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專題（六） 解直角三角形的應用
解直角三角形的應用是各地中考的必考內容之一，它通常以實際生活為背景，考查學生運用直角三角形知識建立數(shù)學模型的能力，解答這類問題的方法是運用“遇斜化直”的數(shù)學思想，即通過作輔助線(斜三角形的高線)把它轉化為直角三角形問題，然后根據(jù)已知條件與未知元素之間的關系，利用解直角三角形的知識，列出方程來求解.
類型1 仰角、俯角問題
1.(2014東營)熱氣球的探測器顯示，從熱氣球底部A處看一棟高樓頂部的仰角為30，看這棟樓底部的俯角為60，熱氣球A處與高樓的水平距離為120 m.這棟高樓有多高(≈1.
2、 732,結果保留小數(shù)點后一位)？
2.(2014常德)如圖，A，B，C表示修建在一座山上的三個纜車站的位置，AB，BC表示連接纜車站的鋼纜.已知A，B，C所處位置的海拔AA1，BB1，CC1，分別為160米，400米，1 000米，鋼纜AB，BC分別與水平線AA2，BB2所成的夾角為30，45，求鋼纜AB和BC的總長度.(結果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.414, ≈1.732)
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3.(2014河南)在中俄“海上聯(lián)合—2014”反潛演習中，我軍艦A測得潛艇C的俯角為30.位于軍艦A正上方1 000米的反潛直升機B測得潛艇C的俯角為68.試根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出潛艇C
3、離開海平面的下潛深度.(結果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù)：sin68≈0.9,cos68≈0.4,tan68≈2.5, ≈1.7)
類型2 方位角問題
1.(2014邵陽)一艘觀光游船從港口A處以北偏東60的方向出港觀光，航行80海里至C處時發(fā)生了側翻沉船事故，立即發(fā)出了求救信號.一艘在港口正東方向B處的海警船接到求救信號，測得事故船在它的北偏東37方向，馬上以40海里/小時的速度前往救援，求海警船到達事故船C處所需的大約時間.(溫馨提示：sin53≈0.8，cos53≈0.6)
2.(2014婁底)如圖，有小島A和小島B，輪船以45 km/h的速度由C向東航行，在C處測得A的方位角為北
4、偏東60，測得B的方位角為南偏東45，輪船航行2小時后到達小島B處，在B處測得小島A在小島B的正北方向.求小島A與小島B之間的距離(結果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.41， ≈2.45)
類型3 坡度(坡比)問題
1.(2013內江)如圖，某校綜合實踐活動小組的同學欲測量公園內一棵樹DE的高度，他們在這棵樹正前方一座樓亭的臺階上A點處測得樹頂端D的仰角為30，朝著這棵樹的方向走到臺階下的點C處，測得樹頂端D的仰角為60.已知A點的高度AB為3米，臺階AC的坡度為1∶ (即AB∶BC=1∶)，且B，C，E三點在同一條直線上.請根據(jù)以上條件求出樹DE的高度(測傾器的高度忽略不計).
5、
2.(2014煙臺)小明坐于堤邊垂釣，如圖，河堤AC的坡角為30，AC的長為米，釣竿OA的傾斜角是60，其長為3米，若OA與釣魚線OB的夾角為60，求浮漂B與河堤下端C之間的距離.
參考答案
類型1 仰角、俯角問題
1.如圖，過點A作AD⊥BC，垂足為D.
由題意得∠BAD=30，∠CAD=60，AD=120.
在Rt△ADB中，由tan∠BAD=，得
BD=ADtan∠BAD=120tan30=40.
在Rt△ADC中，由tan∠CAD=，得
CD=ADtan∠CAD=120tan60=120.
∴BC=BD+CD=40+120≈277.1.
答：這棟樓高
6、約為277.1 m.
2.在Rt△ABD中,BD=400-160=240,∠BAD=30.
∵sin∠BAD=,
∴AB==2BD=480 m.
在Rt△BCB2中,CB2=1 000-400=600,∠CBB2=45.
∵sin∠CBB2=,
∴CB==600 m.
所以AB+BC=480+600≈1 328(米).
答：鋼纜AB和BC的總長度約為1 328米.
3.過點C作CD⊥AB交BA的延長線于D，則AD即為潛艇C的下潛深度.
根據(jù)題意得∠ACD=30,∠BCD=68.
設AD=x,則BD=BA+AD=1 000+x.
在Rt△ACD中，CD= ==x.
7、
在Rt△BCD中，BD＝CDtan68.
∴1 000+x=xtan68.解得x=≈308.
即潛艇C離開海平面的下潛深度約為308米.
類型2 方位角問題
1.過點C作CD⊥AB，交AB的延長線于點D.
由題意得∠CAD＝30,∠CBD＝53,AC＝80海里，∴CD＝40海里.
在Rt△CBD中，sin53＝，
CB＝≈＝50(海里).
行駛時間＝1.25(小時).
答：海警船到達C處需1.25小時.
2.過點C作CP⊥AB于P，
∵∠BCF=45，∠ACE=60，AB∥EF，
∴∠PCB=∠PBC=45，∠CAP=60.
∵輪船的速度是45 km
8、/h，輪船航行2小時，
∴BC=90.
∵BC2=BP2+CP2，∴BP=CP=45.
∵∠CAP=60，∴tan60==,
∴AP=15,
∴AB=AP+PB=15+45≈100(km).
答：小島A與小島B之間的距離是100 km.
類型3 坡度(坡比)問題
1.在Rt△ABC中，tan∠ACB= = =，
∴∠ACB=30，
∴∠BAC=60，∠PAC=30，
∠ACD=180-∠ACB-∠DCE=90，
∴∠DAC=60.
在Rt△ABC中，∵∠ACB=30，∴AC=2AB=6.
在Rt△ACD中，DC=ACtan∠DAC=6tan60=6.
在Rt△CDE中，DE=DCsin∠DCE=6sin60=9(米).
答：樹DE的高為9米.
2.延長OA交直線BC于點D.
∵OA的傾斜角是60，
∴∠ODB＝60，∠ACD＝30，
∠CAD＝180-∠ODB-∠ACD＝90.
在Rt△ACD中，AD＝ACtan∠ACD＝=(米).
∴CD＝2AD＝3米.
又∵∠O＝60，∴△BOD為等邊三角形，
∴BD＝OD＝OA＋AD＝3＋＝4.5(米).
∴BC＝BD-CD＝4.5-3＝1.5(米).
答：浮漂B與河堤下端C之間的距離為1.5米.
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專題(六)解直角三角形的應用
