3x＋2xn+1， 因為過(0,0)和（xn,f (xn)）兩點的直線斜率是x＋xn，所以x＋xn＝3x＋2xn+1. （II）因為函數h(x)＝x2＋x當x＞0時單調遞增， 而x＋xn＝3x＋2xn+1≤4x＋2xn+1＝(2xn+1)2＋2xn+1， 所以xn≤2xn+1，即≥因此xn＝…≥()n-1， 又因為x＋xn≥2(x＋xn+1) ，令yn＝x＋xn，則≤， 因為y1＝x＋x1＝2

7、，所以yn≤()n-1y1＝()n-2， 因此xn≤x＋xn≤()n-2，故()n-1≤xn≤()n-2.. 點撥：本題主要考查函數的導數、數列、不等式等基礎知識，以及不等式的證明，同時考查邏輯推理能力.上述解法通過利用利用導數的幾何意義求出切線的斜率建立數列遞推公式，為第二小題的解答提供了條件. 跟蹤練習 1、已知曲線C1:y＝x2－2x＋2和曲線C2:y＝x3－3x2＋x＋5有一個公共點P（2，2），求過點P處兩條曲線的切線的夾角. 2、已知函數f(x)＝2x3＋ax，g(x)＝bx2＋c的圖象都過點P(2，0)，且在點P處有公切線，求a，b，c及f(x)，g(x)的表達式.

8、3、確定拋物線方程y＝x2＋bx＋c中的常數b和c，使得拋物線與直線y＝2x在x＝2處相切. 4、設整數k≠0，1.過點P(1，0)作曲線C：y＝xk(x＞0)的切線，切點為Q1，設點Q1在x軸上的射影是點P1；又過點P1作曲線C的切線，切點為Q2，設點Q2在x軸上的射影是點P2，…，這樣一直作下去，可得到一系列點Q1，Q2，….設點Qn(n＝1，2，…)的橫坐標構成數列{an}.證明{an}是等比數列. 參考答案 1、解：∵y＝x2－2x＋2，∴y＝2x－2，∴過點P曲線C1的切線斜率為k1＝22－2＝2， 又∵y＝x3－3x2＋x＋5，∴y＝3x2－6x＋，∴過點P曲線

9、C1的切線斜率為k2＝322－62＋＝， 設兩直線的夾角為θ，根據兩直線的夾角公式，得tanθ＝||＝,所以θ＝arctan. 2、解：f(x)＝2x3＋ax的圖象過點P(2，0)，故a＝－8，故f(x)＝2x3－8x， 又 f′(x)＝6x2－8，f′(2)＝16， 由g(x)＝bx2＋c的圖象過點P(2，0)，得4b＋c＝0. 又g′(x)＝2bx，g′(2)＝4b＝f′(2)＝16，∴b＝4，從而c＝－16， ∴f(x)＝2x3－8x，g(x)＝4x2－16. 3、解：＝2x＋b，k＝y′|x=2＝4＋b=2，∴b＝－2. 又當x＝2時，y＝22＋（－2）2＋c＝c，代入y＝2x，得c＝4. 4、解：∵y′＝kxk–1，∴y|x＝an＝kank–1， ∴以Qn(an，ank)為切點的切線方程為y–ank＝kank–1(x–an)， 當n＝1時，切線過點P(1，0)，∴0–a1k＝ka1k–1(1–a1)a1＝， 當n≥2時，切線過點Pn–1(an–1，0)，∴0–ank＝kank–1(an–1–an)an＝an–1， ∵整數k≠0，1，∴a1＝≠0，∴{an}是等比數列. 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！