高中數(shù)學（北師大版）選修2-2教案：第2章 拓展資料：導數(shù)幾何意義的應用分類解析

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1、 導數(shù)幾何意義的應用分類解析 函數(shù)y＝f(x)在點x0處的導數(shù)的幾何意義就是曲線y＝f(x)在點P(x0，y0)處的切線的斜率.它把函數(shù)的導數(shù)與曲線的切線聯(lián)系在一起，使導數(shù)成為函數(shù)知識與解析幾何知識交匯的一個重要載體.因此，用導數(shù)解決與切線有關的問題將是高考命題的一個熱點.下面就導數(shù)幾何意義的應用分類解析. 一、切線的夾角問題 例1已知拋物線y＝x2﹣4與直線y＝x＋2相交于A、B兩點，過A、B兩點的切線分別為l1和l2.(1)求直線l1與l2的夾角. 解析：由方程組，解得A(－2，0)，B(3，5)， 由y＝2x，則y|x＝－2＝﹣4，y|x＝3＝6，設兩直線的夾角為θ，

2、根據(jù)兩直線的夾角公式，tanθ＝||＝,所以θ＝arctan. 點撥：解答此類問題分兩步：第一步根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出曲線兩條切線的斜率；第二步利用兩條直線的夾角公式求出結果(注意兩條直線的夾角公式有絕對值符號). 二、兩條曲線的公切線問題 例2已知拋物線C1：y＝x2＋2x和C2：y＝－x2＋a.如果直線l同時是C1和C2的切線，稱直線l是C1和C2的公切線，公切線上兩個切點之間的線段，稱為公切線段.(1)a取什么值時，C1和C2有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程；(2)若C1和C2有兩條公切線，證明相應的兩條公切線段互相平分. 解析：(1)函數(shù)y＝x2＋2x的導數(shù)y＝2x＋2，

3、曲線C1在點P(x1，x＋2x1)處的切線方程是 y－(x＋2x1)＝(2x1＋2)(x－x1)，即y＝(2x1＋2)x－x…①， 函數(shù)y＝－x2＋a的導數(shù)y＝－2x，曲線C2在點Q(x2，－x＋a)處的切線方程是 y－(－x＋a)＝－2x2(x－x2)，即y＝－2x2x＋x＋a，…② 如果直線l是過P和Q的公切線，則①式和②式都是直線l的方程， 所以，消去x2得方程2x＋2x1＋1＋a＝0. - 2 - / 8 當判別式△＝4－42(1＋a)＝0時，即a＝－時，解得x1＝－，此時點P和Q重合， 即當a＝－時，C1和C2有且僅有一條公切線，由①得公切線的方程為y＝x－.

4、（Ⅱ）證明：略 點撥：解答此類問題分三步：第一步分別在兩條曲線設出切點，并求出切線方程；第二步根據(jù)兩個切線方程表示同切線，利用直線重合的條件建立一個二次方程；第三步根據(jù)切線的唯一性，結合判別式為零求出結果. 三、切線逆向運算問題 例3已知b＞－1，c＞0，函數(shù)f(x)＝x＋b的圖象與函數(shù)g(x)＝x2＋bx＋c的圖象相切.求b與c的關系式(用c表示b)； 解析：(1)依題意，令f(x)＝g(x)，得2x＋b＝1，故x＝， 由于f()＝g()，得(b＋1)2＝4c，∵b＞－1，c＞0，∴b＝－1＋c. 例4曲線y＝x3在點（a，a3）(a≠0)處的切線與x軸、直線x＝a所圍成的三角形

5、的面積為，則a＝__________________. 解析：y′＝3x2，切線斜率為3a2，方程為y－a3＝3a2（x－a）， 當y＝0時，x＝a，當x＝a時，y＝a3，則|a3||a－a|＝，解得a＝1. 點撥：上面兩題通過求導，利用導數(shù)在某點幾何意義求切線斜率的值或相對應的切線方程，建立等式或不等式，進而解決參數(shù)問題. 四﹑其它綜合問題 例5已知函數(shù)f(x)＝x3＋x2，數(shù)列{xn}(xn＞0)的第一項xn＝1，以后各項按如下方式取定：曲線x＝f(x)在（xn+1,f (xn+1)）處的切線與經(jīng)過（0，0）和（xn,f (xn)）兩點的直線平行（如圖）求證：當n∈N*時，(Ⅰ)

6、x＋xn＝3x＋2xn＋1；（Ⅱ）()n－1≤xn≤()n-2. 證明：（I）因為f(x)＝3x2＋2x所以曲線y＝f(x)在（xn+1,f (xn+1)）處的切線斜率k n+1＝3x＋2xn+1， 因為過(0,0)和（xn,f (xn)）兩點的直線斜率是x＋xn，所以x＋xn＝3x＋2xn+1. （II）因為函數(shù)h(x)＝x2＋x當x＞0時單調(diào)遞增， 而x＋xn＝3x＋2xn+1≤4x＋2xn+1＝(2xn+1)2＋2xn+1， 所以xn≤2xn+1，即≥因此xn＝…≥()n-1， 又因為x＋xn≥2(x＋xn+1) ，令yn＝x＋xn，則≤， 因為y1＝x＋x1＝2

7、，所以yn≤()n-1y1＝()n-2， 因此xn≤x＋xn≤()n-2，故()n-1≤xn≤()n-2.. 點撥：本題主要考查函數(shù)的導數(shù)、數(shù)列、不等式等基礎知識，以及不等式的證明，同時考查邏輯推理能力.上述解法通過利用利用導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率建立數(shù)列遞推公式，為第二小題的解答提供了條件. 跟蹤練習 1、已知曲線C1:y＝x2－2x＋2和曲線C2:y＝x3－3x2＋x＋5有一個公共點P（2，2），求過點P處兩條曲線的切線的夾角. 2、已知函數(shù)f(x)＝2x3＋ax，g(x)＝bx2＋c的圖象都過點P(2，0)，且在點P處有公切線，求a，b，c及f(x)，g(x)的表達式.

8、3、確定拋物線方程y＝x2＋bx＋c中的常數(shù)b和c，使得拋物線與直線y＝2x在x＝2處相切. 4、設整數(shù)k≠0，1.過點P(1，0)作曲線C：y＝xk(x＞0)的切線，切點為Q1，設點Q1在x軸上的射影是點P1；又過點P1作曲線C的切線，切點為Q2，設點Q2在x軸上的射影是點P2，…，這樣一直作下去，可得到一系列點Q1，Q2，….設點Qn(n＝1，2，…)的橫坐標構成數(shù)列{an}.證明{an}是等比數(shù)列. 參考答案 1、解：∵y＝x2－2x＋2，∴y＝2x－2，∴過點P曲線C1的切線斜率為k1＝22－2＝2， 又∵y＝x3－3x2＋x＋5，∴y＝3x2－6x＋，∴過點P曲線

9、C1的切線斜率為k2＝322－62＋＝， 設兩直線的夾角為θ，根據(jù)兩直線的夾角公式，得tanθ＝||＝,所以θ＝arctan. 2、解：f(x)＝2x3＋ax的圖象過點P(2，0)，故a＝－8，故f(x)＝2x3－8x， 又 f′(x)＝6x2－8，f′(2)＝16， 由g(x)＝bx2＋c的圖象過點P(2，0)，得4b＋c＝0. 又g′(x)＝2bx，g′(2)＝4b＝f′(2)＝16，∴b＝4，從而c＝－16， ∴f(x)＝2x3－8x，g(x)＝4x2－16. 3、解：＝2x＋b，k＝y(tǒng)′|x=2＝4＋b=2，∴b＝－2. 又當x＝2時，y＝22＋（－2）2＋c＝c，代入y＝2x，得c＝4. 4、解：∵y′＝kxk–1，∴y|x＝an＝kank–1， ∴以Qn(an，ank)為切點的切線方程為y–ank＝kank–1(x–an)， 當n＝1時，切線過點P(1，0)，∴0–a1k＝ka1k–1(1–a1)a1＝， 當n≥2時，切線過點Pn–1(an–1，0)，∴0–ank＝kank–1(an–1–an)an＝an–1， ∵整數(shù)k≠0，1，∴a1＝≠0，∴{an}是等比數(shù)列. 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！