合肥工業(yè)大學(xué)級(jí)研究生《數(shù)值分析》試卷(A)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

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1、合肥工業(yè)大學(xué)研究生考試試卷(A) 課程名稱 數(shù)值分析 考試日期 學(xué)院 2014級(jí)研究生 姓名 年級(jí) 班級(jí) 學(xué)號(hào) 得分 7 S(x) 0x1, 3 x 1 , 1 x 2, 4、 . 一 5 O(h ),其整體截?cái)嗾`差是 O(h5). * 0.01%，求 x 至 x(k 1) 1 10 4x2k) x3k) 1 , x2k 1) A 10 2x(k 1) 7x3k) 2 , L L L 4 分 x3k 1) A 10 3x(k 1) 2x2k 1) 3 . 一、填空題(每空2分，滿分20分) 2014

2、2012 1 .設(shè) f (x) 6x 5x 7 ,則差商 f [1, 2, L , 2015] 6 . 2 .設(shè)函數(shù)f(0.9) 1.2178, f(1) 1, f (1.1) 0.6018 ,用三點(diǎn)數(shù)值微分公式計(jì)算 f (1)的近似值為 3.08 , f⑴的近似值為 18.04 . t 2 3 3 .設(shè) x (2, 5, 7,3)、 A ，則 |x|12 V87 , Cond(A)1 36 4 5 4 .函數(shù)f (x)以0, 1,2為節(jié)點(diǎn)的二次Lagrange插值多項(xiàng)式p2(x) (x 1)(x 2) f(0) (x 0)(x 2) f(1) (x 0)(x 1) (0

3、 1)(0 2) (1 0)(1 2) (2 0)(2 1)’ 5 .設(shè)S是函數(shù)f在區(qū)間［0, 2］上的三次樣條: 3 1 2x x , 2 2 b x 1 C x 1 則 b --L，c -3 . 6.四階Runge-Kutta方法的局部截?cái)嗾`差是 二、(本題滿分8分)要彳吏J97的近似值x*的相對(duì)誤差的絕對(duì)值不超過 少應(yīng)具有幾位有效數(shù)字？ 解 設(shè)x*至少應(yīng)具有l(wèi)位有效數(shù)字.因?yàn)? 礪 5,所以而的第一個(gè) 非零數(shù)字是4,即x的第一位有效數(shù)字a1 4, L L L 2分 根據(jù)題意及定理1.2.1知，  卜 97 xl . 10 l 1，10 l 1 0.01% 10

4、4 , L L L 6 分 |x 2a1 2 4 * 解彳導(dǎo)l 5 lg8 5 0.903 4.097 .故取l 5,即x至少應(yīng)具有5位有 效數(shù)字。 L L L 8分 10x1 4x2 x3 1, 三、(本題滿分12分)已知線性方程組 2x 10x 7x 2, 1 2 3 3x1 2x2 10x3 3. (1)寫出求解上述方程組的 Gauss Seidel迭代格式。 (2)寫出求解上述方程組的Jacobi迭代格式的迭代矩陣 BJ. (3)計(jì)算范數(shù)||BJ|| ,判斷上述Jacobi迭代格式是否收斂？若收斂，試估計(jì)要達(dá)到 4 T 精度 10 , Jacobi迭代法所需的

5、迭代步數(shù)；取初值 x0 (0, 0, 0). 解(1)求解上述方程組的 Gauss Seidel迭代格式為 (2)因?yàn)樵匠探M的系數(shù)矩陣 10 4 1 0 0 0 10 0 0 0 4 1 A 2 10 7 2 0 0 0 10 0 0 0 7 L D U 3 2 10 3 2 0 0 0 10 0 0 0 所以求解上述方程組的 Jacobi迭代格式的迭代矩陣為 _ _ 1 _ 1 BJ D (L U) I D A 2 5 1；10 0 710 2 x 0 0.25x2(x 1) 0.

6、25x2(x 1)2 2 x 0.25x3 0.25x4. L L L 10 分 3/10 15 0 (3)因?yàn)閨 Bj | 9/10 1，所以解原方程組的Jacobi迭代格式收斂。L L L 9分 五、(本題滿分12分)(1)確定a,a,, A ,使下面的求積公式具有盡可能高的代數(shù)精度。 f (x)dx A0f ( h/ 2) A1 f (0) A2f(h2). 用Jacobi迭代法迭代一次得: x(1) 0.1, 0.2, 0.3 T， ⑵ 用兩點(diǎn)古典Gauss公式計(jì)算I 1 2 3 … … x sin x dx的近似值 0 卜⑴ x(0)| max 0.1 0

7、, |0.2 0 , |0.3 0 0.3 L L L 10 分 解(1)設(shè)上述求積公式對(duì)f(x) 1, x, X2準(zhǔn)確成立，即 k 此(1 ⑴；inq ln104(1 910)/此9 9784 L L L 12 分 k 卜⑴ x(0)i q 0.3 10 97.84 故需要迭代98次。 2h A。A1 A2, 0 A) h 2 A2 h 2 , 2h3/3 A h2/4 A2 h74 四、(本題滿分10分)用下列表中的數(shù)據(jù)求次數(shù)不超過 4次的插值多項(xiàng)式 p(x),使之滿足 p(xj f(xj,i 0,1,2,和 p(x0) f(x0), p(xj f(xj.(要求寫出差商表

8、) 解上述方程組，得 A0 4h 3, A 于是上述求積公式化為 2巾3, A 4h/3, L L L 3分 xi 0 1 2 f(xi) 2 3 7 f (xj 1 2 解根據(jù)表中的數(shù)據(jù)建立差商表 h 4h hf(x)dx 飛 f( h 2) 1 -f (0) A2f(h 2). (*) 經(jīng)驗(yàn)證，求積公式(*)對(duì)f(x) x3準(zhǔn)確成立，但當(dāng)f (x) x4時(shí), (*)左邊等于 x0 x0 x1 x1 x2 0 f(x0) 2 2h75,而其右邊等于h5/6；即求積公式(*)對(duì)f(x) 積公式(*)具有3次代數(shù)精度。 x4不準(zhǔn)

9、確成立；于是求 0 f(x0) 2 f[x0,x。] 1 1 f(xj 3 f[x0,x] 1 f[xe,x0,x1] 0 L L L 1 分 1 f(x) 3 f[x1,x1] 2 f[x0,x1,x1] 0.5 ”%,5?1兇]0.25 L L L 3 分 2 f^) 7 f [ x1, x2 ] 4 f [x1,x1,x2] 2 f [ x0, x1, x1, x2] 0.75 f [x0, %, x1, x1, x2 ] 0.25 L L L 5 分 0, b 1, t1 1 3,t2 1 -,A1 A 1, _ 2 3 f (x) x sin x， x2

10、 則所求插值多項(xiàng)式為 p(x) f[x。] f [x0,x0](x %) 2 f[x0,x0,x1](x 沏) 故用上述兩點(diǎn) 2 2 2 f [x0,x0,x1,x1](x x) (x x1) f [x0,x0,x1,x1,x2](x %) (x x1) Gauss公式計(jì)算 1 1 2 2 3, 2sin3 xdx的近似值: i 0 1 2 3 4 x 1 2 3 4 5 y 1

11、.3 2.5 3.9 5.1 6.4 七、（本題滿分10分）求擬合下列表中數(shù)據(jù)的1次最小二乘多項(xiàng)式 p1（x）,取權(quán)i 1 , i 0,1,2,3, 4 ,并計(jì)算總誤差 Q . 根據(jù)題意, b a I -2-[AO A2 f(X2)] 4, xo y。 n 1, 0(x) 1, 1(x) x, i 1 (i 0,1,2,3,4) 1, 1.3, y1 2, 2.5, x2 V2 3, 3.9, x3 V3 4, 5.1, x4 V4 5, 6.4, 2131f 1 1 2 2.3 0.111245. L L L 1

12、0 分 六、（本題滿分10分）.（1）用改進(jìn)的Newton迭代法求方程 3 3x 2 3x 0的重根，取初值 xo 2 ,求xi, x2.（要求先驗(yàn)證重根的重?cái)?shù)。） （2）用弦截法求上述方程的單根，取初值 f (1) 記 f (x) x4 4 3 13 13 2 12 1 18 一 、 4 1是方程x 3x3 3x2 x。 0.5, x ,因?yàn)? 0.4, 1 6 3 3x 0 , 2 3x f (1) 4 ⑴ 24 0, 18 x 0的3重根。 0, 0) 1 , 0) 1 i 0 4 x i 0 得法方程組 解

13、彳導(dǎo)c0 0.0, 5, 1) 15, Ci 1, 1) 4 1 i 0 4 xi i 0 xi 15, 55, 0, f) 1, f) 4 1 y i 0 4 x V,\ i 0 19.2, 70.4. 求x的改進(jìn)的Newton迭代格式為 總誤差 xk c f (xk 1) xk 1 3 xk 1 f (xk 1) , 1 xk 1 取初值x 2 ,代入上式計(jì)算得: 的弦截法格式為 xk xk xk 1 xk 2 f (xk) f (xk 1) f(xk) 取初值x 0 xk 4X31 9x21 6「

14、1 1.14286, x2 1.00571. k 1,2,L . (xk 1 xk 2 ) xk 1 3xk 1 3xk 1 xk 1 3xk 1 3xk 1 4 o 3 xk 2 3xk 2,3,L . 0.5, x1 0.4,代入上式計(jì)算得： 為 0.761506, x3 5 15 15 55 19.2 70.4 1.28. 于是, 2 V,\ Pi(xJ 所求多項(xiàng)式為 4 y 1.28x i 0 Pi(x) 1.28x. L 2 0.008 . 八、（本題滿分10分）（1）寫出改進(jìn)的Euler方法的增量函數(shù) （t,y,h）. ⑵

15、用改進(jìn)的Euler方法求解初值問題 y (t) ty(t) y(0) 1 L L 10 分 4t y 0, 的解y（t）在 xk 1 2 3xk 2 xk 0.810598. L L L 10 分 t 0.2, t 0.4處的近似值，要求小數(shù)點(diǎn)后保留 5位數(shù)字（取步長(zhǎng)h 0.2） 解（1）改進(jìn)的Euler方法的增量函數(shù)為 1 (t,y,h) 2 f(t,y) f(t h,y hf(t,y)). ⑵根據(jù)題設(shè)知f什\八4t 則改進(jìn)的Euler方法的計(jì)算格式為 T（t, y） — ty

16、 yn 1 yn yn 1 yn h f (tn,yn), h f(tn,yn) f (tn 1, Yn 1), 2 因?yàn)長(zhǎng) 1 ,所以當(dāng)k 時(shí)，對(duì)任意初值x [a,b],序列｛4｝收斂到 由y0 y(0) 1，h 0.2, y1 y2 y2 所以, 九、 V。 y。 y1 y1 f(to,yo) f(to,y。) <%) f(t1,y1) 1.06 02 2 y(t)在 t 4 0 0.2 1 f(t1,y) 1.06 0.2 f(t

17、2,y2) 1, (2) * x xk (x*) (4 1.06 絲0.2 0.2 ~2 0.2 1.06 1.06 0.2 1.06 4 0.2 1 1.16854, 0.2 1.06, 解得 L (4 4 1) * (x xk ()(x* xk 1) L x* xk 1 L xk xk 1 . * L x xk xk xk 1 1 L 10分 0.4 1.16854 1.16854 1.20445. L L 10 分 0.2, t 0.4 處的近似值分別為 y1 1.06, y2 1.20445 . (本題滿分10

18、分)若迭代函數(shù) (x)在有PM區(qū)[a, b]上滿足下列兩個(gè)條件： (1)對(duì)任意的 x [a,b],有 (x) [a,b]; (2) (x)在[a,b]上存在，且 (x) 0, | (x)| L 1, 證明：(1)對(duì)任意初值x [a, b],由迭彳t格式xk (xk 1 ) (k 1,2,L )產(chǎn)生的序列 ｛xk｝收斂到方程x (2)估計(jì)式 xk 1 * x xk ... * (x)的根x ; L xk xk 1 成立。 因?yàn)閤是方程x (x)的根， (xk) [a,b].由微分中值定理及條件 ⑵得: (x*).由條件(1)知， xk (x*) (xk 1) * 、 ()(x xk 1) . * Lx xk L Lk